第11章 解三角形（复习课件）数学苏教版必修第二册

单元复习课件 第十一章 解三角形 苏教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握解三角形核心知识：理解正弦定理、余弦定理的推导过程与本质内涵，明确三角形中边、角的对应关系，能区分两个定理的适用场景 2.深化定理运算理解：熟练运用正弦定理、余弦定理进行三角形的边、角求解，掌握三角形面积公式的多种形式，能灵活处理三角形中的化简、求值与面积计算问题。 3.探究解三角形的性质与应用：掌握三角形解的个数判定方法，能结合正弦定理、余弦定理判断三角形的形状；解三角形在测量距离、高度、角度等实际问题。 4.培养数学思维与转化能力：在学习过程中，通过对比、归纳、数形结合等方法总结解三角形知识的内在逻辑，提升分析与解决综合问题的能力。 单元学习目标 正弦定理 正弦定理 解三角形 已知两角和任一边，求其他的边和角 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 边角互相转化 单元知识图谱 余弦定理 余弦定理及推论 解三角形 已知两边和一个夹角，求第三边 已知三角形三边解三角形三个角 单元知识图谱 一、余弦定理 公式表述 , , . 另一种形式 ，, . 对余弦定理的理解 1.余弦定理对任意的三角形都成立. 2.在余弦定理中包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得第四个量. 3.余弦定理的另一种常见变式： , , .#1.1.1.3 考点串讲 余弦定理的证明 因为 （如图）, 所以 , 即 . 同理可得, . 一、余弦定理 考点串讲 利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题: （1）已知三边，求三个角; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 二、余弦定理在解三角形中的应用 余弦定理从“边角边”和“边边边”数量化的角度进行了刻画三角形. 特别提醒 1.余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时，要 根据条件灵活选择. 2.因为余弦函数在,上是单调减函数，所以，由 确定 的角 是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时不必分类讨论. 考点串讲 1.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般 三角形中三边平方之间的关系. 2.由余弦定理和余弦函数的性质，我们可以判断三角形的形状,以 为例： 若为锐角，则,从而,即 ,反之亦成立； 若为直角，则,从而,即 ,反之亦成立； 若为钝角，则,从而,即 ,反之亦成立. 由上可知，余弦定理也是用边长之间的关系去判断三角形的形状，从这个意义 上讲，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 三、余弦定理与勾股定理之间的关系 考点串讲 在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即 . 四、正弦定理 正弦定理的常见变形 在中，由正弦定理可设，则 , , ，由此可得正弦定理的下列变形： （1）,,,,, ; （2） ; （等比定理） （3） . 考点串讲 知识剖析 的几何意义 事实上，比值的几何意义就是 外接圆的直径（证明见教材第102页【习 题11.2】第10题答案），即（为 外接圆的半径）， 以下是它的两种变形应用： （1）（边化角）,, ; （2）（角化边）,, . 四、正弦定理 考点串讲 【教材深挖】用正弦定理证明“大角对大边”——对教材第99页【练习】第4题的深挖 在中，设，所对的边分别为，，由正弦函数在区间， 上单调递 增可知： （1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知 ；#1.1.1.1 （2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即, 所以,即,由正弦定理 知 ； （3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设为直角，则 ,所以 ,由正弦定理知 . 综上可知，在中，若,则.反之,若，则 也成立.#1.1.2 四、正弦定理 考点串讲 三角形面积公式（教材深挖：教材第102页第7题.） 若记的面积为，则 . 发散探讨 利用三角形面积公式证明正弦定理 在中，由三角形面积公式,得到 ,即 .上式同时除以,得到 ，即 . 五、三角形面积公式 考点串讲 公式实际上表示了三个等式：， ， . 上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系,对于每一个等 式,都可以知三求一.于是利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知两角与任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边 和角）. 五、正弦定理在解三角形中的应用 考点串讲 特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论: （1）三角形内角和定理 . （2）, . （3）在中，，; ； ;; . （4）若为锐角三角形，则,, ; , . 五、正弦定理在解三角形中的应用 考点串讲 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 下面以已知,和 需要分析三角形解的情况： 五、利用正弦定理判断三角形解个数 角的类型 为锐角 条件 图形 解的个数 无解 一解 两解 一解 考点串讲 角的类型 为钝角或直角 条件 图形 解的个数 一解 无解 续表 五、利用正弦定理判断三角形解个数 考点串讲 代数角度 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定. 不妨设为锐角，若，则，从而 为锐角，有一解. 若，则，由正弦定理得 若，即 ,则无解； ②若，即,则有一解； ③若，即 , 则有两解. 五、利用正弦定理判断三角形解个数 考点串讲 涉及的有关术语 #1.3 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角叫作方 位角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常 表达为北偏东（西）、南偏东（西） 度. 北偏东 或东偏北 _________________________ 六、正余弦定理的应用 考点串讲 涉及的有关术语#1.1.2 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯 角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标 视线在水平视线下方的叫作俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角. 设坡角为 ,坡度为 , 则 . ___________________________ 坡度 坡面的垂直高度和水平宽度 的比. 六、正余弦定理的应用 考点串讲 测量距离问题的基本类型和解决方案 当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型.#1 类型 简图 计算方法 , 间不可达也不可视 测得,, 的大小,则由余 弦定理得 . 六、正余弦定理的应用 考点串讲 类型 简图 计算方法 ，与点 可视但不可达 测得,, 的大小,则 ，由正弦定理得 . ，与点， 均可视不可达 测得及,, , 的度数.在 中，用正弦定 理求;在 中,用正弦定理求 ;在中,用余弦定理求 . 测量距离问题的基本类型和解决方案 六、正余弦定理的应用 考点串讲 测量高度问题的基本类型和解决方案 当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型.#1 类型 简图 计算方法 底部可达 测得,的大小, 六、正余弦定理的应用 考点串讲 类型 简图 计算方法 底部 不可 达 点与 ， 共线 测得及与 的度数. 先由正弦定理求出或 ，再解直角 三角形得 的值. 点与 ， 不共线 测得及,， 的 度数. 在中由正弦定理求得 ，再解直 角三角形得 的值. 测量高度问题的基本类型和解决方案 六、正余弦定理的应用 考点串讲 六、正余弦定理的应用 考点串讲 题型一、余弦定理 教材改编P92例1（1）在中，若，， ，则边长 ( ) B A.5 B.8 C.5或 D. 或8 【解析】由余弦定理得，即 ， 所以 . 因为（此隐含条件不要忘记），所以 . 点评 因为余弦定理是恒等式，所以将，，的值代入 中，建立方程可求得 的值.需注意的是，余弦定理中边长是平方的关系,因此,利用余 弦定理求边长,实质上是解一元二次方程.解题时,应根据已知条件对方程的根进行取舍. . . 题型剖析 ［教材改编P93 T4］在中，角，，的对边分别为，， ，若 ，则角 的值为( ) A A. B. C.或 D.或 【解析】由余弦定理知 , 又 ,故 （【注意】三角形中角的余弦值的取值特点）. . . 题型一、余弦定理 题型剖析 ［教材改编P93 T1（4）］在中,角，，的对边分别为,, ,若 ,,,则 ( ) D A.5 B. C.4 D.3 【解析】由余弦定理得 ,解得 . 题型一、余弦定理 变式训练 题型一、余弦定理 在锐角三角形中，角,,所对的边分别为,,,若,，则 的取 值范围是___________. ， 【解析】由题意可知, 即 解得 , 解得 . 变式训练 (2025·海南中学月考)的内角，，的对边分别为,, ，若 ，则 __. 【解析】 依题意得 ，即 ，所以，.又 ，所以 . 因为 （【学以致用】射影定理的运用）,所以 ,所以.又 ,所以 . . . 题型二、利用余弦定理边角互化 题型剖析 命题探源 运用射影定理巧解三角形 （【教材链接】教材第95页 ） 在中，有,, . 上述结论称为射影定理.利用此结论我们可以快速解决选择题和填空题. 题型二、利用余弦定理边角互化 利用余弦定理进行边角互化的特点 一般地，若遇到的式子含有角的余弦或边的二次式，则需要用余弦定理进行边角互 化，最终实现角的余弦与边的二次齐次分式之间的互化. 题型剖析 的内角，，的对边分别为，，，已知，则角 的 大小为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由 ， 得，由余弦定理可得， . 因为为三角形的内角，故 ． 由,得,又 ,所以 , 又 ,所以 . 题型二、利用余弦定理边角互化 变式训练 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 (2025·广东省佛山市第一中学期中)在中，,,分别是角,, 的对边， 且,则 是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 思路点拨 需先利用二倍角的降幂公式将化成 ,再利用余弦定理求解. 【解析】由,得,即有 ,化简得 , 为直角三角形. 题型剖析 已知,,是钝角三角形的三边，求实数 的取值范围. 【答案】,,是三角形的三边， . 要使,, 构成三角形， 需满足 除了要保证三边长均为正数，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”. 即 . 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 变式训练 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 故是三角形的最大边，设其对应的角为 （钝角），则 , ，即,解得 . 又，的取值范围是 . 题型剖析 题型四、余弦定理与其他知识的综合应用 在中，角,,的对边分别为,,，为边 上的中线． （1）若，，，求边 的长； 【解析】在中，因为,, ，所以由余弦定理得 ． 故在 中，由余弦定理，得 ，所以 ． 题型剖析 （2）若，求角 的大小． 【解析】因为为边上的中线，所以 （中点向量公式的应用）， 所以 ，可得 则，化简得，所以 . . . . . 在中，角,,的对边分别为,,，为边 上的中线． 题型四、余弦定理与其他知识的综合应用 题型剖析 在中,，，所对的边分别为,, ,已知 . （1）求 的大小； 【解析】由已知和三角形内角和定理得 (【释疑解惑】根据问题的指向 性，必定需要将题干等式中的角消元化简，又， 联系比较紧密，所以可以根据 ，将转化为) ，即 . 因为,所以 . 又,所以.又 ,所以 . . . 题型四、余弦定理与其他知识的综合应用 题型剖析 （2）若,求 的取值范围. 【解析】由余弦定理得 . 因为,,所以 （通过等量关系转变为函数问题）. 又,于是有,解得 . . . 在中,，，所对的边分别为,, ,已知 . 题型四、余弦定理与其他知识的综合应用 变式训练 ［教材改编P102 T2（1）］在 中，根据下列条件解三角形： （1）, , ; 【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 . 由正弦定理，有 , 代入数据得到，（ 需熟记） 解得， . . . 题型五、利用正弦定理解三角形 题型剖析 （2） , , . 【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 . 由正弦定理，有,代入数据得 ,解得 , . ［教材改编P102 T2（1）］在 中，根据下列条件解三角形： 题型五、利用正弦定理解三角形 题型剖析 题型五、利用正弦定理解三角形 在中,角,,所对的边分别是,,,,.若 最长 的边为1,则最短边的长为( ) D A. B. C. D. 【解析】在中,因为,,所以, , ,所以 ,所以 ,则最大,即最大（大边对大角），所以.又 最小,所以 最短的边为，易得,则由正弦定理可得 . 题型剖析 在中，若,,,则 ______. 【解析】由,得 . 由及,得 . 由题意知，,，由正弦定理 , 得 . 题型五、利用正弦定理解三角形 变式训练 题型六、知两边与其一边的对角解三角形 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形. （1）,, ; 【解析】， ， ,与三角形内角和为 相矛盾，故三 角形无解. （2）,, ; 【解析】由正弦定理得，即 ，故三 角形无解. 题型剖析 （3）,, . 【解析】由正弦定理得， ， 或 ，（【易错点】此处易忽略对的讨论，默认 为锐角，从 而造成漏解）均满足条件 ， 三角形有两解. 当 时， ， ; 当 时， , . 故 , ,或 , , . . . 题型六、知两边与其一边的对角解三角形 题型剖析 已知中，，，,则 的面积为_ __. 【解析】由,得,所以 . 根据正弦定理可得，解得 . 因为，所以,所以.（此处易忽略对的讨论，误认为或 ） 所以,所以 为直角三角形. 故 . . . . . . . 题型六、知两边与其一边的对角解三角形 变式训练 题型七、利用正、余弦定理实现边角互化 (2025·陕西省西安交通大学附属中学期中)已知,,分别为三个内角, , 的对边,，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由正弦定理及 ， 可得 , 因为 ， 所以 ， 题型剖析 于是 ， 整理可得 . 即 . 因为，所以 , （【注意】不要随意约掉公因式，避免漏掉一些可能情况） 所以 ， 即，于是 . 又，所以，即 . 题型七、利用正、余弦定理实现边角互化 题型剖析 (2025·山东省济南市期中)在锐角中，角，，的对边分别为，， ，且 ，则 __. 【解析】因为 ,所以 ,整理得 , 由正弦定理得， , 故 , 由为锐角,得 . 题型七、利用正、余弦定理实现边角互化 题型剖析 的三个内角，，所对的边分别是,,，若，则角 的 大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】由正弦定理可将化为 ,整理可得 , 由余弦定理可得 , , . 题型七、利用正、余弦定理实现边角互化 变式训练 题型八、用正、余弦定理判断三角形的形状 在中，角，，所对的边分别为,, ， ，,则 是( ) D A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 思路点拨 题中条件既含边又含角，可利用正、余弦定理转化为边之间的关系或利 用三角恒等变换转化为角之间的关系，从而可判断三角形的形状. 题型剖析 【解析】 （利用边的关系判断） 由 可得 , . 又 , . , . 又, , ,, 为等边三角形. 题型八、用正、余弦定理判断三角形的形状 题型剖析 （利用角的关系判断） ， . , , , . , , , ，即 . 又 , , . , , 为等边三角形. 题型八、用正、余弦定理判断三角形的形状 题型剖析 在中，已知角,,的对边分别为,, ，且 ,则 是( ) B A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 题型八、用正、余弦定理判断三角形的形状 变式训练 【解析】 （边化角） 因为 ， 所以由正弦定理得 ， 即，得 ， 所以 ，所以 为直角三角形. （角化边） 因为 ， 所以 . 根据余弦定理可得 ， 即 ， 所以 为直角三角形. 题型八、用正、余弦定理判断三角形的形状 变式训练 题型九、三角形面积的计算 在中， ,,,则 的面积等于_____. 思路点拨 既可以先求出角度，再利用三角形的面积公式 求解；也可 以先判断三角形的类型，再利用三角形的面积公式 底×高求解. 题型剖析 【解析】 在中，根据正弦定理，得,即 ，解 得 . 因为 ,所以 ，所以 ， 所以的面积 . 在中，根据正弦定理，得，所以 ，解得 .因为 ,所以 ，所以 ， 所以的面积 . 题型九、三角形面积的计算 题型剖析 在中，角，，的对边分别为，，，，， ． （1）求的值及 ； 【答案】,所以 , 又，所以 , 因为 ,所以 , 而 , 所以 . 题型九、三角形面积的计算 变式训练 （2）求的面积及 边上的高． 【答案】因为 , 所以 , 因为,即 , 所以,解得或 , 又,所以,所以 , 设边上的高为,则,解得,所以 的面积 为28,边上的高为 . 在中，角，，的对边分别为，，，，， ． 题型九、三角形面积的计算 变式训练 题型十、正余弦定理在实际中的应用 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 的军事 基地和处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 , , , ,如图所示，求蓝方这两支精锐部队间 的距离. 题型剖析 【解析】 . , , . 在中， ， 由正弦定理得 . 在 中，由余弦定理得 , . 故蓝方这两支精锐部队间的距离为 . 【另解】在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理求得 题型十、正余弦定理在实际中的应用 题型剖析 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗 玛峰最新高程为（单位： ）,三角高程测量法是珠峰 高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图， 现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ， 满足 , .由点测得 点的仰角为 ，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则 ，两点到水平面的高度差约为 ( ) B A.346 B.373 C.446 D.473 题型十、正余弦定理在实际中的应用 题型剖析 【解析】如图所示，根据题意过作，交 于 ，过作，交于，则 , .在中， ,则 .又在点处测得点的仰角为 ，所 以 ,所以高度差 . 题型十、正余弦定理在实际中的应用 题型剖析 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物 的 视角为 ，向山顶前进100 米到达处，又测得建筑物 的视角 为 ，若米，山坡对于水平面的坡角为 ,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】在 中，由正弦定理可知， 米. 在中， 由题图,知 . 题型十、正余弦定理在实际中的应用 变式训练 1.(全国甲卷)在中，已知 ，，,则 ( ) D A.1 B. C. D.3 【解析】由余弦定理，得 ， 解得或 （舍去）． 针对训练 2.设的内角，，的对边分别为，，.若，， 且 ，则 ( ) C A.3 B. C.2 D. 【解析】由余弦定理，得，即 ，即 ，所以，又，得 . 针对训练 3.［教材改编P95 T7（1）］ (2025·天津市西青区月考)在中，已知 ，则 等于( ) C A.1 B. C.2 D.4 【解析】 . 由射影定理可知 . 针对训练 4.［多选题］ (2025·河南省许昌高级中学月考)在 中，若 ，则角 的值可以为( ) BC A. B. C. D. 【解析】在中，由,可得 ,所以 ,解得或.故选 . 针对训练 5.(2025·四川省成都市期末)如图，为了测量两山顶, 间的距离，飞机沿水平方向在,两点进行测量，,,, 在 同一个铅垂平面内，在点测得在的南偏东 的方向 上，在的南偏东 的方向上，在点测得在 的南偏 西 的方向上，在的南偏东 的方向上，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 针对训练 【解析】由题意作出如图所示的示意图， , , , , ， 所以 , ， 所以 ， 在中， ， 在中，, , 在中， ，解 得 . 针对训练 6.[多选题]符合下列条件的 有且只有一个的是( ) AC A.,, B.,, C., D.,, 【解析】对于A，由正弦定理得,所以 ， 又,所以 ，所以满足条件的三角形只有一个； 对于B， ,构不成三角形； 对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个； 对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形. 针对训练 7.在中，角,,的对边分别为,, . （1）若,求 的值； 【答案】由题设,知,从而 ，所以 .因为 ，所以 . （2）若,,求 的值. 【答案】由，及 ， 得，故是直角三角形，且 . 所以 . 针对训练 8.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的 智慧与汗水.如图所示，,, 为山脚两侧共线的三 点，在山顶处测得这三点的俯角分别为 , , ， 计划沿直线开通穿山隧道，现已测得,, 三条线 段的长度分别为,, . （1）求线段 的长度； （2）求隧道 的长度. 针对训练 （2）求隧道 的长度. 【答案】由已知可得 ， 在中， ， 所以 ． （1）求线段 的长度； 【答案】由已知可得， ， ， 在中，由正弦定理得 ， 即 ， 解得,故线段的长度为 . 针对训练 9.如图所示，已知在四边形中，， ， ， ， ，求 的长． 【答案】设，在 中，由余弦定理得 ， 即 ， ，舍去，即 . 在中，由正弦定理得 ， . 针对训练 本章我们借助平面向量研究了三角形中的边角关系，主要学习了余弦定理、正弦定理，以及余弦定理、正弦定理在解决实际问题中的简单应用．余弦定理、正弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用余弦定理、正弦定理，可以将三角形中边的关系与角的关系进行相互转化，从而有助于问题的解决．另外，许多几何、物理以及实际问题也可以转化为解三角形的问题来研究． 课堂总结 感谢聆听! $