2026年中考数学一轮复习 第11讲 二次函数【2大考点16大题型】 全国通用

第11讲 二次函数（举一反三复习讲义） 【2大考点16大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 3 （一）考查分值 3 （二）考查题型 3 （三）高频考点（2023-2026年重点） 3 （四）命题趋势（2026年预测） 3 （五）复习建议 4 考点一 二次函数的图像与性质 4 【题型1 二次函数的定义】 6 【题型2 二次函数的图像和性质】 8 【题型3 二次函数的图像与系数的关系】 10 【题型4 二次函数的对称性】 16 【题型5 二次函数的最值】 20 【题型6 待定系数法求二次函数解析式】 25 【题型7 二次函数图像的平移】 31 【题型8 二次函数与一元二次方程】 35 【题型9 二次函数与不等式】 40 考点二 二次函数的应用 45 【题型10 实际问题与二次函数】 46 【题型11 二次函数综合之线段周长问题】 50 【题型12 二次函数综合之面积问题】 58 【题型13 二次函数综合之角度问题】 68 【题型14 二次函数综合之特殊三角形问题】 82 【题型15 二次函数综合之特殊四边形问题】 91 【题型16 二次函数综合之相似三角形问题】 101 特色专项练 111 【新考向：新考法】 111 【新考向：新情境】 114 【新考向：跨学科】 117 中考真题练 120 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 二次函数是中考数学核心压轴模块，贯穿代数与几何，近4年坚持“素养立意”，侧重综合应用与数形结合，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，二次函数分值10～14分，占总分10%～14%，覆盖选择、填空、解答（压轴题为主），是高分关键模块。 （二）考查题型 基础题型（50%）：选择、填空，考查二次函数定义、顶点坐标、对称轴、开口方向； 中档题型（30%）：解答题基础问，考查待定系数法求解析式、函数增减性、最值； 压轴题型（20%）：解答题压轴，考查二次函数与几何、方程、不等式综合，侧重综合应用。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：二次函数图像与性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性）； 必考：待定系数法求解析式、顶点式应用、函数最值； 高频：二次函数与几何（三角形、四边形）综合、与一次函数交点问题。 （四）命题趋势（2026年预测） 1. 整体难度偏中难，基础题稳定，压轴题侧重综合能力与数形结合； 2. 综合考查常态化，常与几何图形、实际情境（利润、最值）结合； 3. 重点考查顶点式应用、最值求解、综合建模，区分度较强。 （五）复习建议 1. 牢记三种解析式（一般式、顶点式、交点式）及转化方法； 2. 熟练掌握图像性质，专项训练待定系数法与最值求解； 3. 突破几何综合题型，培养数形结合、分类讨论思想，规避计算错误。 考点一 二次函数的图像与性质 1、 二次函数的概念 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：， 它直接显示二次函数的顶点坐标是； (3)交点式：， 其中x1，x2是图象与x轴交点的． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 3、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 【题型1 二次函数的定义】 【例1】 （2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 【变式1-1】 （2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 【变式1-2】 （2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 【变式1-3】 （2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型2 二次函数的图像和性质】 【例2】 （2026·安徽阜阳·一模）抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 【变式2-1】 （2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由抛物线的对称性可知点的坐标，可得，将代入两个抛物线方程即可求得的关系． 【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线． 抛物线与抛物线相交于点，M是的中点， 由抛物线的对称性可知，，即． 将点代入，可知，，， 则， ， ， ． 【变式2-2】 （25-26九年级上·河南开封·期末）写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 【变式2-3】 （25-26九年级上·河南许昌·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的性质作答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：C． 【题型3 二次函数的图像与系数的关系】 【例3】 （2026·安徽阜阳·一模）如图，二次函数的图象与轴正半轴的交点的坐标为，对称轴为直线．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图象可知、的正负，根据对称轴可得，即可判断的正负，进而可判断A选项；由抛物线与轴的一个交点坐标结合对称轴可确定另一个交点坐标，将两点坐标代入函数解析式中可得两式，两式相加即可判断B选项；由抛物线与轴的交点坐标可得的取值范围，确定与的关系，进而可确定的取值范围，即可判断C选项；由二次函数图象与一元二次方程的关系可得，将代入进行化简，即可判断D选项． 【详解】解：观察图象可知：，，对称轴为直线， ， ， ，故A错误； 二次函数的图象与轴正半轴的交点坐标为， ， 对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ， 得：， ，故B正确； 由图象得，由①可得， ， ，故C错误； 二次函数的图象与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ， ，故D错误． 【变式3-1】 （2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 【变式3-2】 （2025·西藏日喀则·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）． A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握好相关知识是关键． 根据和时，的值可判断①和②；由对称轴的位置和开口方向可判断③；综合、、的范围可判断④． 【详解】解：对于①：由图象可知，当时，，即，故①正确； 对于②：由图象可知，当时， ，即，故②正确； 对于③：抛物线的开口向上， ∴，即， 由对称轴位置可知 ∴， ∴，故③正确； 对于④：∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 又∵，， ∴，故④错误； 综上，①②③正确． 故选：D． 【变式3-3】 （2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①； ②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 【题型4 二次函数的对称性】 【例4】 （2024·青海西宁·中考真题）点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ，是抛物线上的两个点，， 、两点关于对称轴对称， ， ， 而抛物线与轴的交点是， ， 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：C． 【变式4-1】．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】(1) (2)直线； (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 【变式4-2】 （25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得对称轴为直线，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出二次函数与轴的交点坐标为，则该点关于对称轴的对称点为，结合，且得出，解得，当点、都在对称轴左边时，由可得，，解得，当点、在对称轴两侧时，由可得，，解得，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点和点纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∵二次函数解析式为， ∴，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 在中，当时，，即二次函数与轴的交点坐标为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，且， ∴， 解得：， 当点、都在对称轴左边时，由可得，， 解得， 当点、在对称轴两侧时，由可得，， 解得， 综上所述，由或，结合的条件， 的取值范围是或 故选：B． 【变式4-3】 （2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【答案】(1)， (2)向下平移4个单位；向右移1个单位，下移个单位；向左移2个单位 (3)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的平移问题． （1）利用二次函数对称性，和的y值相等，得对称轴，和关于对称轴对称，故m等于时的y值，再用交点式设解析式，代入已知点求系数a，展开得一般式； （2）上下平移改变常数项，左右平移改变顶点坐标，据此得出二次函数的平移过程； （3）选择上下平移方式，说明平移对解析式的影响，再将原抛物线顶点式展开得一般式，由上下平移改变常数项即可得出结果． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线对称轴为， ∴顶点坐标为， ∴与时的y值相等， ∴， 设， 将代入， ∴， ∴． （2）解：向下平移4个单位，； 向右移1个单位，再向下移个单位，； 向左移2个单位，． （3）解：向下平移4个单位： ， ∵抛物线过原点时常数项为0， ∴向下平移4个单位即可过． 【题型5 二次函数的最值】 【例5】 （2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 【变式5-1】 （2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 【变式5-2】 （2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 【变式5-3】 （2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】本题考查了二次函数的变形题型，仔细阅读材料是解题关键． （1）设的解析式为，将代入即可求解； （2）由：得：：；由直线：得：联立①②得：，解方程即可； （3）作关于直线的对称点，连接，可得此时取得最小值；求出直线的解析式，得到，即可求解； 【详解】解：（1）设的解析式为， 将代入得：， 解得：； ∴的解析式为； （2）由：得：：； 由直线：得： 联立①②得：， 解得：； ∴或； 即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵ ∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，； 即：； ∵，， ∴； 【题型6 待定系数法求二次函数解析式】 【例6】 （2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 【变式6-1】 （2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 【变式6-2】 （2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①或；②当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式进行求解即可； （2）①根据顶点坐标公式，以及顶点P到x轴的距离为10，列出方程，进行求解即可；②根据题意得到，分和，两种情况进行讨论即可； （3）根据，得到，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，进而得到，把和代入，求出之间的关系，代入不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得； 故答案为：8； （2）的顶点P的坐标为， ①当时，， ∵P到x轴距离为10， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴或． 故答案为：或； ②∵， ∴P到直线m距离为． 当时，即时，， ∴当时h随b的增大而增大，时h随b的增大而减小； 当时，即或时，， ∴当时h随b的增大而减小，时h随b增大而增大； ∴综上所述，当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小； （3）由题意知：， ∴． 如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则， ∴， 把和代入，得． ∴， ∴， 解得或或． 【变式6-3】 （2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 【题型7 二次函数图像的平移】 【例7】 （2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 【变式7-1】 （2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 【变式7-2】 （2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 【变式7-3】 （2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 【题型8 二次函数与一元二次方程】 【例8】 （2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 【变式8-1】 （2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 【变式8-2】 （2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】BCD 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可． 【详解】解：把代入，得： ，解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同，均为， ∴关于的方程的两个根是和4，故B选项正确； ∵， ∴为， ∴在直线上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式的最大值为；故D选项正确； 故选BCD． 【变式8-3】 （2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 【题型9 二次函数与不等式】 【例9】 （2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 【变式9-1】 （2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 【变式9-2】 （2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，，即可判断①；图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不等实数根，可判断②；由二次函数对称性得到与轴另一个交点的坐标，代入二次函数解析式可判断③；由直线推得其一定经过点，由图象可判断④． 【详解】解：依题得：图象开口向下，即， 当时，， 对称轴为直线，则， ， ，①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，②错误； 二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， 另一个交点坐标为， ， 即， ， ， 即，③正确； ， 直线经过点， 又直线经过点，如下图， 关于的不等式，即的解集是，④正确． 综上，正确结论的个数为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是运用数形结合思想解题． 【变式9-3】 （2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式关系，命题与定理，求出交点的坐标并准确识图是解题关键． 先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析二次函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④正确． 故选：B． 考点二 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【题型10 实际问题与二次函数】 【例10】 （2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 【变式10-1】 （2025·湖南·模拟预测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      【答案】此时水面的宽度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可知，点 在此抛物线上， 则 ， 解得， ， 当水面上升时，，则：， 解得， 此时水面的宽度为． 答：此时水面的宽度为． 【变式10-2】 （2025·辽宁抚顺·一模）某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是元，根据市场调查，当销售单价是元时，每天销售量是件，销售单价每降低元，就可多售出件． (1)求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)若商场规定该品牌童装的销售单价不低于元且不高于元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售该品牌童装获得的最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据总利润=单利润数量列出函数关系式即可； （2）由题意得，对二次函数求自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 答：销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， ， ∴， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为4420， 答：销售该品牌童装获得的最大利润是元． 【变式10-3】 （2025·陕西西安·一模）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 【题型11 二次函数综合之线段周长问题】 【例11】 （2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【变式11-1】 （2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 【变式11-2】 （2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 【变式11-3】 （2025·贵州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征； (3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值． 【答案】(1) (2)有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一），它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点； (3) 【分析】（1）抛物线的函数表达式为，用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的图象与x轴交于两点，得到抛物线图象的对称轴为，设有别于的抛物线的表达式为，只需令即可求解； （3）根据题意可得轴，联立，则，得到，设为方程的两个实数根，求出，进而得到，利用完全平方公式变形建立关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 则，即， 解得：， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点， ∴抛物线图象的对称轴为， 设有别于的抛物线的表达式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴， ∴有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一）， 它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点； （3）解：∵是平行于x轴的直线，直线与抛物线交于E，F两点， ∴轴， 联立，则， ∵， ∴，即， 设为方程的两个实数根， ∴， ∴， ∵线段的长度为5， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴（符合题意）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【题型12 二次函数综合之面积问题】 【例12】 （2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 【变式12-1】 （2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 【变式12-2】 （2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 【变式12-3】 （24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 【题型13 二次函数综合之角度问题】 【例13】 （2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， 则 解得， 直线的解析式为， 设，， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值是； （3）存在． 假设存在这样的点D，中有一个角与相等， 点F为的中点， ，， 过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2， ①若， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立， 解得，或（舍）， ②若， 同理可得，，， ， 同理可得，直线的解析式为， ， 解得或（舍）， 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标． 【变式13-1】 （2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 【变式13-2】 （2025·山东威海·一模）抛物线，顶点为点． (1)顶点坐标_____； (2)当时， ①的值总大于4，求取值范围； (3)当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 【答案】(1)； (2)①的取值范围是； (3)②的面积存在最大值，取得最大值．点坐标为． ③；④12． 【分析】（1）利用抛物线顶点坐标公式，将抛物线中的系数代入，求出顶点的坐标． （2）①先确定抛物线对称轴，再分对称轴在给定区间左侧、内部、右侧三种情况，根据函数单调性求出的最小值，让最小值大于，从而确定的取值范围． （3）② 先求出抛物线平移后的解析式及相关点坐标，通过相似三角形得到与面积关系，设出点坐标，进而表示出面积关于某一变量的函数，根据函数性质求最大值及此时点坐标．③ 通过构造辅助圆，利用圆周角性质，找到使得最大时的点位置，再根据直线解析式求出点坐标．④ 通过作辅助线将进行转化，再根据垂线段最短求出的最小值． 【详解】（1）解：在抛物线中，，，． ∴，． ∴顶点坐标为． （2）解：①∵顶点坐标为． ∴抛物线的对称轴为直线． 当时： 在，随的增大而增大． ∴当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴， 解得． 结合前提， ∴． 当时， 当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴，即，此方程无实数解． 当时， 在时，随的增大而减小． ∴当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴， 解得． 结合前提，此时无解． 综上，的取值范围是． （3）解：②当时，抛物线向下平移个单位，得到． 令，则， ∴， 解得，， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入 ，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 同理得直线的解析式为． ∵， ∴， ∴． 设（），则，，． ∵． ∴． ∵ ， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值． 此时点坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入 ，得， ∴， ∴． 联立， 解得， ∴点坐标为． ③以为弦作圆，当圆与直线相切时，切点即为使得最大的点． ∵时， ∴原抛物线， ∴顶点， 由（）②得直线的解析式：． 又，，． ∴中点坐标为， ∵，， ∴直线为， ∴设的垂直平分线为， ∴ 把代入得， ∴的垂直平分线为． 设圆心坐标为，连接， ∵圆与直线相切， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴在直线上， 联立， 解得，， ∴； ④作直线，过作于，设为与轴的交点，连接， ∵，， ∴，，， ∴． ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值，即取最小值， 如图， 此时，即 ∴， ∴取最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标的求解、函数在某区间内的最值问题，还涉及到相似三角形的判定与性质、直线解析式的求解、圆的相关性质以及利用几何变换求最值等知识点．解题的关键在于熟练运用二次函数的各种性质，针对不同问题合理构造辅助线或辅助图形，通过建立函数关系或利用几何定理进行求解． 【变式13-3】 （2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求． （2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标． （3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴． 设， 把代入，得，即， ∴． ∴． （2）解：由题意得： 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∵， ， 当点在第四象限时， ， 设， ∴，即：， ∴， 当点在第二象限时， ∵，， ∴， ∴轴， ∴，即：， ∴， 综上，点的横坐标为或； （3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为， 中，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键． 【题型14 二次函数综合之特殊三角形问题】 【例14】 （2025·上海闵行·一模）在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【答案】2 【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∴， 如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键． 【变式14-1】 （2025·河南郑州·三模）已知抛物线（为常数） (1)当时 ①直接写出该抛物线与轴的交点的坐标：_____； ②求此时抛物线的顶点坐标； ③点也是该抛物线上的点，如果是直角三角形，求出此时点的坐标； (2)当时，所对应的函数值总大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②点的坐标为；③点的坐标为或． (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质（与坐标轴交点、顶点、单调性等）及直角三角形存在性问题，熟练掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键． （1）①求抛物线与轴交点，令代入解析式计算．②把代入解析式，通过配方法化为顶点式求顶点坐标．③先确定、坐标，设坐标，分、、为直角三种情况，利用勾股定理列方程求解． （2）先求抛物线对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况（、、），结合二次函数单调性，求出时的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 令，则， ． ②， 顶点． ③设，，． ∴，，． 当时，由解得，此时； 当时，由解得，此时； 当时，由解得或，对应点和点，不构成三角形，应舍去． 综上，或． （2）解：抛物线，对称轴，开口向下． 当时，时最小，． 由得，与无交集，舍去． 当时，或时最小，时，时． 由，解得， ． 当时，时最小，． 由得，结合， ． 综上，的取值范围是． 【变式14-2】 （2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 【变式14-3】 （2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【题型15 二次函数综合之特殊四边形问题】 【例15】 （24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式15-1】 （24-25九年级下·甘肃陇南·月考）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式15-2】 （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 【变式15-3】 （2025·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．点A、B是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为m、． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当点A恰好与该抛物线的顶点重合时，连接，设与x轴交于点E．过点B作轴于点F，求此时的值； (3)已知直线l是与x轴平行的一条直线，当直线l不经过点A时，过点A作于点D．连接．以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线l上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②若直线l恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线l相交于点G，当直线分平行四边形的面积为1：5两部分，且点A在点B的右边时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)2 (3)①或；②或． 【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可得解； （2）先求出，进而求得直线为，令得，解得，得，从而求得，从而即可得解； （3）①分为当时，当时，当时三种情况详细讨论即可； ②当在的右边时，由，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：如图， ∵顶点坐标为， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 设直线为， 把，代入得， 解得， ∴直线为， 令得，解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图， 当时，点A在点B左边，当时，在平行四边形内部包含该抛物线下降部分图象，显然不符合题意， ∴； 当时，A，B两点重合，不符合题意； 当时，点A在点B右边，当时，在平行四边形内部包含该抛物线下降部分图象，显然不符合题意， 故此时； 综上：或； ②如图，当在的右边时， 由题意得，，点的纵坐标为， ∴，， ∵直线分平行四边形的面积为两部分， 设平行四边形边上的高为h， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，，抛物线的顶点在同一直线上， ∴， 解得：或． 综上：或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的图象及性质，解直角三角形，解不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【题型16 二次函数综合之相似三角形问题】 【例16】 （2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 【变式16-1】 （2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，，； (2)所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，，解得，，则，，当时，，通过，求出的值即可； （）分当时，则时，当时，则时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，当时，则时，， ∴轴， 设， ∴， ∴，， 由（）得，， ∴，解得：， 经检验是原方程的解， ∴，； 如图，当时，则时，，过作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【变式16-2】 （2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，P点坐标或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可，再把解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况讨论：当时，当时，分别求出P点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴M点的坐标为； （2）解：存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似，理由如下： 当时，， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， 当时，， ∴， 解得：， ∴，解得：或2（舍去）， ∴； 当时，， ∴，解得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴P点的坐标为； 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式16-3】 （24-25九年级下·广东汕头·月考）如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3)面积的最大值是8，点P的坐标是． 【分析】（1）把点，，代入解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解； （3）设的延长线交与点N，求出直线的表达式为：，然后设点，则），得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， 把点，代入解析式得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：设， 当时，则有轴，如图， ∴点P的纵坐标为2， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，过点P作轴，垂足为M，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， 即， 解得：（舍）或， ∴， 综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为或； （3）解：设的延长线交与点N， ∵，点C与点B关于x轴对称， ∴， 设直线的表达式为：， 把A，C代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则）， ∴ ∴， ∵， ∴有最大值，且， ∴当时，的面积最大，最大面积是8， 此时，， 综上所述，面积的最大值是8，点P的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 【答案】AC 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，动点的函数表达式，作，易得四边形为矩形，得到，进而得到，在中，求出的长，分点在和点在上两种情况，进行讨论，求出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，故A正确； 当点在上时， ∵，，， ∴，， ∴；故B错误； 当点在上时，如图， 则：， ∴；故C正确； 当时，随着的增大而减小，故D错误； 故选AC． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 【新考向：新情境】 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 2．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 【新考向：跨学科】 1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． (1)如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； (2)此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 【答案】(1) (2)拦截不成功 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）设函数表达式为，再用待定系数法求解即可； （2）将代入函数，得：，求得，再比较得出结论． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为，设函数表达式为， 将点、代入函数，得： ， 解得：， ∴篮球在空中飞行的最大高度为； （2）解：函数表达式为， 将代入函数，得：， 化简，得， ∵， ∴所以拦截不成功． 中考真题练 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 3．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 8．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 9．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 二次函数（练习） 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 4．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 5．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 6．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 10．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 17．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 18．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 19．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 20．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 二次函数（练习） 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，由题意得，， 作于点， ∵， ∴， ∴，是二次函数； 当点P在上运动时，由题意得， ∴，是一次函数； 故选：D． 4．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 5．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 6．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 9．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 10．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 11．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 12．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 14．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 15．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 16．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 17．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 18．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 19．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 20．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 二次函数（举一反三复习讲义） 【2大考点16大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026年重点） 2 （四）命题趋势（2026年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 二次函数的图像与性质 3 【题型1 二次函数的定义】 5 【题型2 二次函数的图像和性质】 6 【题型3 二次函数的图像与系数的关系】 7 【题型4 二次函数的对称性】 9 【题型5 二次函数的最值】 10 【题型6 待定系数法求二次函数解析式】 12 【题型7 二次函数图像的平移】 13 【题型8 二次函数与一元二次方程】 15 【题型9 二次函数与不等式】 16 考点二 二次函数的应用 17 【题型10 实际问题与二次函数】 18 【题型11 二次函数综合之线段周长问题】 19 【题型12 二次函数综合之面积问题】 22 【题型13 二次函数综合之角度问题】 23 【题型14 二次函数综合之特殊三角形问题】 25 【题型15 二次函数综合之特殊四边形问题】 27 【题型16 二次函数综合之相似三角形问题】 29 特色专项练 30 【新考向：新考法】 30 【新考向：新情境】 31 【新考向：跨学科】 33 中考真题练 34 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 二次函数是中考数学核心压轴模块，贯穿代数与几何，近4年坚持“素养立意”，侧重综合应用与数形结合，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，二次函数分值10～14分，占总分10%～14%，覆盖选择、填空、解答（压轴题为主），是高分关键模块。 （二）考查题型 基础题型（50%）：选择、填空，考查二次函数定义、顶点坐标、对称轴、开口方向； 中档题型（30%）：解答题基础问，考查待定系数法求解析式、函数增减性、最值； 压轴题型（20%）：解答题压轴，考查二次函数与几何、方程、不等式综合，侧重综合应用。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：二次函数图像与性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性）； 必考：待定系数法求解析式、顶点式应用、函数最值； 高频：二次函数与几何（三角形、四边形）综合、与一次函数交点问题。 （四）命题趋势（2026年预测） 1. 整体难度偏中难，基础题稳定，压轴题侧重综合能力与数形结合； 2. 综合考查常态化，常与几何图形、实际情境（利润、最值）结合； 3. 重点考查顶点式应用、最值求解、综合建模，区分度较强。 （五）复习建议 1. 牢记三种解析式（一般式、顶点式、交点式）及转化方法； 2. 熟练掌握图像性质，专项训练待定系数法与最值求解； 3. 突破几何综合题型，培养数形结合、分类讨论思想，规避计算错误。 考点一 二次函数的图像与性质 1、 二次函数的概念 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：， 它直接显示二次函数的顶点坐标是； (3)交点式：， 其中x1，x2是图象与x轴交点的． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 3、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 【题型1 二次函数的定义】 【例1】 （2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【变式1-1】 （2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【变式1-2】 （2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【变式1-3】 （2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型2 二次函数的图像和性质】 【例2】 （2026·安徽阜阳·一模）抛物线的对称轴为直线________． 【变式2-1】 （2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2-2】 （25-26九年级上·河南开封·期末）写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【变式2-3】 （25-26九年级上·河南许昌·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【题型3 二次函数的图像与系数的关系】 【例3】 （2026·安徽阜阳·一模）如图，二次函数的图象与轴正半轴的交点的坐标为，对称轴为直线．则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】 （2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】 （2025·西藏日喀则·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）． A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 【变式3-3】 （2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①； ②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 二次函数的对称性】 【例4】 （2024·青海西宁·中考真题）点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【变式4-2】 （25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式4-3】 （2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【题型5 二次函数的最值】 【例5】 （2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【变式5-1】 （2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】 （2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【变式5-3】 （2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【题型6 待定系数法求二次函数解析式】 【例6】 （2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【变式6-1】 （2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【变式6-2】 （2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【变式6-3】 （2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【题型7 二次函数图像的平移】 【例7】 （2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【变式7-1】 （2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【变式7-2】 （2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【变式7-3】 （2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型8 二次函数与一元二次方程】 【例8】 （2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【变式8-1】 （2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【变式8-2】 （2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【变式8-3】 （2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 二次函数与不等式】 【例9】 （2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】 （2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【变式9-2】 （2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】 （2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 考点二 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【题型10 实际问题与二次函数】 【例10】 （2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】 （2025·湖南·模拟预测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      【变式10-2】 （2025·辽宁抚顺·一模）某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是元，根据市场调查，当销售单价是元时，每天销售量是件，销售单价每降低元，就可多售出件． (1)求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)若商场规定该品牌童装的销售单价不低于元且不高于元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 【变式10-3】 （2025·陕西西安·一模）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【题型11 二次函数综合之线段周长问题】 【例11】 （2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-1】 （2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】 （2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【变式11-3】 （2025·贵州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征； (3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值． 【题型12 二次函数综合之面积问题】 【例12】 （2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式12-1】 （2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】 （2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【变式12-3】 （24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型13 二次函数综合之角度问题】 【例13】 （2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】 （2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【变式13-2】 （2025·山东威海·一模）抛物线，顶点为点． (1)顶点坐标_____； (2)当时， ①的值总大于4，求取值范围； (3)当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 【变式13-3】 （2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【题型14 二次函数综合之特殊三角形问题】 【例14】 （2025·上海闵行·一模）在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【变式14-1】 （2025·河南郑州·三模）已知抛物线（为常数） (1)当时 ①直接写出该抛物线与轴的交点的坐标：_____； ②求此时抛物线的顶点坐标； ③点也是该抛物线上的点，如果是直角三角形，求出此时点的坐标； (2)当时，所对应的函数值总大于，直接写出的取值范围． 【变式14-2】 （2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-3】 （2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【题型15 二次函数综合之特殊四边形问题】 【例15】 （24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】 （24-25九年级下·甘肃陇南·月考）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】 （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【变式15-3】 （2025·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．点A、B是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为m、． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当点A恰好与该抛物线的顶点重合时，连接，设与x轴交于点E．过点B作轴于点F，求此时的值； (3)已知直线l是与x轴平行的一条直线，当直线l不经过点A时，过点A作于点D．连接．以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线l上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②若直线l恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线l相交于点G，当直线分平行四边形的面积为1：5两部分，且点A在点B的右边时，直接写出m的值． 【题型16 二次函数综合之相似三角形问题】 【例16】 （2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式16-1】 （2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-2】 （2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】 （24-25九年级下·广东汕头·月考）如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【新考向：新情境】 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 2．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【新考向：跨学科】 1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． (1)如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； (2)此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 中考真题练 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 6．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 8．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $