专题03 向量基底与等和线应用（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题03 向量基底与等和线应用 2 类型一、基底：绕三角形基础 2 类型二、基底：内线定比分点型 3 类型三、基底：相交线型 4 类型四、 基底：数量积型 5 类型五、等和线：基础型 6 类型六、等和线：系数不是1型 7 类型七、等和线：系数差型 7 类型八、等和线：均值分式型 8 类型九、等和线：二次型与积型 9 类型十、等和线应用：轨迹型 11 类型十一、 等和线应用：点的位置型 11 类型十二、等和线应用：面积比值型 12 13 类型一、基底：绕三角形基础 “鸡爪”型，也是“中点”或者“特殊等分点型”，是向量线性运算基础： 若D点在BC线段上，且满足,则有 例1．1．（24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1． （2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ） A． B． C． D． 变式1-2．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-3． （24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 类型二、基底：内线定比分点型 线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 例2． （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 变式2-1． （24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2． （2025高三·全国·专题练习）如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3． （24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 类型三、基底：相交线型 向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 例3．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 变式3-1． （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 变式3-2． （22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3-3． （2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ） A． B． C． D． 类型四、 基底：数量积型 平面向量数量积公式有两种形式： 1. 。 2. 。 3. 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2）求投影， 在 上的投影是； （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 例4．（24-25高一下·广西·期中）已知在平行四边形中，，在直线上有点满足，则的值为（    ） A．18 B． C．37 D． 变式4-1．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式4-2． （2025·山东滨州·二模）在平行四边形中，点在边上，且，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．4 变式4-3． （2025·广东汕头·二模）在中，为边上的中线，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 类型五、等和线：基础型 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 例5．（24-25全国 专题练习）正六边形中，令，，是△内含边界的动点（如图），，则的最大值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时，构建三点共线位置关系是本题的关键． 变式5-1． （24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-2． （2025·全国模拟预测）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（  ） A．2 B．3 C．5 D．6 变式5-3． （17-18高三上·山西运城·期中）长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是 A． B． C． D． 类型六、等和线：系数不是1型 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 例6．（21-22高一下·四川雅安·月考）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（       ） A． B． C．1 D．2 变式6-1． （2022·安徽淮北·一模）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-2．（24-215高三 全国模拟预测）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3． （23-24高一下·河南信阳·月考）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 类型七、等和线：系数差型 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 2. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 例7．（19-20高一上·辽宁辽阳·期末）在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（    ） A． B．1 C． D． 变式7-1．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2． （23-24高一下·山东·月考）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 变式7-3． ．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型八、等和线：均值分式型 利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 例8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 变式8-1．（22-23高三上·山西吕梁·月考）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 故选：C. （22-23高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式8-2． （24-25高三四川模拟预测）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式8-3． （24-25高一下·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 类型九、等和线：二次型与积型 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 例9．（2025全国·模拟预测）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 变式9-1． （21-22高一下·山东·月考）已知向量与的夹角为120°，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为、．的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 变式9-2． （24-25高三全国专题练习）如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式9-3． （2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为 【答案】 【分析】建系，根据平面向量的坐标运算可得，根据三角函数的定义可设，，结合同角三角关系以及正弦函数的性质分析运算. 【详解】如图，以为坐标原点，为x轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 由题意可得，则，即点为， 因为点在以为圆心的劣弧上运动，所以类比三角中的“平方关系”，可以设，，则， 又因为，则，所以的最大值是，当且仅当，即，时，取到最大值.故答案为：2. 类型十、等和线应用：轨迹型 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 例10．（24-25高三全国专题练习）在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 变式10-1． （2020高三·上海·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ） A． B． C． D． 变式10-2． （22-23高三上·安徽·月考）在中，，，，角A是锐角，O为的外心．若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式10-3． （22-23高三上·江西·模拟预测）在中，.若动点满足，则点的轨迹于直线所围成的封闭区域的面积为（    ） A． B． C． D． 类型十一、 等和线应用：点的位置型 向量基地型点的位置，可以借助于设点建系建立坐标系求解 例11．（2021·四川南充·三模）已知点，，，平面区域是由所有满足（其中，）的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式11-1． （24-25高三河北模拟预测）如图，∥，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则满足条件的实数对可以是（    ） A． B． C． D． 变式11-2． （24-25高三广州模拟预测）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-3．（24-25高一下·北京顺义·月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，其中，，则所有点构成的图形面积为（   ） A． B． C． D． 类型十二、等和线应用：面积比值型 例12．（多选）1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（    ） A．当时，直线过边的中点 B．若时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则满足 变式12-1．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 变式12-2． （24-25高一·全国·课后作业）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为________. 变式12-3． （20-21高一下·江西景德镇·期中）已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积之比为_________. 压轴专练 一、单选题 1．（22-23高一下·四川成都·期末）在平行四边形中，为对角线上靠近点的三等分点，延长交于，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·福建莆田·期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（22-23高一下·贵州黔东南·期末）在中，点为上的点，且，若，则是 （    ） A． B． C．1 D． 4．（21-22高一下·四川成都·期末）如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C． D． 5．（22-23高一下·广东珠海·月考）如图，在中，分别是，的中点，是，的交点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 7．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 11．（25-26高三上·山西运城·期末）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 13．（25-26高三上·天津·期末）在中，，点，满足，，与交于 点．记，用和表示___________；若为的中点，，，则___________． 14．（24-25高二下·浙江温州·期中）在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线交线段AB、线段AC分别于点，记的面积为，四边形GDCF的面积为，则的最小值______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 向量基底与等和线应用 2 类型一、基底：绕三角形基础 2 类型二、基底：内线定比分点型 4 类型三、基底：相交线型 6 类型四、 基底：数量积型 8 类型五、等和线：基础型 10 类型六、等和线：系数不是1型 12 类型七、等和线：系数差型 15 类型八、等和线：均值分式型 16 类型九、等和线：二次型与积型 19 类型十、等和线应用：轨迹型 21 类型十一、 等和线应用：点的位置型 24 类型十二、等和线应用：面积比值型 27 29 类型一、基底：绕三角形基础 “鸡爪”型，也是“中点”或者“特殊等分点型”，是向量线性运算基础： 若D点在BC线段上，且满足,则有 例1．1．（24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以，即， 则.故选：C 变式1-1． （2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合图像得到四边形为平行四边形，从而得到，由及得到. 【详解】连接CD，OD，如图， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形， .∵，，∴.故选：D. 变式1-2．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得，所以， 又因为，所以.故选：D. 变式1-3． （24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点， 即， 则．故选：C. 类型二、基底：内线定比分点型 线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 例2． （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（），则， 所以，所以，解得； 方法二：因为三点共线，由三点共线的性质定理可知，所以．故选：A 变式2-1． （24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】，，，，，是线段上一点，三点共线， ，解得.故选A. 变式2-2． （2025高三·全国·专题练习）如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减、数乘的几何意义用表示出，即可得参数值，进而求目标式的值. 【详解】由题意，，， 又， 解得，所以，，则.故选：D 变式2-3． （24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 类型三、基底：相交线型 向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 例3．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以，设，则， ，又因为，即， 所以，设，则， ，所以，解得，， 则，即，则. 变式3-1． （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使，有， 且，因为，即， 因为与不共线，所以有，解得.故选：C. 变式3-2． （22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】在中，令，，则，， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是， ， ， 所以.故选：A 变式3-3． （2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后由三点共线可得． 【详解】由题意得，， 因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得．故选：C． 类型四、 基底：数量积型 平面向量数量积公式有两种形式： 1. 。 2. 。 3. 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2）求投影， 在 上的投影是； （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 例4．（24-25高一下·广西·期中）已知在平行四边形中，，在直线上有点满足，则的值为（    ） A．18 B． C．37 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用表示出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，， 则由 即，所以.故选：A 变式4-1．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解. 【详解】因为，则， 又，则，， 所以， 又，，所以，故选：C. 变式4-2． （2025·山东滨州·二模）在平行四边形中，点在边上，且，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．4 【答案】B 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以 . 故选：B 变式4-3． （2025·广东汕头·二模）在中，为边上的中线，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选为基向量，将用基向量表示，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，因为边上的中线，则 ，又 ， 则．故选：D. 类型五、等和线：基础型 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 例5．（24-25全国 专题练习）正六边形中，令，，是△内含边界的动点（如图），，则的最大值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由 可得，然后再利用三点共线，数形结合可以求出的最大值． 【详解】解：，．令，则有． 又，，，三点共线．．当达到最大为时，，点到线段的最短距离为，即恰好达到最小为．． 故选：． 【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时，构建三点共线位置关系是本题的关键． 变式5-1． （24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】过作于，设正六边形的边长为，根据向量的数量积的定义计算，由，可得，根据数量积的几何意义计算得取值范围，从而得的取值范围，即可得答案. 【详解】如图，过作于， 设正六边形的边长为，则，， 则， 因为，所以， 又，由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以，所以，即，所以， 故的最大值为.故选：C. 变式5-2． （2025·全国模拟预测）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（  ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律可得，应用重要不等式及数形结合可得且，此时共线，即可确定最大值. 【详解】由， 根据题设，， 又，当且仅当时等号成立， 所以，即， 如上图知：当圆心在上运动时，有，此时共线， 所以，当且仅当时等号成立，故． 故选：C 变式5-3． （17-18高三上·山西运城·期中）长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵=m+n，∴2=（m+n）2， ∴，即， 即m2+n2+mn=1，故，（当且仅当m=n时，等号成立）；故，故的最大值为，故答案为． 类型六、等和线：系数不是1型 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 例6．（21-22高一下·四川雅安·月考）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意将，两边同时平方可得，再三角代换，利用三角函数的值域求法即可解出． 【详解】由题意得，，，， 由，等式两边同时平方，得，所以，令，则， 则，其中，因为，所以，所以，即的最大值为. 故选：B． 变式6-1． （2022·安徽淮北·一模）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，，， 设，， 即，即，， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1.故选：A. 变式6-2．（24-215高三 全国模拟预测）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过计算证明圆与相切于点，再求出，再求出，的最大值为即得解. 【详解】如图所示，由，，由余弦定理得， ∴,∴圆与相切于点，又，∴；∴； 如图，过点B作连接 由题得,所以,所以, 所以，因为的最大值为， ∴的最大值是.故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 变式6-3． （23-24高一下·河南信阳·月考）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】以为轴，过作与垂直的线作为轴建立平面直角坐标系，设，根据平面向量基本定理得到，再利用辅助角公式计算可得. 【详解】如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴， ，，，，则，， 设， ，，， 其中，又，所以， ，即时，取得最大值，即．故选：C． 类型七、等和线：系数差型 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 2. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 例7．（19-20高一上·辽宁辽阳·期末）在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，，将用向量表示，再由 ，把向量用向量表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论. 【详解】因为，所以 . 因为，所以. 因为E，F，M三点共线，所以， 所以.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题. 变式7-1．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，，故，，所以. 因为三点共线，所以，得. 故选：B. 变式7-2． （23-24高一下·山东·月考）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心，   可得为中点，，，所以， 所以.故选：C. 变式7-3． ．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据条件，列出等式，并化简，最后求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 设,.则. 因为，所以.化简得：. 解得：. 所以. 因为，所以.所以.故选：B. 类型八、等和线：均值分式型 利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 例8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】由中点和三等分点得到，结合，，得到， 由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值. 【详解】因为为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，则， 而，，三点共线，所以，即，则， 当且仅当，即，时取等号．故选：B． 变式8-1．（22-23高三上·山西吕梁·月考）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】因为，所以，即， 又因为G为线段AO的中点，所以，因为，， 所以，因为D、G、E三点共线，所以，即， 所以 ，当且仅当，即时取等号． 故选：C. （22-23高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 又点在线段上（不含端点），所以，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为.故选：D. 变式8-2． （24-25高三四川模拟预测）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线定理推论得，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为 因为点在线段上（不含端点），所以 当且仅当时取等号， 故选：B 【点睛】本题考查向量共线定理推论、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属较难题. 变式8-3． （24-25高一下·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似可得比例，即可根据向量的线性运算求解. 【详解】平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点， ， 又，.故选：D. 类型九、等和线：二次型与积型 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 例9．（2025全国·模拟预测）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B. 点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB的中点,再求出直线PA,PB斜率的表达式, 算出为定值,再由基本不等式求出最小值. 变式9-1． （21-22高一下·山东·月考）已知向量与的夹角为120°，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为、．的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由数量积的定义得，由向量共线定理得在线段上，由，得，利用投影公式计算出，计算是常数，因此只要最小即可得最大，利用余弦定理和基本不等式可得结论． 【详解】由得， 设，，，因为，由向量共线定理知在线段上，如图， 设，则， 因为，所以，即， 故在方向上的投影与在方向上的投影相等，因此， 又，， 所以， 又 ， 所以，为常数，因此要使得最大，只要最小， 由余弦定理，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，因此的最大值为， 故的最大值为．故选：C． 变式9-2． （24-25高三全国专题练习）如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可设并得出，然后根据、分别是边、的中点得出，最后将代入中并化简，即可得出结果. 【详解】因为点、、共线，所以设，其中， 因为、分别是边、的中点，所以，，， 则，， 故当时，最小，最小值为，故选：C. 【点睛】本题考查向量的共线定理，主要考查平面向量的三点共线定理，考查通过配方法求最值，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 变式9-3． （2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为 【答案】 【分析】建系，根据平面向量的坐标运算可得，根据三角函数的定义可设，，结合同角三角关系以及正弦函数的性质分析运算. 【详解】如图，以为坐标原点，为x轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 由题意可得，则，即点为， 因为点在以为圆心的劣弧上运动，所以类比三角中的“平方关系”，可以设，，则， 又因为，则，所以的最大值是，当且仅当，即，时，取到最大值.故答案为：2. 类型十、等和线应用：轨迹型 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 例10．（24-25高三全国专题练习）在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积. 【详解】根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为， 以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示： 根据题意，可得坐标如下：，设点的坐标为，由可得：， 故可得.则点坐标为.设点的坐标为，由， 由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是：以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界. 故可得， 故可得,则. 则以为一组邻边的平行四边形的面积 .故选：. 【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题. 变式10-1． （2020高三·上海·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设，，则，所以，由此得点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆，从而得，，得解. 【详解】解：设，，则，所以；， 则点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆， 表示区域为：以为圆心，内径为,外径为的圆环， 且 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交. 又因为，所以所以. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件利用向量的几何特征建立适当的坐标系,分析出点的轨迹及表示的区域是解决本题的关键，属于中档题. 变式10-2． （22-23高三上·安徽·月考）在中，，，，角A是锐角，O为的外心．若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式求出角，再利用余弦定理得到，利用正弦定理得到外接圆半径，根据得到点的轨迹对于的图形是菱形，最后求面积即可. 【详解】因为，，，所以，又角为锐角，所以． 因此，．由得． 由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为的菱形，． 于是这个菱形的面积．故选：A． 变式10-3． （22-23高三上·江西·模拟预测）在中，.若动点满足，则点的轨迹于直线所围成的封闭区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作BD垂直AC交于点D,求出的长，以点D为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，由可求得点P坐标，然后求得的面积，即可得到本题答案. 【详解】作BD垂直AC交于点D，在中，由，得，在中，由，得， 以点D为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，则， 设，则， 因为，所以，联立消，得，则点P的轨迹为直线CE：①， 易得直线AB: ②，联立①，②，得， 所以点P的轨迹与直线所围成的封闭区域为， 且. 故选：B 【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的综合问题. 类型十一、 等和线应用：点的位置型 向量基地型点的位置，可以借助于设点建系建立坐标系求解 例11．（2021·四川南充·三模）已知点，，，平面区域是由所有满足（其中，）的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到点，延长到点，使得，，作，，，，则四边形，，均为平行四边形．由题意可知：点组成的区域为图中的四边形及其内部．利用向量的夹角公式可得，利用四边形的面积，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】 如图所示，延长到点，延长到点，使得，， 作，，，， 则四边形，，均为平行四边形． 由题意可知：点组成的区域为图中的四边形及其内部． ，，，，，． ，． 四边形的面积， ，即．，当且仅当时取等号．的最小值为9．故答案为：9 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面向量的线性运算画出平面区域. 变式11-1． （24-25高三河北模拟预测）如图，∥，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则满足条件的实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理和平行四边形法则，可以将四个答案一一代入，判断点的位置，排除错误答案，即可得到结论． 【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则， A（，），，此时P在线段AB上， B（，），，此时P在直线AB的上方， 同理，D（，），，此时P在直线AB的上方， 因此ABD均不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理的应用，考查了代入验证法，属于基础题． 变式11-2． （24-25高三广州模拟预测）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围. 【详解】如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且.，由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，， 的取值范围为.故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题. 变式11-3．（24-25高一下·北京顺义·月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，其中，，则所有点构成的图形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，求出，从而可得出关于得二元一次不等式组，作出图象，结合图象，从而可得出答案. 【详解】设，则， 所以，所以，由，， 得，即，与交于，与交于， 则所有点构成图形如图所示（阴影部分），则面积为. 故选：A. 类型十二、等和线应用：面积比值型 例12．（多选）1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（    ） A．当时，直线过边的中点 B．若时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则满足 【答案】AD 【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于C，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果. 【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有, 即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确； 对于B，延长OA至,使 , 延长OB至,使, 连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 , 连接 ,则四边形是平行四边形，所以，而时，，故,即 三点共线，且， 根据同底等高三角形面积相等，则,即与的面积之比为，故B错误；对于C，由于且时，， 故O为的外心和重心，故为等边三角形，则,由可得，故，故C错误； 对于D，因为，且，由得，， 所以,即，故D正确，故选：AD. 变式12-1．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以.又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确.故选：ACD. 变式12-2． （24-25高一·全国·课后作业）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为________. 【答案】1∶4 【分析】由已知得出M，B，C三点共线，令，利用平面向量的加法法则可得值，进而可得△ABM与△ABC面积之比． 【详解】如图，由可知M，B，C三点共线， 令，则 所以，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4. 故答案为：1∶4 变式12-3． （20-21高一下·江西景德镇·期中）已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积之比为_________. 【答案】 【分析】在上取一点，使得,在上一点，使得取，证得四边形为平行四边形，，进而结合平面图形的几何性质即可求出结果. 【详解】 在上取一点，使得,在上一点，使得取，又因为，则，所以四边形为平行四边形，所以，因为，则，，则，所以.故答案为： 压轴专练 一、单选题 1．（22-23高一下·四川成都·期末）在平行四边形中，为对角线上靠近点的三等分点，延长交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似推出为的中点，再根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】易知，，所以，又，所以，即为的中点， 所以.    故选：A 2．（22-23高一下·福建莆田·期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得，再利用数量积的定义与运算律求解. 【详解】由题意可得：， 因为三点共线，则，且， 又因为， 则，可得，解得， 可得， 所以，即. 故选：C. 3．（22-23高一下·贵州黔东南·期末）在中，点为上的点，且，若，则是 （    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据向量三点共线定理求解即可； 【详解】   因为，所以三点共线，所以 故选：D. 4．（21-22高一下·四川成都·期末）如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】选定为基底，根据向量的线性运算表示出，再根据题意可得到，利用三点共线，得，利用“1”的巧用，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，故 ，故, 而，，则故， 所以，由于三点共线，故， 则， 当且仅当时，结合，即时，等号成立，故选：D 5．（22-23高一下·广东珠海·月考）如图，在中，分别是，的中点，是，的交点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面向量基本定理，易得到是的重心，故，从而再将用与作为基底表示出来，从而解出与. 【详解】因为，分别是，的中点，所以是的重心，则， 所以， 又因为，且与不共线， 所以，，则， 故选：A. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】动点满足，因为的表达式中和的系数之和为，所以三点共线，进而得到答案. 【详解】为所在平面上一点，是的中点，动点满足， ∵的表达式中和的系数之和为， ，，三点共线，又∵是的中点， ∴为的边的中线， 点的轨迹一定过的重心． 故选：D． 7．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，，再由，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由平行四边形中，为的中点，可得为的中点， 可得，所以， 又由，可得， 因为点在上，且，可得， 又因为，则， 所以， 因为，所以，所以. 8．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 10．（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高三上·山西运城·期末）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】取CN的中点H，连接MH，易得，，从而，再逐项判断. 【详解】如图， 取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即． 对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 由，可得， 即， 即，所以， 当且仅当，即时， 取得最小值为，故C选项错误，D选项正确． 故选:ABD 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 13．（25-26高三上·天津·期末）在中，，点，满足，，与交于 点．记，用和表示___________；若为的中点，，，则___________． 【答案】 ； . 【分析】设，利用三点共线，求出，结合线性运算求解可得空一；以为基底表示出相关向量，结合已知求得，代入目标式可得空二. 【详解】因为，所以为的中点，所以， 又，所以，所以， 设，则，即， 因为三点共线，所以，得，所以， 整理得， 所以. 因为，，， 所以， ， 因为，所以， 整理得①， 因为，， 所以，整理得②， 联立①②解得 因为， ， 所以 . 故答案为：；. 14．（24-25高二下·浙江温州·期中）在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线交线段AB、线段AC分别于点，记的面积为，四边形GDCF的面积为，则的最小值______. 【答案】 【分析】设，利用推出，根据三点共线推得，结合图形，根据三角形面积之间的关系，得出，将条件代入化成，利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】 如图，不妨记的面积为，的面积为，设， 因是BC的中点，是AD的中点，则， 则， 因三点共线，故，即. 由图知，，， 则， 于是，， 因，故得， 因，则，当且仅当时等号成立， 此时取得最小值为. 故答案为：. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $