提升专题—“双星”和“多星”模型 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理“双星”和“多星”模型讲义通过系统框架梳理知识体系，先明确双星、多星模型定义，再提炼核心特点如向心力来源、周期与角速度关系，结合示意图呈现轨道半径与质量等物理量的内在联系，突出运动和相互作用观念。 讲义亮点在于“模型建构+分层练习”设计，典型例题如双星轨道半径与质量关系分析，三星系统几何关系应用，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。基础练习巩固核心公式，例题深化综合应用，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

“双星”和“多星”模型讲义 1、 “双星模型” 1、 定义 两个离其他星球比较远但离双方比较近且质量相差不大的星球会围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这样的两个星球称为“双星”。 这里因为两个星球距离其他星球都很远，所以和其他星球之间的万有引力都可以忽略不计，那么就只有两个星球之间的万有引力。 2、 特点 (1) 双方的万有引力提供向心力、角速度和周期相同 如左图所示，质量分别为m1和m2的两个星球距离其他星球很远，它们围绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。 这里两个星球的万有引力提供其两个星球做匀速圆周运动的向心力。 若两个星球圆心之间的距离为L，r1和r2分别为m1和m2两星球球心和O点的 距离，则可得出 G＝m1ω2r1 G＝m2ω2r2 两式联立可得 m1r1＝m2r2 即两个星球的轨道半径之比和其质量之比成反比。 因为相同时间内转过的角度相同，所以两星球的角速度相同。 (2) 双方的线速度和向心加速度大小均与轨道半径成正比 因为两个星球的角速度相同，则由v=ωr可知，两者的线速度和半径成正比，即 =； 又由向心加速度an=ω2r可知，两者的向心加速度与半径成正比。 3、 典型例题 例1 “双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　) A.A、B两星球做圆周运动的半径之比为m1∶m2 B.A、B两星球做圆周运动的角速度之比为m1∶m2 C.A星球的轨道半径r1＝L D.双星运行的周期T＝2πL 解析 双星系统中两星球做匀速圆周运动的轨道半径之比和质量之比成反比，所以A错误； 双星系统中两星球做匀速圆周运动的角速度和周期都相同，所以B错误； 因为m1r1＝m2r2且r1+r2＝L，联立可得，r1＝L，所以C错误； 双星运动万有引力提供向心力，则有G＝m1，联立r1＝L可得，T=2πL，所以D正确。 4、 基础练习 (1) 双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，下列说法中正确的是(　　) A.质量大的天体做匀速圆周运动的向心力较大 B.质量大的天体做匀速圆周运动的向心加速度较大 C.质量大的天体做匀速圆周运动的角速度较大 D.质量大的天体做匀速圆周运动的线速度较小 (2) 中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的(　　) A.向心力大小之比为16∶1 B.周期之比为16∶1 C.角速度大小之比为1∶1 D.加速度大小之比为1∶1 (3) (多选)如图所示，两个黑洞A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为m，距离为L，其运动周期为T。则(　　) A.A的质量一定小于B的质量 B.A的线速度一定小于B的线速度 C.L一定，m越大，T越小 D.m一定，L越大，T越小 2、 “多星”模型 1. “三星”模型 三个星体距离其他天体较远，其他天体的影响可忽略，“三星”系统主要有两种情况：一种是三星共线即另外两个质量相同的星球围绕第三个不动的星球做匀速圆周运动，两个星球和中心星体时刻共线；另一种是三个质量相同的星体分别位于等边三角形的三个顶点处，三个星体围绕几何中心做匀速圆周运动。 (1) 三星共线 两个质量相同的星球围绕另外一个固定不动的星球做匀速圆周运动，三个星球时刻共线，且两个做匀速圆周运动的星球轨道半径相同，如下图所示。 中心星球的质量为M，其他两个星球的质量均为m，轨道半径均为r。 · 对于中心星球M，其他两个星球与它的万有引力大小均为G且方向相反，所以受力为0，故M始终不动。 · 对于两个质量均为m的星球，其做匀速圆周运动的向心力大小、线速度大小、角速度以及周期等均相同。 对于其中一个做匀速圆周运动的星球m来说，其受到来自M和另外一个m的万有引力的合力提供向心力，即 G+G=r==r 另外一个星球m的情况和它一样，所以两个星球m做匀速圆周运动的向心力大小、线速度、角速度和周期以及转动方向都相同。 (2) 三星位于等边三角形顶点 三个质量完全相同的星体分别位于等边三角形的三个顶点，三者围绕等边三角形的几何中心同时向同一方向做匀速圆周运动。 r 如左图所示，三个质量都是m的星体，两两之间的距离均为L，则三个星体围成一个边长为L的等边三角形，三个星球围绕三角形的几何中心O点做匀速圆周运动。任一星体离O点距离都为r。 · 三个星球做匀速圆周运动的向心力均为cos30∘，三个星球做匀速圆周运动的角速度、线速度和周期等均相同 任一星球做匀速圆周运动的向心力均为其他两个星体对它的万有引力的合力来提供，如下图所示。即F=cos30∘= r==r，其中L=r 因为三个星球同时围绕几何中心做匀速圆周运动，既要保持等边三角形，则角速度和周期相同，因为轨道半径也相同，所以线速度大小也相同。 F F2 F1 2. “四星”模型 “四星”系统通常距离其他天体较远，存在与宇宙中比较孤立的区域，因此可忽略其他天体对它们的引力干扰。“四星”模型有两种情况：一种是三个质量相同的星球围绕第四个固定不动的星球同向做匀速圆周运动，三个质量相同的星球位于等边三角形的顶点，第四个星球位于等边三角形的几何中心；一种是四颗质量完全相同的星球位于正方形的顶点，四颗星球均围绕正方形的几何中心做匀速圆周运动。 (1) “四星”组成正方形，围绕几何中心做匀速圆周运动 如左图所示，四颗质量均为m的星球两两之间的距离均为L，四颗星球组成一个正方形，围绕几何中心O点做匀速圆周运动。任一星球做匀速圆周运动的向心力由其他三个星球对它的万有引力的合力来提供。 · 四个星球做匀速圆周运动的向心力均为，四个星球做匀速圆周运动的角速度、线速度和周期等均相同 对于任一星球来说，它受其他三个星球的万有引力的合力提供向心力，其中和它 相邻的两个星球的引力F1和F2大小均为，方向互相垂直，则两力的合力F12大小为2cos45∘刚好沿对角线方向指向圆心O，而距离较远的那颗星球对它的万有引力F3大小为G，方向沿着对角线指向圆心O，所以星球受其他三个星球万有引力的合力为： 2cos45∘+ G = F3 F12 F2 F1 万有引力的合力提供向心力，则 =r==r，其中r为轨道半径，而L=r 因为四个星球同时围绕几何中心做匀速圆周运动，既要保持正方形，则角速度和周期相同，因为轨道半径也相同，所以线速度大小也相同。 (2) “四星”系统中，三个质量相同的星球作为等边三角形的顶点围绕处于几何中心不动的第四颗质量不同且固定不动的星球做匀速圆周运动 三颗质量均为m的星球两两相距L，三颗星球围成一个边长为L的等边三角形，质量为M的星球位于等边三角形的几何中心O，M受到其他三颗星球的万有引力大小均为，两两夹 角为120∘，根据几何关系可知，三力刚好平衡，所以M固定不动。这里，r为三个质量为m的星球距O点的距离r，也是三个星球的轨道半径，由几何关系可知，L=r。 · 三个质量为m的星球做匀速圆周运动的向心力大小均为cos30∘+，三个星球做匀速圆周运动的角速度、线速度和周期和转动方向等均相同 对于位于三角形顶点的任一质量为m的星球来说，其做匀速圆周运动的向心力由其他几个星球对它万有引力的合力来提供。其他两个顶点的两个星球对它的万有引力大小均为，方向沿连线指向另外两个星球的圆心，其夹角为60∘，所以两力的合力大小为cos30∘，方向沿轨道半径指向O点；而在几何中心 质量为M的星球对它的万有引力大小为=，方向沿轨道半径指向O点，所以对于任一顶点的星球来说，其万有引力的合力为cos30∘+，其受力如下图所示。对任一顶点的星球来说，其受到万有引力的合力提供向心力，则 cos30∘+=r==r 因为三个星球同时围绕几何中心做匀速圆周运动，既要保持等边三角形，则角速度和周期相同，因为轨道半径也相同，所以线速度大小也相同。 3. 典型例题 例2中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d，三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是(　　) A.匀速圆周运动的半径为d B.每个星球的质量为 C.每个星球表面的重力加速度大小为 D.每个星球的第一宇宙速度大小为 解析 三星均围绕边长为d的等边三角形的中心O做匀速圆周运动，由几何关系可得匀速圆周运动的半径为r＝＝d，A正确； 设星球质量为M，则有2Gcos 30°＝Mr，可得M＝，B错误； 星球表面的重力近似等于万有引力，有mg＝G，可得g＝，C错误；根据G＝m，可得v＝，D正确。 故正确答案为D。 4. 基础练习 (1) 太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　) A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期为4πR C.三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D.三角形三星系统的线速度大小为 (2) 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心0做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则下列说法中不正确的是( ) A每颗星做圆周运动的线速度大小为 B. 每颗星做圆周运动的角速度为 C. 每颗星做圆周运动的周期为 D. 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 (3) 如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为 ，三颗星分别位于边长为 的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为 ，下列说法正确的是（ ） A. 每颗星体受到向心力大小为 B. 每颗星体运行的周期均为 C. 若不变，星体质量均变为，则星体的角速度变为原来的2 倍 D. 若不变，星体间的距离变为，则星体的线速度变为原来的 (4) 宇宙中存在一些离其它星体较远、质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在这样一种直线三星的构成形式，如图所示，三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为L的圆轨道上运行。以下说法正确的是（　　） A. 直线三星系统中，环绕星做圆周运动的线速度大小为 B. 直线三星系统中，环绕星做圆周运动的周期为 C. 中央星对环绕星的万有引力提供环绕星做圆周运动的全部向心力 D. 如果环绕半径变为原来的4倍，周期将变为原来的 学科网（北京）股份有限公司 $