专题06 双星多星及宇宙航行模型 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义以“双星多星及宇宙航行”为核心，通过模型分类系统梳理知识体系。采用表格对比极地卫星与同步卫星特点，框架图呈现卫星变轨过程，思维导图整合天体追击问题中的角度与圈数关系，清晰呈现各知识点内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于例题设计紧密联系航天时事，如神舟飞船对接、空间站运行等，培养科学态度与责任。通过双星模型推导周期公式，强化科学思维中的模型建构与科学推理能力。课时精练包含选择、解答题分层训练，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

专题06 双星多星及宇宙航行模型 模型一 人造卫星 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 【例题精讲】 1．如图所示，质量相等、周期均为T的两颗人造地球卫星，1轨道为圆、2轨道为椭圆。A、B两点是椭圆长轴两端，A距离地心为r。C点为椭圆短轴端点且是两轨道的交点，到地心距离为2r，卫星1的速率为v，下列说法正确的是（　　） A．C点到椭圆中心的距离为r B．卫星1和卫星2运动到C点时加速度相同 C．卫星2在C点的向心加速度等于 D．卫星2由A到C的时间等于 2． 2025年6月26日，神舟二十号航天员顺利完成了空间站舱外设备巡检等任务。已知空间站在轨高度390km，则航天员（　　） A．调整姿态时，可以视为质点 B．与空间站相对静止时，受到的合力为零 C．与空间站一起运动时的速度大于第一宇宙速度 D．与空间站一起运动的周期小于地球的自转周期 3. 已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球转的向心加速度为a2；第一宇宙速度为v2，地球半径为R。下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．2024年5月，太阳爆发大规模耀斑，引发地磁暴，使得近地航天器受到的阻力变大。此后某航天器轨道高度缓慢降低，但仍可近似为圆形轨道。在降轨过程中，该航天器（　　） A．线速度大小逐渐减小 B．周期逐渐减小 C．向心加速度大小逐渐减小 D．机械能保持不变 5．2025年11月1日，神舟二十一号飞船与空间站天和核心舱对接成功。飞船的变轨过程可简化为如下模型：飞船变轨前绕地稳定运行在圆形轨道Ⅰ上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅱ上经过A点的加速度大于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度 B．飞船在轨道Ⅰ上的速度小于天和核心舱在轨道Ⅲ上的速度 C．飞船应先变轨到轨道Ⅲ，然后再加速与天和核心舱对接 D．飞船在轨道Ⅱ上从A向B运行的过程中机械能守恒 （多选）6．在《流浪地球2》电影中出现了太空电梯的科幻设想（如图甲）。超级缆绳将地球赤道上的固定基座、同步空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转。一宇航员乘坐电梯轿厢从固定在地面的基座出发，依次经过A、B，向同步轨道空间站运行（如图乙），在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．宇航员受到的重力越来越大 B．电梯轿厢绕地球运行的线速度逐渐增大 C．宇航员到达同步轨道空间站时不受地球的引力作用，处于完全失重状态 D．当电梯轿厢分别停靠在A、B两位置时，在A位置宇航员对电梯轿厢的压力更大 （多选）7．我国空间站在距离地面约400公里的轨道绕地球做匀速圆周运动，地球的静止轨道卫星距离地面约36000公里。关于静止轨道卫星的描述，下列说法正确的是（　　） A．运行周期大于空间站的运行周期 B．运行速度大于地球的第一宇宙速度 C．加速度小于空间站的加速度 D．静止轨道卫星可能经过文山州正上空 模型二 发射速度 一、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 【例题精讲】 1．已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是（　　） A．质量相同 B．密度相同 C．P、Q第一宇宙速度大小之比为1：3 D．同步卫星距星球表面的高度之比为1：1 2．2025年9月3日，在北京天安门大阅兵上，我国展示了“东风﹣5C”液体洲际战略核导弹，其最具革命性的升级在于分导式多弹头（MIRV）能力。如图所示，若从地面上A点发射一枚导弹，导弹沿ACDB椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。已知CD段为导弹在大气层外关闭发动机后自由飞行的一段轨迹，D点距地面的高度为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．导弹沿CD段飞行时处于失重状态，不受地球引力作用 B．导弹关闭发动机后的运动可视为斜抛运动 C．导弹在A点的发射速度大于第二宇宙速度 D．导弹在D点的加速度大小为 3．若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（　　） A． B． C． D． 4．科学家发现了一颗宜居行星，它表面的重力加速度与地球的几乎相等，它的第一宇宙速度是地球的k倍，则这颗宜居行星的质量约为地球质量的（　　） A．k4倍 B．k3倍 C．k2倍 D．k倍 5．若将地球和火星的公转视为匀速圆周运动，公转轨道半径用r表示，公转周期用T表示，忽略行星自转影响。根据如表可判断下列说法正确的是（　　） 行星 轨道半径r/m 质量m/kg 半径R/m 地球 1.5×1011 6.0×1024 6.4×106 火星 2.3×1021 6.4×1022 3.4×106 A．由知地球和火星公转对应的k值不同 B．火星做圆周运动的加速度比地球的大 C．地球的平均密度比火星的小 D．火星的第一宇宙速度比地球的小 （多选）6．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 （多选）7．两颗行星A和B的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度ω与轨道半径r的关系图，图中两图线纵截距的差值b﹣a＝lg9，已知行星B的半径是A的3倍，忽略行星自转和其他星球影响，结合图像数据，下列说法正确的是（　　） A．行星A与B的质量之比为81：1 B．行星A与B表面的重力加速度之比为1：9 C．行星B的第一宇宙速度是A的倍 D．行星A与B的平均密度之比为1：3 模型三 卫星变轨和对接 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【例题精讲】 1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器在预定地点准确着陆，实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探测器的发射过程可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，在近月点多次变轨，由椭圆轨道变为圆形轨道，圆形轨道离月球表面的高度为H，绕椭圆轨道运动的周期为T，已知月球表面的重力加速度为g月，月球的半径为R。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行的周期为 B．“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为（R+H） C．“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度比在椭圆轨道上经过该点时的加速度大 D．“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度大于在圆形轨道上运动的速度 2．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 3．2025年1月28日，神舟十九号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．在A点时神舟十九号经过点火加速才能从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ B．飞船在A点的加速度等于空间站在A点的加速度 C．空间站在轨道Ⅰ上的速度大于 D．轨道Ⅰ上的神舟十五号飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可 4．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km。它们的运行轨道均视为圆周，则 (　　) A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 5．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 （多选）6．宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＞rB＞rC，忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（　　） A．加速度大小关系是aA＞aB＞aC B．线速度大小关系是vA＞vB＞vC C．质量大小关系是mA＞mB＞mC D．所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC （多选）7．2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．Z卫星的发射速度大于11.2 km/s B．Z卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期 C．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度 模型四 天体中的追击问题 一、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、…） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、…） 二、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【例题精讲】 1．如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为R1，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为R2，且R1＜R2，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内与地心连线扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 2．2025年2月28日，太阳系中出现了“七星连珠”天文现象。为了解此类现象的周期，天文爱好者利用人工智能来模拟探究地球系统的“三星连珠”（三星位于地球同侧且共线）。如图所示，卫星a、b绕地球做匀速圆周运动的周期分别为19.2h、18h，地球同步卫星的周期为24h（等于1d），则a、b和同步卫星出现“三星连珠”的周期为（三星轨道在同一平面内且环绕方向相同）（　　） A．6d B．8d C．12d D．20d 3．如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．9：1 B．3：1 C．13：1 D．4：1 4．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．2025年9月，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将试验三十号卫星01星、02星送入预定轨道。两颗卫星在赤道正上方距地面高度为h的轨道上一前一后自西向东做圆周运动。已知地球半径为R，地球自转周期为T0，地球静止卫星的轨道距地表H（H＞h），图中的P点是地球赤道上的观测站，下列说法正确的是（　　） A．02星与地球静止轨道卫星的周期之比为 B．01星、02星绕地运行的动能相同 C．02星的角速度大于P处物体的角速度 D．02星点火加速可追上01星 （多选）6．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 （多选）7．如图所示，A、B两卫星绕地球沿顺时针方向做匀速圆周运动，A卫星对地球的张角为2α，B卫星对地球的张角为2θ，α＞θ，A卫星做圆周运动的周期为T，关于两卫星绕地球做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．A、B两卫星做圆周运动的半径之比为 B．A、B两卫星的线速度之比为 C．A、B两卫星的加速度之比为 D．A、B两卫星从第一次相距最近到第二次相距最近的时间间隔为T 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．有天文爱好者利用天文台观测发现：A、B两行星绕某恒星做匀速圆周运动（忽略行星间的万有引力），A的轨道半径比B的小。下列说法正确的是（　　） A．A运动的周期比B的小 B．A运动的线速度比B的小 C．A运动的角速度比B的小 D．A运动的向心加速度比B的小 2．如图所示，某卫星发射与变轨过程示意图，图中Ⅰ为近地圆轨道，其轨道半径为地球半径R，Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ为同步卫星所在轨道，其轨道半径为7R，Q、S分别为轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的交点，P、Q、S三点共线。已知卫星的质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。卫星距地心为r时，其引力势能表达式为（式中M为地球质量）。则（　　） A．卫星在轨道Ⅲ运动时的周期最小 B．卫星在轨道Ⅱ上经S点的速度与在轨道Ⅲ上经S点的速度大小相等 C．卫星由P点到达S点经历的最短时间为 D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ，所需提供的最小能量为 3．如图所示，我国的地球静止卫星M、量子卫星N均在赤道平面内绕地球做圆周运动，P是地球赤道上一点。则（　　） A．P点的周期比N的大 B．P点的速度等于第一宇宙速度 C．M的向心加速度比N的向心加速度大 D．M的角速度比N的角速度大 4．如图所示，两颗人造卫星M、N绕地球做椭圆运动，若两轨道在近地点相切，且长轴分别为a1、a2，周期分别为T1、T2，忽略卫星之间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．地球对M的引力大于对N的引力 B．两卫星在近地点的加速度相等 C．两卫星的周期和长轴关系满足 D．两卫星与地心的连线在同一段时间内扫过的面积相等 5．“神舟二十二号”飞船于2025年11月25日发射，并与“天和”核心舱完成自主快速交会对接，中国载人航天工程完成第一次应急发射任务。已知“神舟二十二号”飞船在船箭分离后，进入近地点200km、远地点369km、倾角41.5°的初始轨道。对接前“天和”核心舱在高度约400km、倾角约41.5°的圆轨道上运行。下列说法中正确的是（　　） A．“神舟二十二号”飞船的发射速度大于11.2km/s B．“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的速度小于“天和”核心舱的运行速度 C．“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的加速度小于“天和”核心舱的加速度 D．跟赤道平面内同高度的卫星相比，“天和”核心舱对地球的观察范围更广 6．中国空间站离地高度约为400km，地球静止卫星（绕地公转周期24h）离地高度约为36000km，地球半径约为6400km。利用以上数据计算航天员在24h内看到日出的次数可能为（　　） A．12 B．16 C．18 D．21 7．2024年9月27日，我国成功发射首颗可重复使用返回式技术试验卫星实践十九号。如图所示，实践十九号卫星和中国空间站均绕地球做匀速圆周运动，且卫星轨道半径小于空间站轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期大于空间站的运行周期 B．卫星的线速度大于空间站的线速度 C．卫星的线速度等于第一宇宙速度 D．卫星的向心加速度小于空间站的向心加速度 8．如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则（　　） A．水星的公转周期比金星的大 B．水星的公转向心加速度比金星的大 C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinβm：sinαm D．水星与金星的公转线速度之比为： 二．多选题（共3小题） （多选）9．地球赤道上有一质点P，P点正上方有一地球同步卫星，下列关于该卫星运动情况的说法正确的是（　　） A．线速度大于P点的线速度 B．周期大于P点的周期 C．角速度大于P点的角速度 D．向心加速度大于P点的向心加速度 （多选）10．2024年9月19日，第59颗、第60颗（简称60号星）北斗导航卫星顺利进入预定轨道。如图所示，若60号星先在半径为r的圆轨道Ⅰ上绕行，经其上A点变轨后进入预定轨道Ⅱ。已知A、B分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，B与地心的距离为3r，60号星在轨道Ⅰ上运行的周期为T，则60号星（　　） A．从A到B历时 B．从A到B历时T C．在A点变轨进入轨道Ⅱ需要点火加速 D．在A点变轨进入轨道Ⅱ需要点火减速 （多选）11．图甲展示了在空间站中油水混合液剧烈摇晃后再静置一段时间所呈现的情景；图乙展示的是在地面上静置了一段时间的油水混合液；图丙是某同学在地面做“水流星”实验，轻绳长为L；图丁是航天员在空间站上做“水流星”实验，长为L的轻绳一端系一个装有水的水桶（高度忽略不计），水桶和水的总质量为m，另一端固定在支架O点，在离桌面最近的A点位置给水桶一个垂直于OA的初速度v0（g为地球表面处的重力加速度），水桶沿图中虚线轨迹做圆周运动，轨迹上B点离桌面最远，下列说法正确的是（　　） A．在空间站中，由于油和水处于完全失重状态，油和水无法靠重力自然分离 B．在地面做水流星实验时，通过最高点时水不流出的最小速度为 C．在空间站中水桶做圆周运动，受到绳子的拉力、重力和向心力 D．在空间站中水桶做匀速圆周运动，在B点水桶受到绳子的拉力大小为6mg 三．解答题（共5小题） 12．科学家将首批宇航员送往火星进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测一质量为m的物体，其重力的读数为F，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测其重力的读数为kF（其中k＜1），通过天文观测测得火星的自转周期为T，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，求： （1）火星的密度ρ； （2）火星的第一宇宙速度v1。 13．模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 （1）在研究地球﹣月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球﹣月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者相距L，引力常量为G。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期T1； （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期T2； （2）如图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点B到太阳中心的距离为rB，已知太阳质量为M，行星质量为m，万有引力常量为G，行星通过B点处的速率为vB，求B点的曲率半径（B点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 14．如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）B卫星的周期T2； （2）地球的密度ρ。 15．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 （1）求卫星B环绕地球运动的周期； （2）求在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 16．如图所示，质量为m的行星沿椭圆轨道绕质量为M的太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点处，椭圆轨道的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，如选无穷远处为零势能点，则行星和太阳系统的引力势能为，其中M为太阳质量，m为行星质量，r为距太阳球心的距离，G为万有引力常量．求： （1）行星在近日点A和远日点B的速度大小之比； （2）行星在椭圆轨道上运动的机械能的表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双星多星及宇宙航行模型 模型一 人造卫星 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 【例题精讲】 1．如图所示，质量相等、周期均为T的两颗人造地球卫星，1轨道为圆、2轨道为椭圆。A、B两点是椭圆长轴两端，A距离地心为r。C点为椭圆短轴端点且是两轨道的交点，到地心距离为2r，卫星1的速率为v，下列说法正确的是（　　） A．C点到椭圆中心的距离为r B．卫星1和卫星2运动到C点时加速度相同 C．卫星2在C点的向心加速度等于 D．卫星2由A到C的时间等于 【答案】B 【解答】解：A、因为两卫星的周期均为T，根据开普勒第三定律k可知，椭圆半长轴等于卫星1的轨道半径2r，即椭圆半长轴a＝2r，焦距：2c＝2r，则c＝r。C点在椭圆的短轴上，则C点到椭圆轨道中心的距离：br，故A错误； B、根据牛顿第二定律得Gma，得a，因卫星1和卫星2运动到C点时到地心距离相等，故卫星1和卫星2运动到C点时加速度相同，故B正确； C、卫星2在C点的加速度与1相等，均为a，因卫星2做椭圆运动，则其在C点的向心加速度an＜a，故C错误； D、根据开普勒第二定律知，卫星2在A点速度最大，在B点速度最小，卫星2由A到C时速度逐渐减小，其运动时间小于，故D错误。 故选：B。 2． 2025年6月26日，神舟二十号航天员顺利完成了空间站舱外设备巡检等任务。已知空间站在轨高度390km，则航天员（　　） A．调整姿态时，可以视为质点 B．与空间站相对静止时，受到的合力为零 C．与空间站一起运动时的速度大于第一宇宙速度 D．与空间站一起运动的周期小于地球的自转周期 【答案】D 【解答】解：A．调整姿态时，航天员的大小和形状不能忽略，故不可以视为质点，故A错误； B．与空间站相对静止时，受到的万有引力充当向心力，合力不为零，故B错误； C．与空间站一起运动时的速度略小于第一宇宙速度，故C错误； D．空间站距离地球表面高度远低于地球同步卫星的高度，由开普勒第三定律可知，空间站周期小于同步卫星周期，而同步卫星的周期又等于地球的自转周期，所以航天员与空间站一起运动的周期小于地球的自转周期，故D正确。 故选：D。 3．已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球转的向心加速度为a2；第一宇宙速度为v2，地球半径为R。下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：AB.同步卫星与赤道上物体有相同的角速度，则a1＝rω2，a2＝Rω2，故，故AB错误； CD.根据万有引力提供向心力得和，可得，故C错误，D正确。 故选：D。 4．2024年5月，太阳爆发大规模耀斑，引发地磁暴，使得近地航天器受到的阻力变大。此后某航天器轨道高度缓慢降低，但仍可近似为圆形轨道。在降轨过程中，该航天器（　　） A．线速度大小逐渐减小 B．周期逐渐减小 C．向心加速度大小逐渐减小 D．机械能保持不变 【答案】B 【解答】解：ABC.根据牛顿第二定律有 ，得，，T＝2π，轨道降低后半径r减小，所以加速度a变大，线速度变大，周期变小，故B正确，AC错误； D.根据发射卫星时高低轨道的机械能规律，同一卫星发射时在低轨道机械能较小，高轨道机械能大，故D错误。 故选：B。 5．2025年11月1日，神舟二十一号飞船与空间站天和核心舱对接成功。飞船的变轨过程可简化为如下模型：飞船变轨前绕地稳定运行在圆形轨道Ⅰ上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅱ上经过A点的加速度大于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度 B．飞船在轨道Ⅰ上的速度小于天和核心舱在轨道Ⅲ上的速度 C．飞船应先变轨到轨道Ⅲ，然后再加速与天和核心舱对接 D．飞船在轨道Ⅱ上从A向B运行的过程中机械能守恒 【答案】D 【解答】解：A.由，得，可知飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时经过A点的加速度相等，故A错误； B.在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上，都有，可得，轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，所以飞船在轨道Ⅰ上的速度大于天和核心舱在轨道Ⅲ上的速度，故B错误； C.飞船应先到比轨道Ⅲ略低的轨道上，然后再通过加速与天和核心舱完成对接，故C错误； D.飞船在轨道Ⅱ上从A向B运行时，只有万有引力做功，机械能守恒，故D正确。 故选：D。 （多选）6．在《流浪地球2》电影中出现了太空电梯的科幻设想（如图甲）。超级缆绳将地球赤道上的固定基座、同步空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转。一宇航员乘坐电梯轿厢从固定在地面的基座出发，依次经过A、B，向同步轨道空间站运行（如图乙），在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．宇航员受到的重力越来越大 B．电梯轿厢绕地球运行的线速度逐渐增大 C．宇航员到达同步轨道空间站时不受地球的引力作用，处于完全失重状态 D．当电梯轿厢分别停靠在A、B两位置时，在A位置宇航员对电梯轿厢的压力更大 【答案】BD 【解答】解：A.由万有引力定律可知，宇航员所受地球的万有引力大小为，其中r是电梯轿厢到地心的距离，则当电梯轿厢从地面r＝R上升到同步轨道r＝R+36000km时，r增大，因此万有引力减小，即重力减小，故A错误； B.由题意可知，电梯轿厢的角速度不变，且v＝ωr，r增大，可知电梯轿厢绕地球运行的线速度逐渐增大，故B正确； C.宇航员到达同步轨道空间站时r仍受地球的引力作用，重力充当向心力，处于完全失重状态，故C错误； D.根据牛顿第二定律mg﹣FN＝mrω2，A、B处靠近地球表面，认为重力不变，A处半径小，可知A处的支持力更大，由牛顿第三定律可知，在A位置宇航员对电梯轿厢的压力更大，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．我国空间站在距离地面约400公里的轨道绕地球做匀速圆周运动，地球的静止轨道卫星距离地面约36000公里。关于静止轨道卫星的描述，下列说法正确的是（　　） A．运行周期大于空间站的运行周期 B．运行速度大于地球的第一宇宙速度 C．加速度小于空间站的加速度 D．静止轨道卫星可能经过文山州正上空 【答案】AC 【解答】解：A.根据开普勒第三定律，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的运行周期大于空间站的运行周期，故A正确； B.第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，是绕地球表面做匀速圆周运动的最大的运行速度，该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度，故B错误； C.由牛顿第二定律，由，得，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的加速度小于空间站的加速度，故C正确； D.地球静止轨道卫星的轨道平面与赤道平面重合，即静止轨道卫星的轨道在赤道的正上方，则卫星不可能经过文山州正上方，故D错误。 故选：AC。 模型二 发射速度 一、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 【例题精讲】 1．已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是（　　） A．质量相同 B．密度相同 C．P、Q第一宇宙速度大小之比为1：3 D．同步卫星距星球表面的高度之比为1：1 【答案】B 【解答】解：A.令星球质量为M，星球半径为r0，星球内部某位置到球心间距为r，则有g，其中 代入数据得，可知，此时内部某位置的重力加速度与该位置到球心间距成正比而在星球外部某位置有 则有，可知，星球外部某位置的重力加速度与间距正平反比的关系，结合图像可知P、Q两星球的半径分别为R、2R，则有， 解得，，两星球质量不同，故A错误； B.结合上述，两星球密度分别为， 结合上述解得，故B正确； C.第一宇宙速度等于星球表面卫星的环绕速度，则有， 代入数据得，故C错误； D.两星球自转角速度相同，则自转周期相同，其同步卫星的周期相同，根据， 代入数据得，故D错误。 故选：B。 2．2025年9月3日，在北京天安门大阅兵上，我国展示了“东风﹣5C”液体洲际战略核导弹，其最具革命性的升级在于分导式多弹头（MIRV）能力。如图所示，若从地面上A点发射一枚导弹，导弹沿ACDB椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。已知CD段为导弹在大气层外关闭发动机后自由飞行的一段轨迹，D点距地面的高度为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．导弹沿CD段飞行时处于失重状态，不受地球引力作用 B．导弹关闭发动机后的运动可视为斜抛运动 C．导弹在A点的发射速度大于第二宇宙速度 D．导弹在D点的加速度大小为 【答案】D 【解答】解：A．导弹沿CD段飞行时处于失重状态，但仍然受地球引力作用，故A错误； B．导弹关闭发动机后只受重力，但由于加速度会减小，它的运动不可视为斜抛运动，故B错误； C．导弹在A点不能脱离地球的引力范围，在该点的发射速度小于第二宇宙速度，故C错误； D．根据ma，又mg，而r＝RR，得导弹在D点的加速度大小为a，故D正确。 故选：D。 3．若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据，得v，金星与地球的第一宇宙速度之比为，故C正确，ABD错误。 故选：C。 4．科学家发现了一颗宜居行星，它表面的重力加速度与地球的几乎相等，它的第一宇宙速度是地球的k倍，则这颗宜居行星的质量约为地球质量的（　　） A．k4倍 B．k3倍 C．k2倍 D．k倍 【答案】A 【解答】解：由万有引力提供向心力以及万有引力近似等于重力可得 联立解得 可得 ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．若将地球和火星的公转视为匀速圆周运动，公转轨道半径用r表示，公转周期用T表示，忽略行星自转影响。根据如表可判断下列说法正确的是（　　） 行星 轨道半径r/m 质量m/kg 半径R/m 地球 1.5×1011 6.0×1024 6.4×106 火星 2.3×1021 6.4×1022 3.4×106 A．由知地球和火星公转对应的k值不同 B．火星做圆周运动的加速度比地球的大 C．地球的平均密度比火星的小 D．火星的第一宇宙速度比地球的小 【答案】D 【解答】解：A、地球与火星均绕太阳公转，太阳是它们的中心天体。由开普勒第三定律可知，比例常数k仅与中心天体质量有关，其表达式为，因此地球与火星的k值相同，故A错误； B、行星公转的向心力由万有引力提供，即，由此可得公转加速度。由于火星的公转轨道半径r大于地球，因此其公转加速度比地球的小，故B错误； C、行星的平均密度为，将表格中地球与火星的质量m和半径R数据代入计算，可知地球的平均密度大于火星，故C错误； D、第一宇宙速度的表达式为，根据表格数据，火星的质量与半径之比小于地球的对应比值，因此火星的第一宇宙速度比地球的小，故D正确。 故选：D。 （多选）6．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 【答案】BD 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，天舟九号在轨道Ⅱ上从P到Q的速度逐渐减小，则从P到M的时间小于M到Q的时间，故A错误； B.由图可知，P到地面有一定高度，且在轨道Ⅰ上经过P点做近心运动，根据圆轨道，可知天舟九号在过P时速度小于近地卫星的绕行速度（第一宇宙速度），故B正确； C.天舟九号在轨道Ⅰ上经过P点变轨进入轨道Ⅱ时，要点火加速，则天舟九号在轨道Ⅰ比Ⅱ上经过P点时的速度小，故C错误； D.根据万有引力定律和牛顿第二定律，即ma，可知天舟九号在轨道Ⅰ和上经过P点时的加速度相同，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．两颗行星A和B的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度ω与轨道半径r的关系图，图中两图线纵截距的差值b﹣a＝lg9，已知行星B的半径是A的3倍，忽略行星自转和其他星球影响，结合图像数据，下列说法正确的是（　　） A．行星A与B的质量之比为81：1 B．行星A与B表面的重力加速度之比为1：9 C．行星B的第一宇宙速度是A的倍 D．行星A与B的平均密度之比为1：3 【答案】BD 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力，整理可得，图中两直线的纵截距的差值b﹣a＝lg9，即，即，行星B与A的质量之比为81：1，故A错误； B、行星B的半径是A的3倍，根据黄金代换GM＝gR2，行星A与B表面的重力加速度之比为1：9，故B正确； C、第一宇宙速度公式，解得，可知行星B的第一宇宙速度是A的倍，故C错误； D、根据体积公式，可得体积之比为27：1，根据密度公式，可知行星B与A的平均密度之比为3：1，故D正确。 故选：BD。 模型三 卫星变轨和对接 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【例题精讲】 1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器在预定地点准确着陆，实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探测器的发射过程可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，在近月点多次变轨，由椭圆轨道变为圆形轨道，圆形轨道离月球表面的高度为H，绕椭圆轨道运动的周期为T，已知月球表面的重力加速度为g月，月球的半径为R。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行的周期为 B．“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为（R+H） C．“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度比在椭圆轨道上经过该点时的加速度大 D．“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度大于在圆形轨道上运动的速度 【答案】B 【解答】解：A.根据，又由mg月，联立解得“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行的周期为T0•，故A错误； B.设“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为r，则椭圆轨道半长轴为r椭，根据开普勒第三定律有，联立解得r（R+H），故B正确； C.根据ma可知，“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度与在椭圆轨道上经过该点时的加速度一样大，故C错误； D.“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度小于在该点的圆轨道的线速度，而在近月点的圆轨道的线速度大于在远月点圆轨道上线速度，所以“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度小于在圆形轨道上运动的速度，故D错误。 故选：B。 2．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 【答案】D 【解答】解：AB.神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速，或先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速，都会做离心运动，不可能完成对接，故AB错误； CD.为了成功完成对接，神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速，做离心运动，故C错误，D正确。 故选：D。 3．2025年1月28日，神舟十九号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．在A点时神舟十九号经过点火加速才能从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ B．飞船在A点的加速度等于空间站在A点的加速度 C．空间站在轨道Ⅰ上的速度大于 D．轨道Ⅰ上的神舟十五号飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可 【答案】B 【解答】解：A.神舟十九号在A点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时，需要做近心运动，因此必须点火减速，故A错误； B.根据牛顿第二定律得，解得，飞船在A点到地心的距离等于空间站在A点到地心的距离，所以飞船在A点的加速度等于空间站在A点的加速度，故B正确； C.设空间站在轨道Ⅰ上的速度为v，空间站距离地面的高度为h，根据牛顿第二定律得，结合黄金代换，解得，即空间站在轨道Ⅰ上的速度小于，故C错误； D.轨道Ⅰ上的神舟十九号飞船若沿运动方向加速，飞船将做离心运动，偏离原来的轨道，不可能与前方的空间站对接，故D错误。 故选：B。 4．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km。它们的运行轨道均视为圆周，则 (　　) A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 【答案】B 【解答】解：　由G＝mrω2＝m＝mr＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，由于r天>r神，所以v天<v神，ω天<ω神，T天>T神，a天<a神，故B正确。 5．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】D 【解答】解：A、对于双星系统中的星体P，根据牛顿第二定律可得，解得Q的质量为，故A正确； B、对于环绕P运行的卫星M，由万有引力提供向心力得，解得P的质量为，则恒星P与Q之间的万有引力大小为，故B正确； C、假设Q也有一颗周期为T2的卫星，设其质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律有，解得，同理可得卫星M的轨道半径，对于双星系统有，由于rP＜rQ，则有MP＞MQ，进而可得r＜rM，故C正确； D、如图所示： 当P、Q、M三星由图示位置运动至再次共线时，P、Q转过的圆心角θ1与M转过的圆心角θ2互补，满足，解得，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 （多选）6．宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＞rB＞rC，忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（　　） A．加速度大小关系是aA＞aB＞aC B．线速度大小关系是vA＞vB＞vC C．质量大小关系是mA＞mB＞mC D．所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC 【答案】AB 【解答】解：AB、根据题意分析可知，三星系统是一种相对稳定的结构，它们做圆周运动的角速度是相等的，根据线速度与角速度之间的关系可知，v＝ωr，结合rA＞rB＞rC，可知线速度大小关系是vA＞vB＞vC；由a＝ω2r可知加速度大小关系是aA＞aB＞aC，故AB正确； C、根据题意分析可知，以C为研究对象，则受力如图： 由于向心力指向圆心，由矢量关系可知，B对C的引力大于A对C的引力，结合万有引力定律的表达式可知B的质量大于A的质量。同理若以A为研究对象，可得C的质量大于B的质量，即质量大小关系是mC＞mB＞mA、故C错误。 D、根据题意分析可知，由于mC＞mB＞mA，结合万有引力定律可知，B与C之间的引力大于A与C之间的引力，又大于A与B之间的引力。由题可知，A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知FC＞FB＞FA、故D错误。 故选：AB。 （多选）7．2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．Z卫星的发射速度大于11.2 km/s B．Z卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期 C．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度 【答案】CD 【解答】解：A、人造地球卫星的发射速度需大于或等于第一宇宙速度，但应小于第二宇宙速度，即满足v≥7.9km/s且v＜11.2km/s，故A错误； B、由于轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的周期，故B错误； C、轨道Ⅲ相对于轨道Ⅱ是高轨道，从低轨道变轨至高轨道需要在切点位置加速，因此卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度，故C正确； D、根据牛顿第二定律有，解得：，可知卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度，故D正确。 故选：CD。 模型四 天体中的追击问题 一、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、…） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、…） 二、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【例题精讲】 1．如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为R1，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为R2，且R1＜R2，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内与地心连线扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 【答案】C 【解答】解：A．对地球表面的物体由 可得地球的半径，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 因R1＜R2，可知试验卫星线速度大于01星的线速度，故B错误； C．根据 可知试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为，故C正确； D．根据万有引力提供向心力 可得 可知两卫星的周期分别， 若两颗卫星绕行方向一致，则两卫星与地心再次共线时，则 可知至少经过时间，故D错误。 故选：C。 2．2025年2月28日，太阳系中出现了“七星连珠”天文现象。为了解此类现象的周期，天文爱好者利用人工智能来模拟探究地球系统的“三星连珠”（三星位于地球同侧且共线）。如图所示，卫星a、b绕地球做匀速圆周运动的周期分别为19.2h、18h，地球同步卫星的周期为24h（等于1d），则a、b和同步卫星出现“三星连珠”的周期为（三星轨道在同一平面内且环绕方向相同）（　　） A．6d B．8d C．12d D．20d 【答案】C 【解答】解：根据卫星的追及和相遇思路，设内侧卫星（a或b）与同步卫星每次相距最近的周期为T，由，可得，代入数据可得：每隔T1＝96h＝4d，a与同步卫星相距最近；每隔T2＝72h＝3d，b与同步卫星相距最近。显然“三星连珠”的最小周期为T1和T2的最小公倍数，即T＝12d，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．9：1 B．3：1 C．13：1 D．4：1 【答案】A 【解答】解：由万有引力提供向心力，可得：，可得：，； 根据乙图M的亮度变暗时间间隔为：，可知从MN最近，到下次N追上M需要的时间为Δt，从MN最近到下次相遇需满足：（ωN﹣ωM）Δt＝2π； 由题意可知，M的周期为T0，联立可得：，，故BCD错误，A正确。 故选：A。 4．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：设空间站的轨道半径为r1，运行周期为T1。地球同步卫星的半径为r2，已知地球同步卫星的周期T2＝24h，r1：r2＝0.16，根据开普勒第三定律可得 联立解得：T1＝1.536h 依题意知，天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，故对接过程空间站中看到日出的次数为n次≈2次，故ABD错误，C正确。 故选：C。 5．2025年9月，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将试验三十号卫星01星、02星送入预定轨道。两颗卫星在赤道正上方距地面高度为h的轨道上一前一后自西向东做圆周运动。已知地球半径为R，地球自转周期为T0，地球静止卫星的轨道距地表H（H＞h），图中的P点是地球赤道上的观测站，下列说法正确的是（　　） A．02星与地球静止轨道卫星的周期之比为 B．01星、02星绕地运行的动能相同 C．02星的角速度大于P处物体的角速度 D．02星点火加速可追上01星 【答案】C 【解答】解：A．根据开普勒第三定律，有，则02星与地球静止轨道卫星的周期之比为，故A错误； B．01星、02星绕地运行的轨道半径相同，则线速度大小相等，只要两星的质量相同，则01星、02星绕地运行的动能相同，但题中不知道两卫星质量关系，故不能判断动能大小，故B错误； C．根据mrω2，可知02星的角速度大于同步卫星角速度，而P处物体的角速度等于同步卫星角速度，故02星的角速度大于P处物体的角速度，故C正确； D．02星点火加速会做离心运动，不可能追上01星，故D错误。 故选：C。 （多选）6．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 【答案】BCD 【解答】解：A．由于空间站和地球同步卫星的质量关系未知，则无法判断机同步卫星与中国空间站的机械能大小，故A错误； B．根据，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为，故B正确； C．若已知两者相距最近时的距离，即rB﹣rA为已知条件，根据mArA，mBrB，即可求出地球质量，故C正确； D．根据（）•t＝2π，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过t＝96分钟，故D正确。 故选：BCD。 （多选）7．如图所示，A、B两卫星绕地球沿顺时针方向做匀速圆周运动，A卫星对地球的张角为2α，B卫星对地球的张角为2θ，α＞θ，A卫星做圆周运动的周期为T，关于两卫星绕地球做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．A、B两卫星做圆周运动的半径之比为 B．A、B两卫星的线速度之比为 C．A、B两卫星的加速度之比为 D．A、B两卫星从第一次相距最近到第二次相距最近的时间间隔为T 【答案】BC 【解答】解：分析卫星在轨道的几何关系及运动规律如下： A、设地球半径为R，卫星轨道半径为r。根据几何关系可知，卫星对地球的张角的一半α满足：，解得：。同理，。故A、B两卫星做圆周运动的半径之比，故A错误； B、由万有引力提供向心力可得，。则线速度之比，故B正确； C、由万有引力提供向心力可得，。则加速度之比，故C正确； D、由于α＞θ，则rA＜rB，根据开普勒第三定律可知TA＜TB，即A的角速度更大。两卫星均沿顺时针方向运动，从第一次相距最近到第二次相距最近需满足（ωA﹣ωB）Δt＝2π。根据可知，，即。代入，解得：，故D错误。 故选：BC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．有天文爱好者利用天文台观测发现：A、B两行星绕某恒星做匀速圆周运动（忽略行星间的万有引力），A的轨道半径比B的小。下列说法正确的是（　　） A．A运动的周期比B的小 B．A运动的线速度比B的小 C．A运动的角速度比B的小 D．A运动的向心加速度比B的小 【答案】A 【解答】解：根据行星做圆周运动的向心力等于万有引力可知，可得，，，，因rA＜rB，可知A、B周期TA＜TB，线速度关系vA＞vB，角速度关系ωA＞ωB，向心加速度关系aA＞aB，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．如图所示，某卫星发射与变轨过程示意图，图中Ⅰ为近地圆轨道，其轨道半径为地球半径R，Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ为同步卫星所在轨道，其轨道半径为7R，Q、S分别为轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的交点，P、Q、S三点共线。已知卫星的质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。卫星距地心为r时，其引力势能表达式为（式中M为地球质量）。则（　　） A．卫星在轨道Ⅲ运动时的周期最小 B．卫星在轨道Ⅱ上经S点的速度与在轨道Ⅲ上经S点的速度大小相等 C．卫星由P点到达S点经历的最短时间为 D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ，所需提供的最小能量为 【答案】D 【解答】解：A、卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力充当向心力，满足。由周期公式可知，卫星轨道半径r越大，其运行周期T也越大，因此轨道Ⅲ的周期最长，故A错误； B、卫星由轨道Ⅱ的S点变轨至轨道Ⅲ时，需通过加速以实现离心运动，因此卫星在轨道Ⅱ上经过S点时的速率小于在轨道Ⅲ上经过同一点时的速率，故B错误； C、根据开普勒第三定律，解得轨道Ⅱ周期。由P点到S点的最短时间应为轨道Ⅰ半个周期与轨道Ⅱ半个周期的和，即，故C错误； D、卫星在圆轨道上的机械能表达式为。结合黄金代换式GM＝gR2，可得轨道Ⅰ的机械能，轨道Ⅲ的机械能。因此，从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅲ所需提供的最小能量为ΔE＝EⅢ﹣EⅠ，计算得，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，我国的地球静止卫星M、量子卫星N均在赤道平面内绕地球做圆周运动，P是地球赤道上一点。则（　　） A．P点的周期比N的大 B．P点的速度等于第一宇宙速度 C．M的向心加速度比N的向心加速度大 D．M的角速度比N的角速度大 【答案】A 【解答】解：A.根据卫星“高轨、低速、大周期”的特点可知，M的周期比N的大，而静止卫星M的周期等于地球的自转周期，即等于P点的周期，故P点的周期比N的大，故A正确； B.M的周期等于P点的周期，根据可知，卫星M的线速度大于P点，又第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，即大于M的线速度，故第一宇宙速度大于P点的速度，故B错误； C.由，可得，故M的向心加速度比N的小，故C错误； D.根据mrω2，M的轨道半径大于N的轨道半径，所以M的角速度比N的角速度小，故D错误。 故选：A。 4．如图所示，两颗人造卫星M、N绕地球做椭圆运动，若两轨道在近地点相切，且长轴分别为a1、a2，周期分别为T1、T2，忽略卫星之间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．地球对M的引力大于对N的引力 B．两卫星在近地点的加速度相等 C．两卫星的周期和长轴关系满足 D．两卫星与地心的连线在同一段时间内扫过的面积相等 【答案】B 【解答】解：A．由于两卫星的质量未知，不能判断地球对M的引力和对N的引力大小，故A错误； B．根据ma，可知两卫星在近地点的加速度相等，故B正确； C．根据开普勒第三定律，两卫星的周期和长轴关系满足，故C错误； D．根据开普勒第二定律，卫星与地心的连线在同一段时间内扫过的面积相等是针对同一椭圆轨道，故D错误。 故选：B。 5．“神舟二十二号”飞船于2025年11月25日发射，并与“天和”核心舱完成自主快速交会对接，中国载人航天工程完成第一次应急发射任务。已知“神舟二十二号”飞船在船箭分离后，进入近地点200km、远地点369km、倾角41.5°的初始轨道。对接前“天和”核心舱在高度约400km、倾角约41.5°的圆轨道上运行。下列说法中正确的是（　　） A．“神舟二十二号”飞船的发射速度大于11.2km/s B．“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的速度小于“天和”核心舱的运行速度 C．“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的加速度小于“天和”核心舱的加速度 D．跟赤道平面内同高度的卫星相比，“天和”核心舱对地球的观察范围更广 【答案】D 【解答】解：A．“神舟二十二号”飞船的发射速度大于7.9km/s小于11.2km/s，故A错误； B．根据卫星变轨知识，“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的速度大于该点圆轨道的线速度，根据，得v，可得该点圆轨道的线速度又大于“天和”核心舱的运行速度，则“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的速度大于“天和”核心舱的运行速度，故B错误； C．根据ma可知，“神舟二十二号”飞船在初始轨道近地点的加速度大于“天和”核心舱的加速度，故C错误； D．跟赤道平面内同高度的卫星相比，“天和”核心舱在倾角约41.5°的圆轨道上运行，对地球的观察范围更广，故D正确。 故选：D。 6．中国空间站离地高度约为400km，地球静止卫星（绕地公转周期24h）离地高度约为36000km，地球半径约为6400km。利用以上数据计算航天员在24h内看到日出的次数可能为（　　） A．12 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【解答】解：由题意可知，空间站的轨道半径为r1＝400km+6400km＝6800km，地球同步卫星的轨道半径为r2＝36000km+6400km＝42400km，地球同步卫星的周期为T2＝24h，则根据开普勒第三定律可得可得，空间站的周期为，代入数据解得T1≈1.5h，所以航天员在24h内看到日出的次数为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 7．2024年9月27日，我国成功发射首颗可重复使用返回式技术试验卫星实践十九号。如图所示，实践十九号卫星和中国空间站均绕地球做匀速圆周运动，且卫星轨道半径小于空间站轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期大于空间站的运行周期 B．卫星的线速度大于空间站的线速度 C．卫星的线速度等于第一宇宙速度 D．卫星的向心加速度小于空间站的向心加速度 【答案】B 【解答】解：A．根据开普勒第三定律，卫星的轨道半径小，则卫星的运行周期小于空间站的运行周期，故A错误； B．根据，得v，卫星的轨道半径小，可知卫星的线速度大于空间站的线速度，故B正确； C．卫星的轨道半径大于近地卫星轨道半径，则卫星线速度小于第一宇宙速度，故C错误； D．根据ma，卫星的轨道半径小，可知卫星的向心加速度大于空间站的向心加速度，故D错误。 故选：B。 8．如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则（　　） A．水星的公转周期比金星的大 B．水星的公转向心加速度比金星的大 C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinβm：sinαm D．水星与金星的公转线速度之比为： 【答案】B 【解答】解：A．由图可知，金星绕太阳运动的轨道半径大于水星的轨道半径，根据开普勒第三定律可知，水星的公转周期比金星的小，故A错误； B．根据ma，金星绕太阳运动的轨道半径大于水星的轨道半径，故水星的公转向心加速度比金星的大，故B正确； C．如图，设地球的轨道半径为R，水星的轨道半径为R水，金星的轨道半径为R金， 由几何关系可知，sinαm，sinβm，联立得水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm：sinβm，故C错误； D．根据，得v，得水星与金星的公转线速度之比为：，故D错误。 故选：B。 二．多选题（共3小题） （多选）9．地球赤道上有一质点P，P点正上方有一地球同步卫星，下列关于该卫星运动情况的说法正确的是（　　） A．线速度大于P点的线速度 B．周期大于P点的周期 C．角速度大于P点的角速度 D．向心加速度大于P点的向心加速度 【答案】AD 【解答】解：BC.根据同步卫星的特点，地球同步卫星与赤道上的P点有相同的角速度ω和周期T，故BC错误； AD.因卫星的轨道半径大于地球半径，据v＝ωr、a＝rω2可得同步卫星的线速度大于P点的线速度，向心加速度也大于P点的向心加速度，故AD正确。 故选：AD。 （多选）10．2024年9月19日，第59颗、第60颗（简称60号星）北斗导航卫星顺利进入预定轨道。如图所示，若60号星先在半径为r的圆轨道Ⅰ上绕行，经其上A点变轨后进入预定轨道Ⅱ。已知A、B分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，B与地心的距离为3r，60号星在轨道Ⅰ上运行的周期为T，则60号星（　　） A．从A到B历时 B．从A到B历时T C．在A点变轨进入轨道Ⅱ需要点火加速 D．在A点变轨进入轨道Ⅱ需要点火减速 【答案】AC 【解答】解：AB.60号星在轨道Ⅱ上的半长轴为2r，设周期为T2，根据开普勒第三定律可知，可知，可知从A到B历时，故A正确，B错误； CD.在A点变轨进入轨道Ⅱ要做离心运动，则需要点火加速，故C正确，D错误。 故选：AC。 （多选）11．图甲展示了在空间站中油水混合液剧烈摇晃后再静置一段时间所呈现的情景；图乙展示的是在地面上静置了一段时间的油水混合液；图丙是某同学在地面做“水流星”实验，轻绳长为L；图丁是航天员在空间站上做“水流星”实验，长为L的轻绳一端系一个装有水的水桶（高度忽略不计），水桶和水的总质量为m，另一端固定在支架O点，在离桌面最近的A点位置给水桶一个垂直于OA的初速度v0（g为地球表面处的重力加速度），水桶沿图中虚线轨迹做圆周运动，轨迹上B点离桌面最远，下列说法正确的是（　　） A．在空间站中，由于油和水处于完全失重状态，油和水无法靠重力自然分离 B．在地面做水流星实验时，通过最高点时水不流出的最小速度为 C．在空间站中水桶做圆周运动，受到绳子的拉力、重力和向心力 D．在空间站中水桶做匀速圆周运动，在B点水桶受到绳子的拉力大小为6mg 【答案】ABD 【解答】解：A．在太空空间站中，物体处于完全失重状态，重力（即物体受到的万有引力）用来提供物体绕地球做圆周运动的向心力，没有下沉效果，无法自然分离油和水，故A正确； B．在地面的水流星实验是竖直面内圆周运动，在最高点，重力提供向心力时，速度最小，根据牛顿第二定律可得 解得 故B正确； C．对在空间站中的水桶进行受力分析，受到拉力和重力（或者万有引力），不能说受到向心力，故C错误； D．在空间站中，水桶处于完全失重状态，则其做匀速圆周运动，绳子的拉力提供向心力，可得 故D正确。 故选：ABD。 三．解答题（共5小题） 12．科学家将首批宇航员送往火星进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测一质量为m的物体，其重力的读数为F，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测其重力的读数为kF（其中k＜1），通过天文观测测得火星的自转周期为T，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，求： （1）火星的密度ρ； （2）火星的第一宇宙速度v1。 【答案】（1）火星的密度ρ为； （2）火星的第一宇宙速度v1为。 【解答】解：（1）物体在火星两极处F，在火星赤道上，联立得火星的半径为，根据密度公式得火星的密度为，体积，联立得； （2）由万有引力提供向心力，对在火星表面匀速圆周运动的物体m′，由，解得火星的第一宇宙速度为。 答：（1）火星的密度ρ为； （2）火星的第一宇宙速度v1为。 13．模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 （1）在研究地球﹣月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球﹣月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为M，月球的质量为m，二者相距L，引力常量为G。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期T1； （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期T2； （2）如图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点B到太阳中心的距离为rB，已知太阳质量为M，行星质量为m，万有引力常量为G，行星通过B点处的速率为vB，求B点的曲率半径（B点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 【答案】（1）（a）月球绕地球转动的周期T1为。 （b）月球做圆周运动的周期T2为。 （2）B点的曲率半径为。 【解答】解：（1）（a）在第一种情形中，月球围绕地球近似做匀速圆周运动，万有引力作为其向心力来源，由，解得：。 （b）在第二种情形中，地月系统绕其共同质心旋转，由及r地+r月＝L可得。 根据牛顿第二定律可得，联立解得：。 （2）当行星运动至近日点B时，其速度方向与万有引力方向相互垂直，此时引力完全充当向心力，依据牛顿第二定律有，由此可解得B点处的曲率半径为。 答：（1）（a）月球绕地球转动的周期T1为。 （b）月球做圆周运动的周期T2为。 （2）B点的曲率半径为。 14．如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）B卫星的周期T2； （2）地球的密度ρ。 【答案】（1）B卫星的周期大小为。 （2）地球的密度大小为。 【解答】解：（1）两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知，解得B卫星的周期。 （2）对于卫星A，其做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，即，结合密度定义式和地球体积公式，联立解得地球的密度。 答：（1）B卫星的周期大小为。 （2）地球的密度大小为。 15．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 （1）求卫星B环绕地球运动的周期； （2）求在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 【答案】（1）卫星B环绕地球运动的周期为。 （2）在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为4次。 【解答】解：（1）由开普勒第三定律可得，结合rA＝4rB，解得：，即。 （2）当两卫星相距最近时，其转过的角度差满足关系式Δθ＝（ωB﹣ωA）t＝2nπ，其中n取值为0，1，2…。 已知，。在的时间间隔内，角度差为。由于需满足2nπ≤7π，故自然数n可取0，1，2，3共4个值，因此两卫星相距最近的次数为4次。 答：（1）卫星B环绕地球运动的周期为。 （2）在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为4次。 16．如图所示，质量为m的行星沿椭圆轨道绕质量为M的太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点处，椭圆轨道的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，如选无穷远处为零势能点，则行星和太阳系统的引力势能为，其中M为太阳质量，m为行星质量，r为距太阳球心的距离，G为万有引力常量．求： （1）行星在近日点A和远日点B的速度大小之比； （2）行星在椭圆轨道上运动的机械能的表达式． 【答案】（1）行星近日点A和远日点B的速度大小之比。 （2）行星在椭圆轨道上运动的机械能E。 【解答】解：（1）近日点A到太阳的距离r1＝a﹣c，近日点B到太阳的距离r2＝a+c，设近日点的速度为v1，远日点的速度为v2。行星在近日点和远日点的角动量相等，即mv1r1＝mv2r2 得到近日点A和远日点B的速度大小之比 （2）行星的机械能是动能和引力势能之后，行星在椭圆轨道上运动时，机械能守恒，设近日点的速度为v1，远日点的速度为v2。行星从A到B，由机械能守恒定律得mm 解得v1。选无穷远处为零势能点，行星在椭圆轨道上运动的机械能Em 答：（1）行星近日点A和远日点B的速度大小之比 （2）行星在椭圆轨道上运动的机械能E 1 学科网（北京）股份有限公司 $