6.3正方形的性质与判定同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

6.3 正方形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 4．如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形①、②和长方形③、④无缝衔接拼成长方形，且．若已知长方形的周长，则不能确定周长的图形是（    ） A．正方形① B．正方形② C．长方形③ D．长方形④ 7．如图，正方形的边长是3，点是边上一点，，是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 8．如图，是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转得到．若四边形的面积为，，则的长为__________． 9．如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，，则的长为 _______________ ． 10．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 11．如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交于两点．若，则正方形的边长为 __________________ ． 三、解答题 12．如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 13．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 14．如图，是正方形中边上一点，以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接与相交于点． (1)小强同学猜想是的中点，他过点作交于点，然后发现了证明这个结论的方法．请帮小强同学完成证明过程； (2)若正方形的边长为，直接写出的长． 15．如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 16．问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 《6.3 正方形的性质与判定 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学八年级下册》参考答案 1．C 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 2．C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 3．C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．C 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，设正方形的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出及的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为的长． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将分别沿向内折叠得到图2： ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ，， ，， ， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 中，，即， 解得， ， ， ， ， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了列代数式，先设未知数，分别计算四个图形的周长，观察是否能用长方形的周长表示，找出不能的即可． 【详解】解：设正方形①的边长为x，，则， ∴长方形的周长为， 正方形①的周长为， 正方形②的周长为， 长方形③的周长为， 长方形④的周长为， ∴已知长方形的周长，即可求得正方形①、长方形③，长方形④的周长， 由此不能确定正方形②的周长， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形面积． 连接，，先求出，，，得到，，，再根据求解即可． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长是3， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8． 【分析】利用旋转性质可得是等腰直角三角形，然后将四边形面积转化为正方形面积求出正方形边长，再通过勾股定理依次求出和等腰直角三角形的斜边． 【详解】解： 由绕点顺时针旋转所得， ，， ，是等腰直角三角形， 四边形的面积为， ， ，即正方形的面积为， ，解得， ， ， ． 9． 【分析】连接，根据正方形的性质，利用“”证得，得到，根据题意易证四边形是矩形，然后由矩形的性质和直角三角形的性质，求得，的长度，进而可知为等腰直角三角形，从而求得的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10． 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 11． 【分析】设正方形的边长为，则，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由四边形为正方形，，可得出，在直角三角形中根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 12．见解析 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出全等三角形是解题关键． 利用正方形的性质得，再根据证明，结合全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到，正方形的性质，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，即可得证； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）解：∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 由（1）知：是的中点， ∴． 15．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出相等边和直角，然后利用勾股定理进行求解即可； （2）根据正方形的性质得出相等的角和边，证明，得出相等的边，证明四边形为矩形，得出对角线相等，即可得出结论； （3）借助（2）的结论得出当时，的值最小，即的值最小，证明为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得； （2）证明：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，， 当时，的值最小，即的值最小， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴此时，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 16．(1)正方形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转可知：，再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明四边形是正方形； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合即可解答； （3）过点作于，由（1）可知四边形是正方形，得，结合条件，，得到和的长，由（2）可知：，最后可利用勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： 是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，， ，， 又， ， 四边形是矩形． 由旋转的性质可知，， 四边形是正方形． （2）证明：如图，过点D作于点， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 由旋转的性质可知，， ∵四边形是正方形， ， ， ． （3）解：四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍）， ， ， 如图，过点D作于点， 根据（2）可知， ，， ， 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $