精选专题一 立体图形的切拼-表面积（第三单元 长方体和正方体）导图++技巧点拨+三难度分层练-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 精选专题一 立体图形的切拼-表面积（第三单元 长方体和正方体） （难度分层练：基础入门+进阶提升+挑战拓展） 【原卷版】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）用棱长为acm的两个正方体，拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了（    ）cm2。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·浙江杭州·期中）从一个体积是24立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 D．无法判断 3．（24-25六年级上·湖北十堰·期中）长方体的长是9分米，宽和高都是3分米，把它截成三个一样大的正方体，表面积增加了（    ）。 A．18平方分米 B．36平方分米 C．54平方分米 4．（24-25五年级下·河南郑州·期中）一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 5．（23-24五年级下·广东潮州·期中）把一个棱长是3dm的正方体切成两个长方体，表面积增加( )dm2。 6．把三个棱长都是5厘米的正方体拼接为一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）把一个大长方体切成两个小长方体，无论怎么切，都会使表面积增加。( )（判断对错） 8．（23-24五年级下·广东江门·期中）将两个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少18平方分米。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·湖北襄阳·期中）棱长10厘米的正方体，分成两个长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 10．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）中国文化中的“节俭哲学” “方匣累叠藏规矩，前后左右露真容，重叠之处需相减，表面积中算分明。”体现了中国文化中的“节俭哲学——物尽其用”的思想。长城城砖、传统木箱制作都是将多余材料的表面积降至最低，减少材料浪费，做到了实用与环保的统一。数学中的图形拼接问题也蕴含了这样的思想。例如：用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体进行拼组。 1．（24-25五年级下·河北邯郸·期末）现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·新疆巴州·期末）如图，把一块棱长是5dm的正方体木料沿虚线锯成两块完全相同的长方体木料后，两块长方体木料的表面积之和与原来正方体木料的表面积相比，增加了（    ）dm2。 A．10 B．20 C．25 D．50 3．（24-25五年级下·河北保定·期末）将一个长是9厘米、宽是6厘米、高是3厘米的长方体切成3个体积相等的小长方体，表面积最多可以增加（    ）平方厘米。 A．72 B．324 C．216 D．420 4．（24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 5．（24-25五年级下·新疆·期中）一根长方体木料，它的横截面面积是10cm2。如果把它截成3段，那么它的表面积增加( )cm2。 6．（23-24五年级下·新疆博尔塔拉·期末）如图的长方体正好可以切成2个棱长1厘米的正方体。切开后，两个正方体表面积的和比原来多( )平方厘米。 7．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 8．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 9．（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 10．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）在人工智能材料研发实验中，研究人员发现一种新型复合材料制成的长方体模型，该长方体模型正好可以锯成三个大小相等的小正方体模型。在切割过程中，它们的表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米。已知这种新型复合材料每平方厘米的成本为5元，若要制成这样的长方体模型，材料成本是多少元？ 1．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 2．（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 3．（2025五年级下·全国·专题练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是_______。 4．如下图所示，把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )。 5．（2025五年级下·全国·专题练习）要把6个长17厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体物体拼装成一个大的长方体包装物，怎样包装最省包装纸？表面积最小时的包装纸的面积是多少平方厘米？（重叠处忽略不计） 6．（2024六年级·全国·专题练习）如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 7．（2024五年级下·全国·专题练习）一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少？ 8．（24-25五年级下·海南海口·周测）把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 9．（2025五年级下·全国·专题练习）下图是一个边长为5分米的正方体，如果在它的左上方截去一个长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米的小长方体，那么这个正方体的表面积减少了多少？ 10．用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 精选专题一 立体图形的切拼-表面积（第三单元 长方体和正方体） （难度分层练：基础入门+进阶提升+挑战拓展） 【解析版】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）用棱长为acm的两个正方体，拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了（    ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】两个棱长为acm的正方体，拼成一个长方体时，两个正方体相接触的两个面会重合，也就是表面积减少了两个正方形面的面积，据此解答。 【规范解答】一个面的面积为（平方厘米），那么两个面的面积为（平方厘米） 所以这个长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了2a²平方厘米。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·浙江杭州·期中）从一个体积是24立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 D．无法判断 【答案】B 【思路引导】长方体挖掉一小块时，表面积的变化取决于“挖掉部分露出的面”与“原来面”的数量关系：若挖掉的小块是从长方体的顶点处挖去（如图所示），挖掉后会减少3个面，但同时会露出3个面。 【规范解答】从顶点处挖掉小块后，减少的面和新增的面数量相等、面积相同，因此长方体的表面积和原来同样大。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·湖北十堰·期中）长方体的长是9分米，宽和高都是3分米，把它截成三个一样大的正方体，表面积增加了（    ）。 A．18平方分米 B．36平方分米 C．54平方分米 【答案】B 【思路引导】将长方体截成三个一样大的正方体，则增加4个正方形截面，正方形截面的边长为9÷3＝3分米，根据正方形面积＝边长×边长，再乘4即可求出表面积增加的面积。 【规范解答】3×3×4 ＝9×4 ＝36（平方分米） 即表面积增加了36平方分米。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·河南郑州·期中）一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 【答案】8 【思路引导】从图中可知，分割后增加的截面是边长为2米的正方形（因为长方体宽和高都是2米）。增加了2个这样的正方形截面，一个截面面积是2×2＝4平方米，那么增加的总面积是4×2＝8平方米。 【规范解答】分割后增加的截面是边长为2米的正方形。 2×2×2＝8（平方米） 表面积增加了8平方米。 5．（23-24五年级下·广东潮州·期中）把一个棱长是3dm的正方体切成两个长方体，表面积增加( )dm2。 【答案】18 【思路引导】把一个正方体，切成两个相同的长方体后，表面积比原来增加了两个切面的面积，切面是一个棱长3dm的正方形，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出一个面的面积，再乘2，即可解答。 【规范解答】3×3×2 ＝9×2 ＝18（dm2） 把一个棱长是3dm的正方体切成两个长方体，表面积增加18dm2。 6．把三个棱长都是5厘米的正方体拼接为一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。 【答案】100 【思路引导】 把3个正方体拼成一个长方体，如图，每两个正方体拼在一起，就会减少2个面的面积，所以长方体相比之前的3个正方体的表面积，减少了4个面的面积，每个面的面积可根据正方形的面积公式求得，再乘4即可求出表面积减少了多少平方厘米。 【规范解答】5×5×4＝100（平方厘米） 【考点剖析】此题的解题关键是掌握立体图形拼搭后表面积的变化情况，找出减少了哪些面的面积，利用面积公式即可得解；也可利用3个正方体的表面积减去长方体的表面积来求解。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）把一个大长方体切成两个小长方体，无论怎么切，都会使表面积增加。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】本题考查长方体的表面积变化。当一个大长方体被切成两个小长方体时，切割过程会增加两个新的面（切割面），这两个新面的面积之和即为增加的表面积。无论切割方向如何（如平行于长、宽或高），只要切割后得到两个长方体，表面积一定增加。因此，题干说法正确。 【规范解答】把一个长方体切成两个小长方体时，切割面会暴露出来，成为两个新的表面。原长方体的表面积不变，但增加了两个新面的面积，因此总表面积一定增加。例如，一个长、宽、高分别为 、、 的长方体，原表面积为 。若平行于宽和高方向切割（即沿长度方向切），增加两个新面，每个面积为 ，总增加面积为 ，故新表面积为 ，表面积增大。其他切割方向同理，因此无论怎么切，表面积都会增加。 故答案为：√ 8．（23-24五年级下·广东江门·期中）将两个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少18平方分米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积由原来的12个正方形的面积之和变为10个正方形的面积之和，所以表面积减少的面积相当于两个小正方形的面积，据此解答。 【规范解答】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 将两个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少18平方分米，题意表述正确。 故答案为：√ 9．（24-25五年级下·湖北襄阳·期中）棱长10厘米的正方体，分成两个长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】200平方厘米 【思路引导】把正方体分成两个长方体，表面积增加两个正方体的面，根据，代入数据计算即可。 【规范解答】（平方厘米） 答：表面积增加了200平方厘米。 10．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）中国文化中的“节俭哲学” “方匣累叠藏规矩，前后左右露真容，重叠之处需相减，表面积中算分明。”体现了中国文化中的“节俭哲学——物尽其用”的思想。长城城砖、传统木箱制作都是将多余材料的表面积降至最低，减少材料浪费，做到了实用与环保的统一。数学中的图形拼接问题也蕴含了这样的思想。例如：用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体进行拼组。 【答案】上下拼更减少材料浪费 【思路引导】根据立方体的拼接，由图可知上下拼，左右拼，前后拼都减少4个面，分别计算出减少的面积，再比较大小，据此解答即可。 【规范解答】上下拼表面积减小4个面，减少5×4×4＝80（平方厘米）， 前后拼表面积减小4个面，减少5×3×4＝60（平方厘米） 左右拼表面积减小4个面，减少4×3×4＝48（平方厘米） 80＞60＞48 答：上下拼将表面积降至最低，减少材料浪费。 1．（24-25五年级下·河北邯郸·期末）现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】包装物体时，重叠的面越大，表面积减少得越多，就越省包装纸。 已知礼盒长8cm、宽7cm、高2cm，8×7＞8×2＞7×2，所以最大的面的面积是8×7＝56cm2。分别分析每个选项中重叠面的大小，进而确定符合题意答案。 【规范解答】A．将礼盒沿高堆叠，减少了6个长8cm、宽7cm的面，即减少的面积为8×7×6＝336（cm2）。 B．重叠的面是4个长8cm、宽7cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×7×4＋8×2×4＝224＋64＝288（cm2）。 C．重叠的面是4个宽7cm、高2cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为7×2×4＋8×2×4＝56＋64＝120（cm2）。 D．重叠的面是6个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×2×6＝96（cm2）。 336＞288＞120＞96 所以选项A中的最省包装纸。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·新疆巴州·期末）如图，把一块棱长是5dm的正方体木料沿虚线锯成两块完全相同的长方体木料后，两块长方体木料的表面积之和与原来正方体木料的表面积相比，增加了（    ）dm2。 A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】D 【思路引导】由题意可知：把棱长为5dm的正方体木料锯成两个长方体后，增加了2个面，利用正方形的面积公式即可求出增加部分的面积。 【规范解答】5×5×2 ＝25×2 ＝50（dm2） 所以两块长方体木料的表面积之和与原来正方体木料的表面积相比，增加了50dm2。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·河北保定·期末）将一个长是9厘米、宽是6厘米、高是3厘米的长方体切成3个体积相等的小长方体，表面积最多可以增加（    ）平方厘米。 A．72 B．324 C．216 D．420 【答案】C 【思路引导】要使表面积增加得最多，就要平行于长方体最大的面进行切割。长方体的三个面的面积分别为，长×宽：9×6＝54（平方厘米）；长×高：9×3＝27（平方厘米）；宽×高：6×3＝18（平方厘米）。所以最大的面是长×宽的面，面积为54平方厘米。将长方体切成3个体积相等的小长方体，需要切2次，每切一次增加2个面，所以一共增加2×2＝4个面。每个面的面积都是54平方厘米，所以增加的表面积为54×4＝216（平方厘米）。 【规范解答】9×6＝54（平方厘米） 9×3＝27（平方厘米） 6×3＝18（平方厘米） 54＞27＞18 长方体切成3个体积相等的小长方体，需要切2次，每切一次增加2个面。 2×2＝4（个） 54×4＝216（平方厘米） 表面积最多可以增加216平方厘米。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 【答案】(1) 4 4 (2)64 【思路引导】（1）原来的长方体木料的宽＝高＝原来的长方体木料的长÷平均锯的段数，注意先要进行单位换算； （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料多的表面积＝（截的段数－1）×2×（横截面的棱长×棱长）。 【规范解答】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 5．（24-25五年级下·新疆·期中）一根长方体木料，它的横截面面积是10cm2。如果把它截成3段，那么它的表面积增加( )cm2。 【答案】40 【思路引导】把长方体木料截成3段，需要截2次，每截1次会增加2个横截面，因此总共增加4个横截面，已知每个横截面面积为10cm2，用4乘10即可求出增加的表面积。 【规范解答】2×2×10 ＝4×10 ＝40（cm2） 表面积增加40cm2。 6．（23-24五年级下·新疆博尔塔拉·期末）如图的长方体正好可以切成2个棱长1厘米的正方体。切开后，两个正方体表面积的和比原来多( )平方厘米。 【答案】2 【思路引导】观察图形可知，切开后，两个正方体的表面积比原来多了2个正方体的面的面积，根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，据此即可解答。 【规范解答】1×1×2 ＝1×2 ＝2（平方厘米） 长方体正好可以切成2个棱长1厘米的正方体。切开后，两个正方体表面积的和比原来多2平方厘米。 7．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 【答案】800平方厘米 【思路引导】由图形可知，这个组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体侧面积的和。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的侧面积（4个面的面积）＝棱长×棱长×4，把数据分别代入计算。 【规范解答】（15×10＋8×10＋15×8）×2＋5×5×4 ＝（150＋80＋120）×2＋25×4 ＝350×2＋25×4 ＝700＋100 ＝800（平方厘米） 这个图形的表面积是800平方厘米。 8．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】1024平方厘米 【思路引导】根据题意，这4个长方体龙泉印泥盒子按图中方式用彩纸包在一起，则组合成一个长（12×2）厘米、宽8厘米、高（5×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出至少需要彩纸的面积。 【规范解答】长：12×2＝24（厘米） 高：5×2＝10（厘米） （24×8＋24×10＋8×10）×2 ＝（192＋240＋80）×2 ＝512×2 ＝1024（平方厘米） 答：至少需要1024平方厘米的彩纸。 9．（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 【答案】150平方分米 【思路引导】观察图形可知，切去一个长方体，减去3个面的面积，同时又增加3个面的面积，所以剩下的表面积等于正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【规范解答】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 答：剩下图形的面积是150平方分米。 10．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）在人工智能材料研发实验中，研究人员发现一种新型复合材料制成的长方体模型，该长方体模型正好可以锯成三个大小相等的小正方体模型。在切割过程中，它们的表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米。已知这种新型复合材料每平方厘米的成本为5元，若要制成这样的长方体模型，材料成本是多少元？ 【答案】630元 【思路引导】把一个长方体锯成三个大小相等的小正方体，需要锯2次。每锯1次增加2个正方形的面，那么锯2次就增加了2×2＝4个正方形的面。已知切割后表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米，这增加的36平方厘米就是4个正方形面的面积之和。那么一个正方形面的面积是36÷4＝9平方厘米。长方体由三个小正方体拼成，其表面积相当于14个小正方体的面（3×6－4＝14，三个小正方体共3×6＝18个面，拼接减少4个面），所以长方体表面积为9×14＝126（平方厘米）。每平方厘米成本5元，用126乘5即可解答。 【规范解答】2×2＝4（个） 36÷4＝9（平方厘米） 3×6＝18（个） 18－4＝14（个） 9×14＝126（平方厘米） 126×5＝630（元） 答：材料成本是630元。 1．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 【答案】D 【思路引导】表面积是物体所露出面的面积；分析取走小正方体后，增加的面和减少的面的关系判断。 【规范解答】假设取走A，增加3个面，减少3个面。表面积不变。 假设取走B，增加4个面，减少2个面，表面积增加。 假设取走C，增加5个面，减少1个面，表面积增加。 综上，取走C后，表面积变大正确。 2．（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 【答案】（1）96；92；88 （2）68 （3）20 【思路引导】（1）每锯下一个小方木，表面积会减少小方木4个面的面积；锯下2个小方木，表面积会减少（2×4）个面的面积；锯下3个小方木，表面积会减少（3×4）个面的面积；每个面的面积都是1×1＝1dm2，据此求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积，据此把表格补充完整。 （2）当锯下8个小方木时，表面积会减少（8×4）个面的面积，用每个面的面积乘减少的面，求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，表面积减少了（100－20）dm2，因为每锯下1个小方木表面积减少4dm2，用减少的表面积除以4，即可求出锯下小方木的个数。 【规范解答】（1）锯下的小方木每个面的面积：1×1＝1（dm2） 锯下1个小方木时，减少小方木4个面的面积，减少的面积是1×4＝4（dm2），剩下方木的表面积：100－4＝96（dm2）； 锯下2个小方木时，减少小方木2×4＝8个面的面积，减少的面积是1×8＝8（dm2），剩下方木的表面积：100－8＝92（dm2）； 锯下3个小方木时，减少小方木3×4＝12个面的面积，减少的面积是1×12＝12（dm2），剩下方木的表面积：100－12＝88（dm2）； 填表如下： 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 96 92 88 … （2）当锯下8个小方木时，减少小方木8×4＝32个面的面积，减少的面积是1×32＝32（dm2），剩下方木的表面积：100－32＝68（dm2）； 当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（68）dm2。 （3）每锯下1个小方木表面积减少4dm2； 减少的表面积：100－20＝80（dm2） 小方木的个数：80÷4＝20（个） 当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（20）个小方木。 【考点剖析】明确每锯下一个小方木减少了哪些面，求出减少的表面积是解题的关键。 3．（2025五年级下·全国·专题练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是_______。 【答案】6个 【思路引导】1．计算最底层正方体的表面积 正方体表面积公式为S＝6a2（a为棱长），最底层正方体棱长a＝2，其一个面的面积为2×2＝4，那么最底层正方体的表面积（包含底面）为6×4＝24 2．分析上层正方体一个面的面积规律 我们通过观察图形来确定上层正方体一个面的面积与下层的关系。可以发现，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，把下层正方体上底面的正方形沿对角线分割，能直观看到上层正方体底面占下层正方体底面的一半。所以最底层正方体一个面面积是4，从下往上数，第二层正方体一个面面积是4÷2＝2，第三层正方体一个面面积是2÷2＝1，依此类推。 3．计算不同层数时塔形的表面积并确定最少个数 当有2个正方体时，表面积为最底层正方体表面积加上第二层正方体4个侧面的面积（因为第二层上底面与第一层接触，不增加表面积），即24＋4×2＝32。 当有3个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1 当有4个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5 当有5个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25 当有6个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125，超过了39。所以正方体个数至少是6个。 【规范解答】最底层正方体一个面面积：2×2＝4，最底层正方体表面积（含底面） 6×4＝24。 2个正方体时表面积：24＋4×2 ＝24＋8 ＝32 3个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1 ＝24＋8＋4 ＝36 4个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5 ＝24＋8＋4＋2 ＝38 5个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25 ＝24＋8＋4＋2＋1 ＝39 6个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125 ＝24＋8＋4＋2＋1＋0.5 ＝39.5 所以正方体个数至少是6个。 【考点剖析】本题的关键在于通过直观观察图形，准确找出上层与下层正方体一个面面积的变化规律，再结合正方体表面积公式进行计算。在计算时，需明确每增加一层正方体，其各面在总表面积计算中所起的作用，即哪些面增加了表面积，哪些面因重合不产生影响，进而逐步算出不同正方体数量时塔形的表面积。 4．如下图所示，把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )。 【答案】 42平方厘米/42cm2 9平方厘米/9cm2 【思路引导】把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，就是切了1刀，表面积增加了两个切面的面积。想要表面积增加最多，就要切面的面积最大，看图可知，这个长方体的切面最大是增加了长7厘米，高3厘米的那个面，但是多出来的是两个切面，所以再乘2；想要表面积增加最少，就要切面的面积最小，看图可知，这个长方体的切面最小是增加了宽1.5厘米，高3厘米的那个面，但是多出来的是两个切面，所以再乘2；即可得解。 【规范解答】最多增加：7×3×2＝42（平方厘米） 最少增加：1.5×3×2＝9（平方厘米） 把这个长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加（42平方厘米），最少增加（9平方厘米）。 【考点剖析】明确表面积增加最多、最少的切法是解决本题的关键。 5．（2025五年级下·全国·专题练习）要把6个长17厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体物体拼装成一个大的长方体包装物，怎样包装最省包装纸？表面积最小时的包装纸的面积是多少平方厘米？（重叠处忽略不计） 【答案】拼装成长17厘米，宽14厘米，高9厘米的长方体包装物最省包装纸；1034平方厘米 【思路引导】列举以上5种包装方案：长17厘米，宽7厘米，高18厘米；长34厘米，宽7厘米，高9厘米；长21厘米，宽17厘米，高6厘米；长51厘米，宽7厘米，高6厘米；长17厘米，宽14厘米，高9厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，分别求出它们的面积，通过计算比较，发现怎样包装最省包装纸。 【规范解答】（1）（17×7＋17×18＋7×18）×2 ＝（119＋306＋126）×2 ＝551×2 ＝1102（平方厘米） （2）（34×7＋34×9＋7×9）×2 ＝（238＋306＋63）×2 ＝607×2 ＝1214（平方厘米） （3）（21×17＋21×6＋17 ×6）×2 ＝（357＋126＋102）×2 ＝585×2 ＝1170（平方厘米） （4）（51×7＋51 ×6 ＋7×6）×2 ＝（357＋306＋42）×2 ＝705×2 ＝1410（平方厘米） （5）（17×14＋17×9＋14×9）×2 ＝（238＋153＋126）×2 ＝517×2 ＝1034（平方厘米） 1034＜1102＜1170＜1214＜1410 答：拼装成长17厘米，宽14厘米，高9厘米的长方体包装物最省包装纸，表面积最小时的包装纸的面积是1034平方厘米。 6．（2024六年级·全国·专题练习）如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】10平方厘米 【思路引导】把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，先用40乘2计算出2个原正方体的表面积，也就是8个小正方体的表面积和，再除以8即可；据此解答。 【规范解答】 ＝80÷8 ＝10（平方厘米） 答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。 【考点剖析】本题考查的是对正方体特征的实际应用，注意切开后一共增加了6个原正方体的面是解答本题的关键。 7．（2024五年级下·全国·专题练习）一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少？ 【答案】54平方米 【思路引导】把一个棱长是3米的正方体木块锯成体积相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。 【规范解答】2×3＝6（个） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方米） 答：表面积增加54平方米。 【考点剖析】本题考查立体图形的切割，明确切一刀增加2个面，进而得出切3刀增加6个面。 8．（24-25五年级下·海南海口·周测）把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 【答案】90平方厘米 【思路引导】把2个棱长为3厘米的小正方体拼成一个长方体后，长方体的长和宽等于正方体的棱长，高是正方体棱长的2倍。已知正方体的棱长，长方体的长是3厘米，宽是3厘米，高是6厘米，根据，代入数据。 【规范解答】3×2＝6（厘米） （3×3＋3×6＋3×6）×2 ＝（9＋18＋18）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是90平方厘米。 9．（2025五年级下·全国·专题练习）下图是一个边长为5分米的正方体，如果在它的左上方截去一个长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米的小长方体，那么这个正方体的表面积减少了多少？ 【答案】12平方分米 【思路引导】看图可知，表面积减少了4个小长方形，里面又出现了2个小长方形，因此表面积最终减少了2个长是3分米，宽是2分米的小长方形，根据长方形面积＝长×宽，求出一个小长方形的面积，再乘2即可。 【规范解答】3×2×2＝12（平方分米） 答：这个正方体的表面积减少了12平方分米。 10．用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】896平方厘米 【思路引导】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【规范解答】160÷（12×3－16） ＝160÷（36－16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3－8×8×4 ＝64×6×3－64×4 ＝384×3－256 ＝1152－256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是896平方厘米。 【考点剖析】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $