精选专题三 体积的等积变形（第三单元 长方体和正方体）导图++技巧点拨+三难度分层练-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 精选专题三 体积的等积变形（第三单元 长方体和正方体） （难度分层练：基础入门+进阶提升+挑战拓展） 【解析版】 技巧点拨一 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 技巧点拨二 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 1．（25-26五年级上·山东济宁·期末）把一个长方体面团捏成一个正方体，体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【规范解答】把一个长方体面团捏成一个正方体，形状变了，体积不变。 2．（24-25五年级下·广东深圳·期中）学校开展“艺术节”橡皮泥手工制作活动，田田用一块长方体橡皮泥捏出了一个哈尔滨亚冬会的吉祥物“滨滨”，长方体橡皮泥和捏出的“滨滨”相比，（    ）。 A．体积不相等，表面积相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积和表面积都相等 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】体积是指物体所占空间的大小；表面积是指物体所有面的面积总和。 【规范解答】同一块橡皮泥只是改变形状捏成新的造型，橡皮泥的总量没有变化，因此它所占空间的大小（也就是体积）是不变的，即体积相等；形状改变后，物体表面所有面的面积和发生了改变，因此表面积不相等。 3．（20-21五年级下·广西贵港·期末）将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，长方体和正方体相比，（    ）。 A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积不相等，表面积相等 【答案】B 【思路引导】物体所占空间的大小叫做物体的体积，物体各个面的面积之和叫做物体的表面积。 根据题意，将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，钢坯的形状变了，则表面积发生了变化；但钢坯的大小不变，即体积没变，据此解答。 【规范解答】将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，长方体和正方体相比，体积相等，表面积不相等。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇想求一块不规则的橡皮泥的体积，于是把橡皮泥捏成了一个长方体，这个长方体长5cm、宽4cm、高2cm，那么这块橡皮泥的体积是( )。 【答案】40 【思路引导】橡皮泥由不规则捏成长方体，体积不变，故长方体的体积即为橡皮泥的体积；已知长方体长5cm、宽4cm、高2cm，根据长方体的体积公式，即可求出长方体的体积，据此解答。 【规范解答】（cm3） 因此，这块橡皮泥的体积是40cm3 5．（25-26五年级上·山东·课后作业）一个棱长为5分米的正方体钢坯的体积为( )立方分米，把它锻造成长方体，则这个长方体的体积为( )立方分米。 【答案】 125 125 【思路引导】正方体体积：根据正方体体积公式 “正方体体积＝棱长×棱长×棱长” 计算。锻造前后体积：锻造是改变物体形状，体积不会发生变化（钢的总量不变），所以长方体体积与原正方体体积相等。 【规范解答】① 正方体体积：5×5×5＝125（立方分米） ② 长方体体积：锻造后体积不变，所以长方体体积也是125立方分米。 故一个棱长为5分米的正方体钢坯的体积为125立方分米，把它锻造成长方体，则这个长方体的体积为125立方分米。 6．（24-25五年级上·山东泰安·期中）把一个长是10厘米，宽是6厘米，高是2厘米的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，这个正方体铁块的体积是( )立方厘米。 【答案】 120 【思路引导】长方体熔铸成正方体时，体积保持不变。已知长方体铁块的长是10厘米、宽是6厘米、高是2厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出长方体的体积，即为正方体的体积。 【规范解答】10×6×2 ＝60×2 ＝120（立方厘米） 所以这个正方体铁块的体积是120立方厘米。 7．（25-26五年级上·山东东营·期末）一个正方体钢坯锻造成一个长方体，它的表面积不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】锻造只是改变物体的形状，材料的总量不变，所以正方体和锻造后的长方体体积是相等的，但表面积是物体表面的总面积，形状改变后，各个面的大小和数量组合会发生变化，比如正方体的每个面都是相同的正方形，而长方体的面可能是不同的长方形，所以表面积会改变。我们还可以通过具体数值验证，比如设正方体棱长为2，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，求出它表面积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体体积，即2×2×2＝8；因为正方体和锻造后的长方体体积是相等的，即锻造后的长方体体积也为8，根据长方体体积＝长×宽×高，将其锻造成一个长4、宽2、高1的长方体，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出长方体的表面积，对比后即可解答。 【规范解答】设正方体棱长为2。 正方体表面积：2×2×6 ＝4×6 ＝24 将其锻造成一个长4、宽2、高1的长方体。 长方体表面积：（4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝14×2 ＝28 24≠28 所以一个正方体钢坯锻造成一个长方体，它的表面积不变，说法错误。 故答案为：× 8．（23-24五年级下·河北·假期作业）一块橡皮泥捏成正方体的体积比捏成长方体的体积大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】同一块橡皮泥无论捏成正方体还是长方体，体积不变，因此两者的体积相等。 【规范解答】将一块橡皮泥捏成正方体或长方体时，形状改变但体积保持不变。因此，捏成的正方体的体积与长方体的体积相等，题目中的说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个棱长是10分米的正方体容器，里面装满水，把水倒入一个长20分米，宽2.5分米的长方体水缸里，长方体水缸里的水有多深？（容器壁厚忽略不计） 【答案】20分米 【思路引导】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体高＝体积÷（长×宽），倒水前后水的体积不变。 【规范解答】水的体积：10×10×10＝1000（立方分米） 水深：1000÷（20×2.5） ＝1000÷50 ＝20（分米） 答：长方体水缸里的水有20分米深。 10．（24-25五年级上·山东烟台·期中）有一块棱长是6厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一块横截面面积是20平方厘米的长方体模具，这个长方体模具的长是多少厘米？ 【答案】10.8厘米 【思路引导】先根据正方体的体积＝（a为正方体棱长）求出正方体铁块的体积； 长方体模具体积与正方体体积相同，长方体底面积已知，根据长方体的体积＝底面积×高即可求长方体的长。 【规范解答】6×6×6÷20 ＝216÷20 ＝10.8（厘米） 答：这个长方体模具的长是10.8厘米。 1．（24-25五年级·全国·随堂练习）下面说法错误的是（    ）。 ①把一块正方体铁块熔铸成长方体，体积不变。    ②体积单位比面积单位大。 ③体积是1m3的物体一定是棱长为1m的正方体。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】把一块正方体铁块熔铸成长方体，只是形状发生改变，根据体积的定义，物体所占空间的大小不变，所以体积不变，该说法正确； 体积单位用于衡量物体所占空间的大小，面积单位用于衡量平面图形的大小，二者衡量的是不同的物理量，单位类型不同，无法直接比较大小，该说法错误； 体积是的物体，形状不一定是棱长为1m的正方体，例如长2m、宽1m、高0.5m的长方体，体积为，该说法错误。 【规范解答】一块正方体铁块熔铸成长方体，形状改变，体积不变，说法正确； 二者衡量的是不同的物理量，单位类型不同，无法直接比较大小，该说法错误； 体积是的物体不一定是棱长为1m的正方体，也可能是长方体，说法错误。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法正确的有（    ）个。 ①棱长是1dm的正方体和棱长是10cm的正方体的体积一样大。 ②正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积就扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 ③把一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，虽然形状变了，但体积不变。 ④一个木箱的容积就是这个木箱的体积。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出体积，再根据1dm3＝1000cm3，统一单位即可； ②正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体的棱长扩大到原来的几倍，表面积扩大到原来的倍数×倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数； ③把一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，正方体和长方体的体积都是这个铁块的体积； ④体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积。 【规范解答】①1×1×1＝1（dm3）、10×10×10＝1000（cm3）、1dm3＝1000cm3 棱长是1dm的正方体和棱长是10cm的正方体的体积一样大，说法正确。 ②3×3＝9、3×3×3＝27 正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积就扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍，说法正确。 ③把一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，虽然形状变了，但体积不变，说法正确。 ④求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此，对于同一个物体，一般地说，它的容积要比体积小，因此一个木箱的容积不是这个木箱的体积，原说法错误。 说法正确的有3个。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·福建福州·期中）一段钢材长15dm，横截面面积是0.4dm2，如果把它煅烧成一根横截面面积是0.3dm2的钢筋，这根钢筋的长是（    ）。 A．2dm2 B．20dm2 C．20dm D．20m 【答案】C 【思路引导】根据体积＝底面积×高，求出钢材的体积；由于体积不变，钢材的体积＝煅烧后钢筋的体积，用钢材的体积除以煅烧后钢筋的横截面积，即可求出钢筋的长度。 【规范解答】0.4×15÷0.3 ＝6÷0.3 ＝20（dm） 一段钢材长15dm，横截面面积是0.4dm2，如果把它煅烧成一根横截面面积是0.3dm2的钢筋，这根钢筋的长是20dm。 故答案为：C 4．（24-25五年级·全国·随堂练习）把体积是1m3的正方体木料切割成棱长是1dm的小正方体，能切割成( )块，把这些小正方体排成一排的长度是( )m。 【答案】 1000 100 【思路引导】要求体积1m3的正方体木料能切割成多少块棱长1dm的小正方体，先用正方体的体积公式算出小正方体的体积，再用大正方体的体积除以小正方体的体积，求出能切割多少块； 把这些小正方体排成一排，就变成了一个体积是1m3、宽是1dm、高是1dm的长方体，最后用体积÷宽÷高，求出长方体的长，据此解答。 【规范解答】1m3＝1000dm3 小正方体的体积：（dm3） 切割成多少块：（块） 长度：（dm） 1000dm＝100m 因此， 把体积是1m3的正方体木料切割成棱长是1dm的小正方体，能切割成1000块，把这些小正方体排成一排的长度是100m 5．（24-25五年级上·山东淄博·期末）数学课上，明明用一块橡皮泥做成一个棱长是4厘米的正方体，这个正方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，把这块橡皮泥揉成一个长方体后，长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 48 96 64 【思路引导】正方体有12条棱，棱长都相等，所以棱长总和是4×12＝48（厘米）。正方体表面积就是6个面的总面积，每个面的面积是正方形，面积是4×4＝16（平方厘米），6个面总面积是16×6＝96（平方厘米）。正方体捏成长方体，形状变了，体积没变，所以长方体的体积等于正方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，用4×4×4求出正方体体积就是长方体的体积。 【规范解答】4×12＝48（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 即：正方体棱长总和是48厘米，表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 6．（25-26五年级上·山东烟台·期中）如图，一个长方体密封盒，把它平放时里面水深9厘米，把它侧放后里面水深是( )厘米。 【答案】13.5 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，据此代入数据，求出水深9厘米时的体积；把它侧放后，它的底面长是30厘米，宽是12厘米，求水的深度，由于水的体积不变，用水的体积÷侧放时的长方体的长×宽，即可解答。 【规范解答】30×18×9÷（30×12） ＝30×18×9÷360 ＝540×9÷360 ＝4860÷360 ＝13.5（厘米） 一个长方体密封盒，把它平放时里面水深9厘米，把它侧放后里面水深是13.5厘米。 7．（2025五年级·全国·专题练习）一个封闭的长方体容器里面装有一部分水，从里面量长方体的长、宽、高分别是10cm，10cm，15cm。小宇不小心把容器碰倒了，长方体容器由图①变为图②。现在水面的高是多少厘米？ 【答案】 6厘米 【思路引导】根据题意可知，图①中的水深9厘米，此时容器的长是10厘米、宽是10厘米，根据长方体的体积公式，即可求出水的体积；长方体容器由图①变成图②，容器内水的体积不变，此时容器的长是15厘米、宽是10厘米，再根据，求出现在水面的高，据此解答。 【规范解答】水的体积：（立方厘米） 现在水面的高：（厘米） 答：现在水面的高是6厘米。 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个容积是216立方分米的正方体油箱里装满了油。把这箱油全部倒入另一个从里面量长8分米、宽5分米、高1米的长方体油箱内，油面离箱口有多少分米？ 【答案】4.6分米 【思路引导】油从一个正方体油箱倒入一个长方体油箱，油的体积没变。根据长方体的体积计算公式“”，用这些油的体积除以长方体油箱的长和宽即可求出油面高度，再用油箱的高度减油面高度，即可求出油面离箱口的高度。 【规范解答】 （分米） 1米＝10分米 （分米） 答：油面离箱口有4.6分米。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个横截面积是5cm2的长方体，捏成的长方体的长是多少厘米？ 【答案】25.6厘米 【思路引导】先用正方体的体积公式，求出正方体的体积；两个正方体彩泥合并成了一个长方体，故正方体的体积×2＝长方体的体积；已知长方体的横截面积，根据长方体的长＝长方体的体积÷长方体的横截面积，求出长方体的长，据此解答。 【规范解答】正方体的体积：（立方厘米） 长方体的体积：（立方厘米） 长方体的长：（厘米） 答：长方体的长是25.6厘米。 10．（25-26五年级上·山东泰安·期中）一个已盛水长方体容器（容器壁的厚度不计），长8dm、宽5dm、高10dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中，这时，容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后，此时容器中水面下降多少分米？ 【答案】1.6分米 【思路引导】正方体铁块的体积就是将铁块拿出后，水降低部分的长方体的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入求出水降低部分的长方体的高即为水面下降的高度。 【规范解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 64÷8÷5 ＝8÷5 ＝1.6（分米） 答：此时容器中水面下降1.6分米。 1．（23-24五年级下·广西贺州·期中）将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体后（    ）。 A．表面积变了，体积不变 B．表面积不变，体积变了 C．体积和表面积都不变 D．体积和表面积都变了 【答案】A 【思路引导】把一个长方体的橡皮泥捏成正方体，长方体和正方体的体积都是这块橡皮泥的体积，但是六个面的形状发生了变化，表面积变了，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体后，表面积变了，体积不变。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·贵州黔南·期中）小都在实践活动中将一块棱长为10cm的正方体陶土捏成底面积为25cm2的长方体，这个长方体的高是（    ）。 A．24cm B．40cm C．4cm 【答案】B 【思路引导】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算出棱长为10cm的正方体的体积；把这个正方体陶土捏成一个长方体，体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，用正方体陶土的体积除以长方体的底面积，所得结果即为这个长方体的高。 【规范解答】10×10×10÷25 ＝1000÷25 ＝40（cm） 因此这个长方体的高是40cm。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·湖北孝感·期末）一个棱长是8分米的正方体铁块，锻造成一个底面积是16平方分米的长方体，这个长方体铁块的高是多少分米？列式正确的是（    ）。 A．8×8×6÷16 B．（8×8×8）÷（16×16） C．8×8×8÷16 D．8×8÷16 【答案】C 【思路引导】根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积；锻造前后体积不变，即长方体的体积等于正方体的体积。根据长方体的高＝体积÷底面积，求出这个长方体铁块的高，据此解答。 【规范解答】8×8×8÷16＝32（分米） 即这个长方体铁块的高是32分米。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·河南安阳·期中）“泥叫叫”又名“娃娃哨”，是一种传统的民间工艺品。王叔叔准备了一块棱长为6cm的正方体泥巴做泥叫叫，这块正方体泥巴的体积是( )cm3。为了便于创作，王叔叔将正方体泥巴捏成了底面积是24cm2的长方体泥巴，捏成的长方体泥巴的高是( )cm。 【答案】 216 9 【思路引导】已知正方体泥巴的棱长是6cm，根据正方体的体积公式V＝a3，求出泥巴的体积； 再把这块泥巴捏成了底面积是24cm2的长方体泥巴，则泥巴的体积不变；根据长方体的高h＝V÷S，求出长方体泥巴的高。 【规范解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 216÷24＝9（cm） 这块正方体泥巴的体积是（216）cm3。捏成的长方体泥巴的高是（9）cm。 5．（24-25五年级下·河南漯河·期中）把一块棱长为10厘米的正方体钢块，锻造成横截面面积是25平方厘米的长方体钢条，这根钢条的长是( )分米。 【答案】4 【思路引导】正方体钢块的棱长为10厘米，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体体积；然后又已知长方体钢条横截面面积，长方体钢条立起来时，横截面面积就可以看作底面积，长就可以看作高，长方体的体积÷底面积＝高，代入数值计算；1分米＝10厘米，最后根据进率转换单位；据此解答。 【规范解答】10×10×10＝100×10＝1000（立方厘米） 1000÷25＝40（厘米） 40厘米＝4分米 所以这根钢条的长是4分米。 6．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）一个长方体容器长10cm、宽8cm、高12cm。将这个容器装满水，然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，这时水面高( )cm。 【答案】9.6 【思路引导】已知长方体容器装满水，根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积。 然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，水的体积不变，根据h＝V÷S，用水的体积除以正方体容器的底面积“10×10”，即可求出正方体容器中水面的高度。 【规范解答】水的体积： 10×8×12 ＝80×12 ＝960（cm3） 水面高： 960÷（10×10） ＝960÷100 ＝9.6（cm） 这时水面高（9.6）cm。 7．图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 【答案】19 【思路引导】设长方体水箱长a厘米，宽b厘米。当它如图（2）这样倾斜时，剩下的水的体积是一个横截面为梯形，长是b厘米的立体图形，它的体积＝横截面的面积×长，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2可得这时水的体积为（8＋30）×a÷2×b＝19ab立方厘米；再把水箱放平如图（3），剩下的水体积不变，还是19ab立方厘米，形状变为长方体，长方体的体积＝长×宽×高，则这时水的深度是19ab÷a÷b＝19（厘米）。 【规范解答】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是19厘米。 【考点剖析】本题考查长方体体积和横截面为梯形的立体图形体积的应用。要掌握横截面为梯形的立体图形的体积公式。 8．（25-26六年级上·江苏常州·期末）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】(1)96平方厘米 (2)12.8厘米 【思路引导】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。 （1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。 （2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。 【规范解答】（1） （平方厘米） 答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：这支蜡烛的高是12.8厘米。 9．（25-26六年级上·江苏苏州·期中）有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 【答案】14.4厘米 【思路引导】平放时容器装7.2厘米的水，用长×宽×水的高可以算出水的体积，容器竖起来放的时候容器的底面积改变，用之前算出的水的体积除以竖起容器的底面积可算出水的高度。 【规范解答】20×16×7.2 ＝320×7.2 ＝2304（立方厘米） 2304÷（10×16） ＝2304÷160 ＝14.4（厘米） 答：水的高度是14.4厘米。 10．（24-25六年级上·天津滨海新区·期中）一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水，如图①。现一头抬高后如图②，AB＝4厘米。 如果这头再抬高，水面与玻璃缸口正好重合，如图③，这时CD的长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【思路引导】根据题意，水的体积始终保持不变。首先看题图②，玻璃缸长30厘米、宽15厘米，AB＝4厘米，此时水面到缸口高度为20－4＝16厘米，水的体积可通过类似长方体体积的思路计算，即把水的形状看作底为直角三角形、高为玻璃缸宽的柱体。然后在题图③中，水面与缸口重合，水的体积不变，用水的体积除以高，求出底面面积，根据直角三角形的面积，求出其底边，再用长方体玻璃缸的长，减去其底边，即可求出CD的长。据此解答。 【规范解答】计算水的体积： 30×（20－4）÷2×15 ＝30×16÷2×15 ＝480÷2×15 ＝240×15 ＝3600（立方厘米） 计算CD的长： 30－3600÷15×2÷20 ＝30－240×2÷20 ＝30－24 ＝6（厘米） 答：这时CD的长是6厘米。 【考点剖析】本题关键是抓住水的体积不变，利用长方体体积公式结合不同图形下的底面积与长度关系求解，易错点是对不同状态下水的形状及体积计算的理解。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 精选专题三 体积的等积变形（第三单元 长方体和正方体） （难度分层练：基础入门+进阶提升+挑战拓展） 【原卷版】 技巧点拨一 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 技巧点拨二 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 1．（25-26五年级上·山东济宁·期末）把一个长方体面团捏成一个正方体，体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 2．（24-25五年级下·广东深圳·期中）学校开展“艺术节”橡皮泥手工制作活动，田田用一块长方体橡皮泥捏出了一个哈尔滨亚冬会的吉祥物“滨滨”，长方体橡皮泥和捏出的“滨滨”相比，（    ）。 A．体积不相等，表面积相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积和表面积都相等 D．无法比较 3．（20-21五年级下·广西贵港·期末）将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，长方体和正方体相比，（    ）。 A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积不相等，表面积相等 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇想求一块不规则的橡皮泥的体积，于是把橡皮泥捏成了一个长方体，这个长方体长5cm、宽4cm、高2cm，那么这块橡皮泥的体积是( )。 5．（25-26五年级上·山东·课后作业）一个棱长为5分米的正方体钢坯的体积为( )立方分米，把它锻造成长方体，则这个长方体的体积为( )立方分米。 6．（24-25五年级上·山东泰安·期中）把一个长是10厘米，宽是6厘米，高是2厘米的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，这个正方体铁块的体积是( )立方厘米。 7．（25-26五年级上·山东东营·期末）一个正方体钢坯锻造成一个长方体，它的表面积不变。( )（判断对错） 8．（23-24五年级下·河北·假期作业）一块橡皮泥捏成正方体的体积比捏成长方体的体积大。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个棱长是10分米的正方体容器，里面装满水，把水倒入一个长20分米，宽2.5分米的长方体水缸里，长方体水缸里的水有多深？（容器壁厚忽略不计） 10．（24-25五年级上·山东烟台·期中）有一块棱长是6厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一块横截面面积是20平方厘米的长方体模具，这个长方体模具的长是多少厘米？ 1．（24-25五年级·全国·随堂练习）下面说法错误的是（    ）。 ①把一块正方体铁块熔铸成长方体，体积不变。    ②体积单位比面积单位大。 ③体积是1m3的物体一定是棱长为1m的正方体。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法正确的有（    ）个。 ①棱长是1dm的正方体和棱长是10cm的正方体的体积一样大。 ②正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积就扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 ③把一个正方体铁块熔铸成长方体铁块，虽然形状变了，但体积不变。 ④一个木箱的容积就是这个木箱的体积。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25五年级下·福建福州·期中）一段钢材长15dm，横截面面积是0.4dm2，如果把它煅烧成一根横截面面积是0.3dm2的钢筋，这根钢筋的长是（    ）。 A．2dm2 B．20dm2 C．20dm D．20m 4．（24-25五年级·全国·随堂练习）把体积是1m3的正方体木料切割成棱长是1dm的小正方体，能切割成( )块，把这些小正方体排成一排的长度是( )m。 5．（24-25五年级上·山东淄博·期末）数学课上，明明用一块橡皮泥做成一个棱长是4厘米的正方体，这个正方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，把这块橡皮泥揉成一个长方体后，长方体的体积是( )立方厘米。 6．（25-26五年级上·山东烟台·期中）如图，一个长方体密封盒，把它平放时里面水深9厘米，把它侧放后里面水深是( )厘米。 7．（2025五年级·全国·专题练习）一个封闭的长方体容器里面装有一部分水，从里面量长方体的长、宽、高分别是10cm，10cm，15cm。小宇不小心把容器碰倒了，长方体容器由图①变为图②。现在水面的高是多少厘米？ 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个容积是216立方分米的正方体油箱里装满了油。把这箱油全部倒入另一个从里面量长8分米、宽5分米、高1米的长方体油箱内，油面离箱口有多少分米？ 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个横截面积是5cm2的长方体，捏成的长方体的长是多少厘米？ 10．（25-26五年级上·山东泰安·期中）一个已盛水长方体容器（容器壁的厚度不计），长8dm、宽5dm、高10dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中，这时，容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后，此时容器中水面下降多少分米？ 1．（23-24五年级下·广西贺州·期中）将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体后（    ）。 A．表面积变了，体积不变 B．表面积不变，体积变了 C．体积和表面积都不变 D．体积和表面积都变了 2．（24-25五年级下·贵州黔南·期中）小都在实践活动中将一块棱长为10cm的正方体陶土捏成底面积为25cm2的长方体，这个长方体的高是（    ）。 A．24cm B．40cm C．4cm 3．（24-25五年级下·湖北孝感·期末）一个棱长是8分米的正方体铁块，锻造成一个底面积是16平方分米的长方体，这个长方体铁块的高是多少分米？列式正确的是（    ）。 A．8×8×6÷16 B．（8×8×8）÷（16×16） C．8×8×8÷16 D．8×8÷16 4．（24-25五年级下·河南安阳·期中）“泥叫叫”又名“娃娃哨”，是一种传统的民间工艺品。王叔叔准备了一块棱长为6cm的正方体泥巴做泥叫叫，这块正方体泥巴的体积是( )cm3。为了便于创作，王叔叔将正方体泥巴捏成了底面积是24cm2的长方体泥巴，捏成的长方体泥巴的高是( )cm。 5．（24-25五年级下·河南漯河·期中）把一块棱长为10厘米的正方体钢块，锻造成横截面面积是25平方厘米的长方体钢条，这根钢条的长是( )分米。 6．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）一个长方体容器长10cm、宽8cm、高12cm。将这个容器装满水，然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，这时水面高( )cm。 7．图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 8．（25-26六年级上·江苏常州·期末）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 9．（25-26六年级上·江苏苏州·期中）有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 10．（24-25六年级上·天津滨海新区·期中）一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水，如图①。现一头抬高后如图②，AB＝4厘米。 如果这头再抬高，水面与玻璃缸口正好重合，如图③，这时CD的长是多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $