上分专题04 三角恒等变换的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

上分专题04、 三角恒等变换的综合应用 命题密钥 三角恒等变换强调对公式的灵活运用，注重对基础知识和基本技能的考查，常与三角函 数或解三角形相结合，又与方程、不等式等模块深度关联命题形式灵活多样，从基础题到压 轴题均有覆盖. 在高考中，以选择题或填空题为主，偶尔在解答题中出现，如2025年全国一卷第 11题，2025年全国二卷第15题，分别与解三角形、三角函数结合考查， 考点觉醒 ●基础知识 降幂公式 cos'x=1+cos 2x sin'x= 1-cos 2x sin xcos x= sin 2x 常用公式 辅助角公式 asin±bcos x=a+sinc±p),tanp=a ●三角恒等变换在三角函数中的应用 f(x)=asin wx bsin wx+k 化为正弦型函数 f(x)=asin(wx+a)cos(wx+B) f(x)=asin(@x+a)+bcos(wx+p) f(x)=asin'x +bsin x+k,f(x)=acos'x +bcosx+k 化为二次函数 f(x)=asin xcos x+b(sinx+cosx)+k ●三角恒等变换在解三角形中的应用 边化角 利用正弦定理， sinA=sin B=sinc将边长转化为角的正弦值 化为同角 利用三角形内角的关系确定角的范围并化为同角三角函数， 三角函数 求得三角函数值域 黑白题·上分秘籍09 实战演练 题组1三角恒等变换与三角函数综合 5.热(2025·江西南昌高一期中)已知函数 1.已知定义域为R的函数f(x)是奇函 f(x)=√1+sinx+√1-sinx-2cosx,x∈ 数，且在[0，+∞)上单调递增，若对任意 的0∈R,fsin0+cos0+2sin0cos0)+ 【,2],则)的最大值为 f(1-m)≥0恒成立，则实数m的取值范围是 6.禁(2025·山东临沂高一期末)已知函数 f(x)=sin 2xcos -2sin'xsin o+sin +b. A.（-0,2+√2] B.(-∞，-3] (1)求f(x)的最小正周期； 3 c(,4] D.(-0,2-√2] (2)若f(x)为偶函数，且0<9<)m,对于任 2.装（多选）(2025·江苏常州高一月考)已 意的x∈D,牙]，至少存在4个整数6， 知函数f(x)=cos4x+sinx,则下列说法正确 使f(x)1<m恒成立，求m的取值范围； 的是 (3)若f(x)的最大值为2，对任意的x1∈ A.π是f(x)的一个最小正周期 B.f(x)是偶函数 [o,2],存在e【-2,4],使等式 C.x)在o,牙)上单调递减 f)= 与如3西1成立，求e 1 D.直线x=8是八)图象的一条对称轴 的取值范围. 3.#(2025·江西师大附中高一期中)已知 x)=2sin(ox+写）+(a-1))sin(a>0,o> 0)在(0，T)上存在唯一实数xo使f(xo)= -√3，又p(x)=fx)-23,对任意的x1,x2 均有p(x)≤-p(x2)成立，则实数ω的取值 范围是 ( A.1<0≤3 B.1∈ω≤3 5. 3 C.- D 6<w≤2 4.蓝已知函数x)=as(写-ax）+ sin (o石+2osg%+n的最大值为2，若 八)在区间0，平]上有2个零点，则实数@ 的取值范围是 10 数学1必修第二册·BS 题组2三角恒等变换与解三角形综合 11.(2025·江苏南京高一期末)如图，将 7.*★(2025·山西太原高一期末)在△ABC 一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 C,C1重合，D,E为直径AB上两点，且 ∠ECD=30°，对折后沿直线DC,EC裁剪， 3sin 3tcos3 =2cosC,2b=√6c,则cosC 展开得到四边形CEC,D,若该圆形直径 的值为 A.30 为2，AC=2AB,则当四边形CEC,D的面积 B.6 6 6 最小时，DE= C.⑩ 对折 4 8.#(2025·重庆万州区高一月考)在锐角 △ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, 12.禁(2025·江西赣州高一月考)在△ABC 6c,已知c=22,C=年，则40边上的高的 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c 取值范围是 (I)若LACB=胥，∠ACB的平分线交AB于 A.(0,2+√2] B.(2,2+√2] 点D,且a+6= 4b,求CD的值； C.(2√2,2+√2] (2)若角A,B,C满足sinA+sin2B+sinC= D.（4,3+2√2] 2(cos2A+cos2B+cos2C),且a>b>c,证 明：该三角形是直角三角形 9.(多选)(2025·福建福州高一期末)已 知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,AC边上的高为h,若h=c-a,b2-a2=ac, 则 () 1 1 sin A sin C1 A B.B=2A C.a+c=2h D.tan B=2cos A 10.熱(2025·江西宜春高一期末)在△ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a≤ b≤c,若tanA,tanB,tanC均为正整数， 则sin Asin Bsin C的值为 ( 7 A.10 B.72 10 3 3√2 C.5 D 5 黑白题·上分秘籍11LA1OM=牙，所以有AM=0Msin牙=2.又MB,=Mr=1,所以 IA B:1=AM-MB=2V2-1. 01 13.D解析：因为1a+b1=21a-b1,两边平方得a2+b2+2a·b=4(a2+ 62-2ab),整理得ab=高（1a2+b1P).oas(a,b)=司 a÷2号当组汉当1a16时等与成立。 所a(a-(侣了-子放na的最大值为子 4 14.C解析：因为(a-b)1b,所以(a-b)·b=0,a·b=b2,cos(a,b)= a·bb21b11 lalblallbl lal lal v2P-474+8 又因为2t2-42t+8= 2[(-2)2+21≥2[(-2)2+2]=4，所以0cm(a,b)≤2，所 以a,b的夹角的最小值为 3 15.D解析：如图，设1A1=c,1AC1=b,A与Ad 的夹角∠BAC=&,因为B励=2A店，所以Ad=A∈ AB+BD=AB+2AB=3AB. 由于E,F分别为线段AC,AD的中点，则A龙= 2花，市：2动：2成因为，6，F三点 共线，所以存在实数A,使得店=A+(1-以矿分花，3心流 2 又因为8，G,C三点共线所以宁3》-1将得4宁则。 }花+应那么心-恋-动（花+应3脑花 子应，成-花应 由于Dc1BC,所以成.成=（花-}·（花-）- 衣号成.应应.花+号号+-e: cos a=0. 1b9c 由此可得csa=4 ≥2 +4cb2+9c2 10bc 20号当且仅当=9e,即6=3(6>0o0)时，等号成立，此 时d=3,LBAC取得最小值号 16.-1解析：0元=-(0i+0成)，故101-10i1≤10元1=10i+01≤ 10A1+10B1.因为10B1+10元1=4，所以10元1=4-10B1.又10A1=2, 所以10品1-2≤4-101≤2+101，解得1≤10品1≤3.不妨设 101=t,te[1,3],0i,0B夹角为0，则10元1=4-t,0元=-(0i+ 0),两边平方得0衣=0i2+210A1·101cos0+02,即(4-t)2= 4+2x2os0+,解得cos0=3-2,因为：E[1,3],所以cs0= 厂3-2∈[-1,1川，故o,可夹角的余弦的最小值为-山. 必修第二册·BS 上分专题04三角恒等变换的综合应用 1.C解析：因为fx)是在R上的奇函数，且在[0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在(-，0)上单调递增，即(x)在R上单调递增，由 f(sin0+cos0+2sin0cos0）+f(1-m)≥0，得f(sin0+cos0+ 2 sin 0cos8)≥-f(1-m)=f(m-1),所以sin0+cos6+2 sin Ocos6≥m- 1,令=n0tes0=万n(et）e[-万，]，则2anas0=r- 1,所以42-1≥m-1,即a≤+因为y=2+1=(+分）广号在 [-2,)上单调递减，在（分巨]上单调道增，所以当 时，y=P+:取得最小值-子因为m≤2+1恒成立，所以 2 m≤-4 2.BC解析：f(x)=cos4x+sin2x=cos2x(cos2x)+sin2x=（1- sin2x)(1-sin2x)+sin2x 1-2sin2x+sinx+sin2x=sinx-sin2x+1= 3a(ax-+1=-m2m41-o2x+1-1-, 2 1冬，所以T=行号是)的最小正周期，则不是 8 f(x)的一个最小正周期，A选项错误函数f(x)的定义域为R,关于 原点对称，所以f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=cos4x+(-sinx)2= cosx+sin2x=f(x),所以fx)是偶函数，B选项正确.已知f代x)= s4红+令，当e(0,子）时，4e(0,),根据复合函数单调性 1 知，)令红骨在(o,子）上单调运减.C港项正确由于 到s+所以=红，eZ,即直线行kez为e) 图象的对称轴，所以直线=一号不是八)图象的一条对称辅，D 选项错误， 3.A解折：e到=2a(+于）4(a-1）inxa血3 公血(+p),其中mp=怎因为对任意的，均有 (1)≤-p(x2)成立，所以fx1)+f(2)≤43成立，所以x)的最 大值为23，所以√a2+3=23.又因为a>0,所以a=3,所以f(x)= 2n(or+君)因为0<，所以君<ar+吾<wm+石因为) 在(0，m)上存在唯一实数0使得f(0)=-5,所以inux+ 石）所以g+≤g所以1w 4[学) 解折：=m(行-）+血(x-石) +） 1 +o+a=v5mux+csur+a+1=2sin(or+)+a+1,所以 当血(0x+石）=1时，到取到最大值2a+1=2,解得a=-1,所 以2(r+)令+,因为e[0,]所以e [后紧石]因为R)在区间[0]上有2个零点，即 )=2:在区间[石]小上有2个零点，所以+ [2m,3π)，解得w [学) 黑白题108 5万解析：因为xe[子号]，则受e【子牙]，则0≤受+ 血m2a-am(台+)a(告)川 2a=万m(3+）m(3）2s=(血 m）(血-m子）2(as2）小-4 -4+2+2在区间[三，小上单调递减，放当：=受时，函数y +22取最大值，即=x宁2号2=，故质数在 2 [子，牙]小上的最大值为迈 6.解：(1)fx）=sin2 xcos p-2sin2 xsin+sinp+b=sin2 xcos p+ (-2sin2x+1)sin o+b=sin 2xcos +cos 2xsin +b=sin(2x+)+b, f八x)的最小正周期T=2π (2②)=血(2+p)+6为偶函数，且0<e<号，故o=受 f(x)=cos 2x+b. 当e[0,号]时，2ze[0,分]b≤)=s2z+6≤1+b,若 人l诚立，即-n<ca相议立，所以n故-m b<m-1. 至少存在4个整数b,故m-1-(-m)>3,即m>2, 当m>2时，-m<-2,m-1>1,此时b至少有-2，-1,0,1这4个解， 故m的取值范围是(2，+). (3)f(x)=sin(2x+p)+b的最大值为2，故b=1,即f(x)=sin(2x+ j+1,令g()=子血g-分血3k+1,因为mx=血(2+) sin 2xcos x+cos 2xsin x=2sin x(1-sin2x)+(1-2sin2x)sin x=3sin x- 4故加子如子m1-子 12m1e葡子，牙]故15血号则-15g6) 受1对任意的e[0,受]，存在e【三晋]，使等式 3 八x)=2in女2in32+1成立，所以 {)e[0号]}s[-1,空1小故-1sm(2+p) 1号1，即-2n(2xp)e号 ≥3项+2km, 当e[0,受]时，24tpe[e,atp],故 解得 3+2km≤p≤π+2km(keZ. 4 故0的取值范围是[平+2m,平+2m]ez)。 参考答案 7,D解折：由题意得2mG=2(ms+血号血） 2=(于4）即mc=(子)】 因为0<A<T,0<C<T,则0< -子<行，且会弦函数y=0m在 0,)上单调递减，所以C=石了，即A+3C三m 又A+3C=T=A+B+C,所以B=2C.又2b=√6c,所以2sinB=√6sinC, 所以2sin2C=4 sin Ccos C=√6sinC. 又0<C<T,所以sinC≠0，所以cosC= 6 4 行 8,C解析：因为△ABC是锐角三角形，所以 0AK2' 解得 3-A2' 0< T 由正弦定理可得a c22 sin A sin B sin C√2 =4,a=4sin A,b=4sin B. 2 1 1 设AB边上的高为h,由S= 2c…h= 2bc=4红b得三力 2c 4如A84如Am(F小， 所以h=4sinA (停w4+号m4-2adm42asA 2 2in2A+22x1-c24-2+2m2A-万cos2A=2+ 2 2(24）月 由牙4受得<24可得m(24子）（号]所 以h=V2+2sin 244）e(25,2*], 即AB边上的高的取值范围是(22,2+2]. 9.ABD解析：对于A,h=csin A,由h=c-a得csin A=c-a,由正弦定理 得n CinA=sinC-mA,而血Csin A0,因此A'C1,A正 确；对于B,由b2-a2=ac及正弦定理得sin2B-sin2A=sin Asin C,即 1-cos 2B 1-cos 24=sin Asin C.co[BA)-(B)]- 2 2 cos (B+A)+(B-A)]=2sin Asin C,2sin (A+B)sin (B-A)= 2 sin Asin(A+B).又sin(A+B)>0,因此sin(B-A)=sinA>0.又0<B<T, 则B-A=A,B=2A,B正确；对于C,若a+c=2h,则c=3a,由正弦定理 得sinC=3sinA,由选项B知，3sinA=sin3A=sin2 Acos A+ cos2 Asin A=(4cos2A-1)sinA,而sinA>0,解得cos2A=1,即sinA=0, 矛盾，C错误；对于D,由选项A知，sinC(1-sinA)=sinA,而 sinC=sin3A=sinA(4cos2A-1),则(3-4sin2A)(1-sinA)=1,整理得 （24-1(2am24-n4-2)=0,面2m4<n4+2,因此snA=号 又021<，则A石8=号m8=月=2aseA,D正确 10.C解析：在△ABC中，a≤b≤c,所以A≤B≤C,所以0°<A≤60°.因 为tan60°=√3，y=tanx在(0°，90°)上单调递增，tanA,tanB,tanC 均为正整数，所以A,B,C均为锐角，所以tanA≤tanB≤tanC, tanA=1,即A=45°，所以B+C=135°，所以B≤67.5°.又tan135°= 2tan67.5° =-1,即tan267.5o-2tan67.5°-1=0，解得tan67.5°=1+ 1-tan267.5o √2或tan67.5°=1-√2（舍去），所以1≤tanB<1+2,若tanB=1, 则tanA=tanB=1,则A=B=45°，此时C=90°，显然不符合题意，所 黑白题109 ,0sB=5 以amB≠1，则mB=2,所以nB=25 ，此时 tanC=-tan(A+B)=3,符合题意，所以sinC=sin(A+B)= 血8A恤8=竖x5,号x5-,所以 5 sin Asin Bsin C53103 2510-5 1 1.25-3解析：如图，依题意，4C=2B=1,∠CD=60,设 LCDA=0(60°≤0<120)，在△CDA中，由正弦定理得L。 sin 6 CD 3在△CBA中，由正弦定理得(0-309) 1 sn60,则cD-2n √ C60则cBe2aa0309Sa02aD·CEsin30p三号 5 3 3 2sin0`2sin(0-30) 16sin9月 3 3 8(3sin20-sin 0cos 0)43-4(cos 20+sin 20) 3 一.由60°≤0<120°，得180°≤20+60°<300°，则 4W3-8sin(20+60 当20+60°=270，即0=105°时，(Sacm)m-45+ 3 ，而四边形 CECD的面积ScEcD=2S△cED,因此当0=105°时，四边形CEC,D 的面积取得最小值，此时LCED=∠CDE=75°，CD=CB=2n750, √3 所以DE=2CEcs75°= 2W3c0s75° 2W5c0s275° 2sin75° =2sin75°c0s75° 5(1+c0s150)-=2w5-3. sin150° B 12.(1)解：如图，因为C=号，且CD为∠4CB的平分线，所以∠ACD= 由Sacw=SacD+Sam得子hinC=号cD,bn号+ c0am号所u5bc0(arb 4b,所以c0=3a 因为a+h= =3×4=4 a+b √3 A B (2)证明：由于sin2A+sin2B+sin2C=2(cos2A+cos2B+cos2C),因此 1-cos2A+1-cos2B+1-cos2C =2(cos2A +cos2B+cos2C), 3(cos2A+cos2B+Cos2C)=3,2(cos2A+cos2B+Cos2C)=2, 以cos2A+c0s2B+2c0s2C=0,所以2c0s(A+B)cos(A-B)+2cos2C= 0,E-2cos Ccos(A-B)+2cos2C=0,cos C[cos C-cos(A-B)]=0, 故cosC=0或cosC=cos(A-B),由a>b>c,可得T>A>B>C>0,所 以r>A-B>0,m>C>0,所以C=)或A-B=C由A>B>C可得C 受，故4=B4C,即A=受，因此该三角形为直角三角形 必修第二册·BS 上分专题05计算几何体体积的常用方法 1.B解析：如图所示，因为在平行六面体ABCD-A'BCD'中，AC=6,所 以A0=】AC=3.因为AB=AD=25,所以B0=√AB2-A02= 2 √(25)2-32=√3.因为BD=2B0=25, D 则SABCD= xACXBD=1 ×6×23= 2 63.因为A'O⊥平面ABCD,所以A'O= B √/(M)2-402=√（√13）2-32=2，该平 行六面体的体积V=SOABCD×A'0=123. 2.D解析：因为圆锥的底面半径为2dm,母线长为25dm,所以高为 √(25)2-22=4(dm).当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面 的高度恰好为圆锥的高的？，所以液面的半径为1血，此时液体的 体积为V=号(12+241x2)×2=(d加：当圆维的顶点在桌面 上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，设圆锥的 4=2，即h=2,此时液体的体积 h 底面半径为rdm,高为hdm,则有 为V=骨h,号：得=万，所以6=2方 3.D解析：因为AM1⊥底面ABC,AA,C平面ACC,A1,所以平面 ACC1A1⊥底面ABC,所以∠C,CA即为CC1与底面ABC所成的角，为 45°.因为A1C1=AA1=1,所以AC=1+1=2.根据棱台的概念，可知 AC=A8,且AB=2,所以AB1=2因为AB1AC,所以 2 2,所以 △4BC为直角三角形，所以95×1x2:见 ,%46日6兮号1- 4.CD解析：如图，连接BD,设BD∩AC=G,连接EG∩DF=H,分别延 长EG,FB交于点I,则根据题意可得G为DB的中点，又FB∥ED,从 而可得DE=B肌叉DE=2BP,所以别==子，所以=门 FH FI 识号所以3职=2，所以A常误，C正角； Y_V三校锥B-AcD_ED 又5ao-sac,且D=2B,所以202，所 以V1=2V2.又3V1=2V3,所以V3=3V2,所以B错误，D正确. D C H A B (第4题) (第5题) 5.C解析：如图，把几何体补全为长方体，则A,E=A,日=】 1,M1=√3，所以该几何体体积为V长方体4BCD-A1C1 4V三棱能-41m=2×2×,√3-4× x2x1x1xw3=10w3 11 31 6.8-解析：根据题意可得内切圆半径为1，两圆锥的体积都为八三 ×mx12x2=号，则其公共部分为%=2×号×m× 3㎡h=3 黑白题110