上分专题02 用向量法研究三角形的性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

专题课堂@ 上分专题02用向量法研究三角形的性质 命题密钥 三角形“四心”指的是三角形的重心、内心、外心和垂心，用平面向量的工具性作用，求解 “四心”问题，减少了繁琐的推理论证.在高考中，三角形“四心”问题较少直接考查，更多地作 为题目的某一个步骤出现， 考点觉醒 。基础知识 重心 三条中线的交点，重心将中线划分为2：1的两条线段 内心 内角平分线的交点（三角形内切圆圆心)，内心到 三角形各边距离相等 三角形“四心”的 定义及性质 外心 各边的垂直平分线的交点（三角形外接圆圆心)， 外心到三角形各顶点距离相等 垂心 三条高线的交点 。“四心”的重要性质及推论 重要性质：已知0为△ABC内任意一点，则有SAc·OA+SsOC·OB+SAAOR·OC=0. 若点0为重心 0A+0B+0C=0 若点O为内心 a·OA+b·0B+c·0C=0 推论 若点0为外心 sin2A.0A+sin2B·03+sin2C.0元=0 若点0为垂心 tanA·OA+tanB·OB+tanC·O元=0 ·拓展内容 若点0为重心 P0=(PA+P+P元) 常见向 量表示 若点0为外心 A6A店=AB 0.0B=0B.0元=0元.0A 若点0为垂心 0A+BC=o2+c42=0心+AB 04数学1必修第二册·BS 实战演练 题组1三角形的中线与重心 题组3 三角形的外心 1.*(2025·江苏南通高一月考)在△ABC 7.★*(2025·山东临沂高一月考)在△ABC 中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重 中，设AC-AB=2Ai·BC,那么动点M的 心，则0A+0B= ( 轨迹必通过△ABC的 () A.CO B.OD A.垂心 B.内心 C.2C0 D.2D0 C.外心 D.重心 2.整(2024·广东广州高一期中)在△ABC 8.#(2025·江苏常州高一期中)设0是 中，∠A=120°，AB·AC=-3,点G是△ABC △ABC的外心，点D为AC的中点，满足 的重心，则IAG1的最小值是 ( D0=mA店-3mAC,m∈R,若1BC1=2,则 c哥 0.3 △ABC面积的最大值为 3.熱(2025·浙江丽水高一期末)过△ABC A.2 B.4 重心G的直线1与边AB,AC交于点P,Q,且 C.42 D.8 AP=入AB(0<入<1)，AQ=uAC,直线1将 题组4三角形的高线与垂心 △ABC分成两部分，分别为△APQ和四边 9.*(2025·辽宁沈阳高一期末)在△ABC 形PQCB,其对应的面积依次记为S,和S2, 所在平面内一点P满足：PA·P店=P· 的最大值为 PC=PB.PC,则点P是△ABC的() A.重心 B.垂心 题组2三角形的角平分线与内心 C.外心 D.内心 4.*(2025·河南新乡高一月考)若△ABC 10.整(2025·江苏南京高一月考)如图， 的三边为a,b,c,有aOA+b0B+c0C=0,则 △AOB为等腰直角三角形，OA=1,OC为斜 O是△ABC的 边AB上的高，点P在射线OC上，则A· A.外心 B.内心 OP的最小值为 C.重心 D.垂心 5.(2025·河北承德高一月考)在△ABC 中，∠BAC为直角，∠BAC的平分线AD交 BC于点D,且有Ad=4A配+：A店若AB=8, 则AD= A.-1 B. 6.(2025·云南昆明高一期中)在△ABC 中，AB=1,BC=2,CA=√3，I是△ABC的内 4 D.- 2 心，则向量A1在向量BA上的投影向量 11.禁设H是△ABC的垂心，且4HA+5HB+ 为 6HC=0,则cos∠AHB= 黑白题·上分秘籍05半轴的第五个零点侧7，=4行且=5，此时无解所以要不 是函数)=血的零点，誓是函数)=血“正半销的第四个零 点，得经，=4解得@，=3，所以a1=(号）这5 (2138 9.解：(1)令函数(x)的最小正周期为T,由(x)图象上相邻的最高点 与最质点的第离为4，和（侣）(2)=，商=5，部得74. 即行=4，解得@=子又)的图象关于点（号0）对称，即 甘pac2义1el≤号则=0g=晋所以a=子 φ6 (2)由()知m(受+)由-+2m≤号+≤ 2w7十一++， 号曲子宁+君子2数在.]上 2 两道蜡，两数值从指大到：在（号，2]上单调递波，丽数值以 尽减小到尽. ,而方程x)-m=0台x)=m,依题意，函数y=x) 在(0.2]上的图象与直线y=m有两个公共点，则cm<5,所以m 的取值周是（后）】 10.解：(1)根据题意，函数f代x)的周期为T=π 由T=2石u=2,所以x)=2in(2x+石）】 6/ ]时，2后[后g]所以(2+） [1]所以2n(2x+g）=[-1,2,即所求隔数在e[0, 受]上的值装为-1,2 (2)由题意得s)=(+石)-2如[2(+6）+6] 2sin（2x+7）=2os2x,所以A(c)=-2aos22x+acms2x 因为当x=()）时，2xe(号号）所以02a1 由h(x)≤1曰-2cos22x+aeos2x≤1=a≤c0s2 +2cos 2x. 因为1 2m2≥2（当=±号时取=），所以a≤22，所 cos 2x' 以a的最大值为2√2. )当e]时的值玻为-1,2 设函数h(x)=-2cos22x+acos2x的值域为B,由题意得ACB. 设cos2x=t,则te[-1,1],则函数y(t)=-2+at,te[-1,1],对 称轴为直线1=4。 所以(-10=-2a,0=-2a,y(子）=g 参考答案 由。≥2解得a≤-4或a≥4 a 当a≤-4时，4≤-1，所以函数y()在[-1,1]上单调递减，所以 B=「-2ta,-2-a],由{2-0≥2解得a≤-4； 当a≥4时，4≥1，所以函数y(0)在[-1,1]上单调递增，所以B= 【-242a1.到302得≥4 综上，a的取值范围为(-0，-4]U[4,+). 上分专题02用向量法研究三角形的性质 1.A解析：如图，连接CD,因为点O为△ABC的重心，则O为CD的三 等分点，且C0=20D,所以0A+0B=2OD=C0 B 2.B解析：设BC的中点为D,心点G是△ABC的重心，Ad=子- 子x=号动，再令1=6=6，侧应.元 s120=-3c=62=g(2+2店.花+1) 号2+6-6)≥g(2k-6)=号≥5当且仅当6=6 时取等号.故选B. 3.5解析：直线1过△ABC的重心G,与边AB,AC交于点P,Q,且 4 产1应0.动应.则常六是片如图准接4c 并延长交BC于D,过B作BE∥AD,过C作CF∥AD,分别交直线I于 E,F.根据重心的性质可知AG=2GD,不妨设AG=2,GD=1,由 AC得AAE,-华1之2 CF-CQCF_I-ZCF-2-22 CF∥AG△A0cn△CQF,AGO92- 2-22-2Ψ=2⊙ :DG是梯形BEFC的中位线BE+CF=2DGA+ 1 1 =3根据三角形面积公式可得S△4c-S,+S:。 SAAPQ 1 AB·AC·sin∠BAC 2 ,根据基本不等式入+女 1+1=3≥ 1 4 2 AP·AQ·sin∠BAC 11 2√ ,即1≤ 4 .当且仅当A=4=3 +52= 时取等号，S ≤9 5 S:的最大值为4 5 E P G B (第3题) (第4题) 4.B解析：在AB,4C上分别取点D,E,使得AD=,A配=，则 |Ai1=A正1=1.以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图，则四边 形ADFE是菱形，面A+证-4B+C,AP为乙B1C的平分线 黑白题105 aOi+b0+c0元=0，.a.Oi+b.(0i+A)+e·(0i+A心)=0，即 (a+b+e)成+b应+e花=0.ò=+ai花- a+b+c 点座)正A0三美线0在上件 平分线上.同理可得0在其他两角的平分线上，：.O是△ABC的 内心 5.62解析：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于 点P,则市=花+！应=正+成，所以花=}花即花=武。 正应因此瓷号0把因为-8所以C-4.A 子.因此=所以=子子应'-（衣+ 应）小（片d子）品廊-2 4 16 16 由此得AD=6√2. B (第5题) (第6题) 6.3、 2°解析：如图所示，以A为坐标原点，A应，花所在的方向为 x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设△ABC的内切圆的半径为r,则2(1+2+√5)=2×1x√5，解得 400.a1.0,）i-( ）厨(10向在向量后上的数影一.厨。 IBAI2 1-3 2·1-5成 1 2 7.C解析：设BC的中点是0，A衣-A=(A元+A应)·(A元-A)= 2Ad.B元=2A成.B元，即(Ad-A)·B武=Md.B元=0，所以M币1 BC,所以动点M在线段BC的中垂线上，故动点M的轨迹必通过 △ABC的外心. 8.B解析：如图，因为O是△ABC的外心，点D 为AC的中点，所以DO⊥AC.设AC边上的高为 BH,则BH∥OD,设B=入Oi,则Bi=-AmA+ 子amd=Amin(屁-=a威 子m武又A,.C三点英线，放号Am+ 3 子m=1,即m=1,所以丽=-破+子花，1成1 3 √（√证6 6 21 故sc=士花1·1成1=号花1·√46 gV64-=名(0-32)432，因此当2= 32,即1A衣=42时，Sa4c的最大值为8×32=4 9.B解析：因为P.P店=P.P元，则P·P-P.P元=0，所以p· (P-P元)=0，所以P·C=0,所以PA⊥CB,同理可得PB1AC, PC⊥AB,故点P是△ABC的垂心. 必修第二册·BS 10.B解析：由4市=0-0i,设101=1,1≥0，则A.0币=0-0. 亦-1am号=-号=(）令所以当=时. 市.币取得的最小值为8 1 11.②2 11 解析：H是△ABC的垂心，瓜⊥B配，.B武=H· (元-)=0..成=屁.同理可得丽.元=成.，故 成.丽=丽.元=元.4+5丽+6屁=0,4+ 5瓜应6瓜.成=0成.应=普同理可求号. 4H2 成=-前2s∠AB= 成.1 ,cos∠AHB= IHBIIHAI IHBIIHAI 时子 td1c0s上-11，即os∠AhB=V22 11 上分专题3平面向量中的最值或取值范围问题 1.D解析：B配=xB+yB元=xB+4yB,由A,E,D三点共线可得x+ 4y=1,且20,20，所以+2=(+2）（x+4y)=9+y+2≥ ”xyxy x y 2x0+4当且仅当下，即x=7一=2时 9+2xy x Y 14 等号成立. M D D C 0 (第1题) (第2题) 2D解析：如图，由于0亦。号可i+成.在01的反向延长线上取点 C,使得0C=301,过C作CE/0B,分别交0W和AB的延长线于点 D,E则cD=号0B,CE=子0B,要使得点P搭在指定区城内，则点P 应落在DB上当点P在点D处时，亦。号可+号成，当点P在点 B处时，成：号i:手成，所以A的取值范周是（行，专） 3.A解析：设店访花花 Ai,3,广 忘4，期1=1.1=1，且》 ∠BAC=60°，所以(i+j)2=1+1+2×1×1×c0s60°=3=A㎡，即A7 号破+！花因为而=破+号花市-市：+花-动 应花.所以市花兮+花-(+兮) 花.由等和线性质得0+了解得号4Kd 1 4.3 解折：如图，延长40交BC于点D,设d=k,则=公+ 冬花因为D在BC上，所以公+公=1，即k=m+n,所以k的最大值 为子设△ABC外接圆的半径为R,所以=心：，R -,当k最 IADI R+I0DI 大，即0D最小，OD1BC时，k取最大值，所以R, R+0ii4,郎0】 R 3,此时△ABC是等腰三角形，∠BOD=2∠BOC=∠A,所以 黑白题106