上分专题01 三角函数图象与性质综合问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

上分专题01三角函数图象与性质综合问题 命题密钥 三角函数在高一数学的学习中占有较大的比重，是高一下学期期中考试的重点内容，在 高考中也属于必考的考点 这一内容在选择题与填空题中主要考查三角函数的定义、图象变换、单调性、奇偶性、周 期性、对称性及最值等基础知识，如2025年全国一卷的第4题，考查了正切型函数对称中心 的求解.而在解答题中，除了对三角函数自身性质的考查，也可能会结合实际问题或与其他数 学知识甚至更高年级的数学知识综合考查，如2025年全国一卷第19题. 考点觉醒 ●正弦型函数的图象和性质 定义域 R 值域 [-A+b,A+b] 增区间：0x+0∈2km-受，2km+罗 (k∈Z) 正弦型函数 的性质判断 单调区间 减区间：ωx+p∈ 2kT+7,2kT+变k∈Z 对称轴 直线x=xo,其中ωx+0=kT+牙k∈Z) 对称中心 (xo,b),其中ωx+0=kπk∈Z) 值域为[m,n] -A+b=m,A+b=n 根据正弦型函数 单调增区间为[m,n ωm+0,n+pg 2km-,2km+罗 k∈Z) 的性质求参 对称轴为直线x=a oa+0=km+5k∈Z 对称中心为(a,b) wa+p=kT(k∈Z) ·正弦型函数的图象变换 画出y=sinx的图象 步骤1 画出y=sinx的图象 向左平移p个单位长度 横坐标变为原来的记倍 得到y=sinc+p)的图象 步骤2 得到y=sin wx的图象 横坐标变为原来的记倍 向左平移 品个单位长度 得到y=sin(wx+p)的图象 步骤3 得到y=sin(wx+p)的图象 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 得到y=Asin(wx+p)的图象 步骤4 得到y=Asin(wx+p)的图象 黑白题·上分秘籍01 实战演练 1.*(2025·江西南昌高一月考)已知函数4.锌(2025·河南许昌高一期末)若函数 f(x)=2sin(x+p)(0<p<π)是偶函数 fx)=sin2x与g(x)=sim(ax年)(0<w<7, 则2cos(2p+写)等于 ( w∈Z)有相同的对称轴，则ω的所有可能取 A.-√3 B.-1 值的个数为 C.3 D.1 A.1 B.2 2.*(多选)(2025·河南南阳高一月考)已 C.3 D.4 (o>0,p<g) 5.#(2025·湖南衡阳高一期末)设函数 知函数f(x)=Atan(wx+p） 的部分图象如图所示，)=0，则下列说 f)=sm(2x+牙)在区间[a,a+罗]上的最 大值为M,最小值为m,则M-m的最小值为 法正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π 2 1 B.T A. 2 2 4 C.12 D②1 6.(2025·河北承德高一期中)已知函数 D.函数f(x)在 4,4 上单调递增 fx)=2sin(or石)w>0)在(0，写)上存在 最值，且在 ()上单调，则ω的取值范 5π4 5π 围是 () Ao,引 B,] (第2题) (第8题) 3.★(2025·湖南株洲高一期末)若函数 c3] f(x)=Acos(ox+p)(A>0,ω>0，-T<p<T)的 7,装已知函数y=sin 图象上有两个相邻顶点M(-3,√3)，N(1, 2x(a>0)在区间 -√3).将函数f(x)的图象沿x轴向左平移 (0,1)内至少取得两次最小值，且至多取得 三次最大值，则a的取值范围是 1个单位长度，再沿y轴向上平移√3个单位 8.熱(2025·天津一中高一期末)已知ω1> 长度后得g(x),则g )为 0,w2>0,f(x）=2sinw1 xcos w2x,g(x）= 2cosω2x,函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图 A.√3 B.、③ 所示，其中是这两个函数共同的零点，灯是 C. 3 2 D.23 其中一个函数的零点，则ωg= 02■数学1必修第二册·BS 9.(2025·江苏南通高一月考)已知函数 10.整(2025·河南南阳高一月考)已知函数 f代x)=3m(ox+p)(@>0,lg1≤2)，函数 x)=2an(o+君)(o>0)图象上两条相 f)的图象关于点(3,0)对称，且函数 邻的对称轴之间的距离为，将函数) f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的 的图象向左平移”个单位长度，得到函数 距离为4 (1)求w,p的值； ()的图象，设五(x)=- 2[g(x)]2+ (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若方程f(x)-m=0在x∈(0,2]有两个 2g(x). 根，求m的取值范围. (1)求函数fx)在x∈0，？]上的值域： (2)若h()≤1对任意的x∈（牙，牙）恒 成立，求a的最大值； (3)若任取∈[02]，总存在，使 fx1)=h(x2)成立，求a的取值范围. 黑白题·上分秘籍03上分秘籍 上分专题01三角函数图象与性质综合问题 1.B解析：因为函数f(x)=2sin(x+p)(0<p<π)是偶函数，所以 p=ka+7,kez,2m(2at+写）-2as子-1 2C解析：对于A,由题可知，函数)的最小正周期T=2x( 餐)受，放A错误：对于B,由。=牙=日-2，所以)= m(2sp).因为r(得)m(子+e）=0,则要+p=n(e Z,则e=如7(keZ).因为1p1<受则p=,故B正确：对于 C,)=Aam(2x+开)又0)=Aam年=1，所以A=1,所以 )=m(2x+子），所以（云）=m(品+子）=m石 气放c正确：对于D,由<2得<2x+<,而2x+ 4 牙-受，即严时(）=m(受)设有意义，故D错误 3.C解析：函数f(x)=Acos(ox+p)的图象上有两个相邻顶点 M(-3,3),N(1,-√3)，所以A=3,最高点坐标为M(-3,5),最低 点坐标为N1,-万)，所以函数的周期为2π=2x(1+3)=8,所以0= 子又因为函数过点M(-3,),可得店=(+p）,所以 m(3p）1,所以o=2m,keZ,又-0<，所以e 所以函数)的解析式为到=5=（牙+子），将）的 图象沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长 度后得影()=m[子(+1)]+5=-3m子+，所以 (台）-5（号）w号5= 2 4,C解析：函数)=血2x的对称轴为直线x=+不(ke2),函 2 数g(=n气r牙）的对称轴为直线x+（eZ.因为函 数)=如2x与g)n(ar）(0<ac7,@6Z)有相同的对 系轴，则宁-eZ化为o(2+1=4+3e Z).因为等式右边是奇数，所以w不可能为偶数因为0<w<7,w∈Z 所以ω的可能取值为1,3,5，当k=1,k'=0时，ω=1；当k=2,k'=3 时，w=3;当k=1,k'=3时，0=5.综上，w的所有可能取值的个数为3. 5B餐折：函数血(2+号)中，由2x+子号，eZ,解 T kTT 得x=日+∑，ke乙，因此函数八)图象的对称轴为直线x=g+ ?k€乙，周期为m,由正弦函数图象性质知，要使)在区间 [a,a+号]上的最大值M与最小值m的差最小，即当且仅当图象 上的点(aa),（a+写，f(a+牙)）关于)图象的对称轴对 必修第二册·BS 参考答案 称，由a的任意性及函数f代x)的周期性，不妨取f代x)图象的对称轴 直线=智和=誓当对称袖为直线=受时，M=寸（行）-1， 8 8 -86 石宁Mm=分：当对称轴为直线时m() 1 -1a8a号8(） (）(君)子=子所以m的最小为时 6C解桥：因为o>0,当0<号时，石<名<智名因为函数 )在(，号）上有在最位，则写石>受解得>2当写< 时，罗石x石<0石因为函数)在（号）上单润测 (g石w石）s(a-受，m+受）kez).所以 36≥m-2其中keZ,解得多k之≤0≤k+子(6eZ).园 w- 2 以号≤号长子又因为0,则01,2当-0 时，0w≤号当k1时，1≤@≤号：当=2时，号≤w≤弩又因为 2 5 5 2,所以心的取做宽[各号] 7.(7,13] 解析：由题意得函数)=sim(a>0)在区间(0,1)内至少 取得两次最小值，且至多取得三次最大值，令1一受，则题目转化为 复合函数y=如：在区间(0，）内至少取得两次最小值且至多取 得三次最大值，如图所示，函数7=血：在区间(Q,受)内至少取得 两次最小值，则受，函数了=血在区向(0，受）内至多取得三 2>2 次最大值，则受≤13，解得7飞a≤B 2 21 1012r 8 &.125解析：由八)=2i血1*cosu*,g(x)=2osu2,可知 f(年）f(）=0,g()=0,由题图可如是函数y= g✉=2sg正半轴的第-个零点，得，=受解得=子 2 若是函数y=血1正半销的第四个学点，行是函数y=n“,正 黑白题104 半轴的第五个零点，则=4且，=5，此时无解，所以不 是函数y=血仙的零点，智是函数y=血“正半销的第四个零 点角货=，展=3所以-（任）广-总 9.解：(1)令函数f(x)的最小正周期为T,由f(x)图象上相邻的最高点 与最板数的E离为4得（仔）广(24雨后某得74. 即日=4，解得。=受又九)的图象关于点（子，0）对称，即 子号p=keZ义1e1≤受则k=0,e=石，所以w=受 96 (2由()知)=月sm(2+后），由-受+2m≤受+看≤ +2k,6eZ,解得子4≤：≤号4，eZ,所以丽致e)的单 钢送指区间为[子+4，子+4]小(ez。 6 曲<+8≤7得号2，函数)在(0，]上 调遥增，函数值以增大到；在（行，2]小上单调递减，函数值 5减小到5，而方程八x)-m=09x)=m,依题意，函数y=) 2 在(0,2]上的图象与直线y=m有两个公共点，则5 <m<3,所以m 的取值范問是（停厅）】 10.解：(1)根据题意，函数fx)的周期为T= 由7w=2,所以九到=2a(2+g）】 当xe[0,2]时，2x+ge[后g]所以m(2x+g) [1],所以2m(2x+g）e[-1,21,即所求两数在e[0, 7]上的值域为[-1,21. (2)由题意得e(-/(+石)-2如[2(+石）+g]- 2n（(2x+7）=2cs2x,所以A(x=-2cms2x+acs2x 因为当xe（牙4)时，2x∈（号号）所以0os2a≤1 1 由h(x)≤1→-2c2x+acos2x≤10≤cos2x+2cos2x 因为 222(当=±g时取)，所以0≤2，所 cos 2x 以a的最大值为22. (3)当xe[0,牙]时)的值竣为4=(-1,2， 设函数h(x)=-2cos22x+acos2x的值域为B,由题意得ACB. 设cos2x=t,则te[-1,1],则函数y(t)=-22+at,te[-1,1)],对 称轴为直线1=冬， 所以(-1=-2a,1)=-21a,y(）=g 参考答案 由号≥2解得a≤-4或a≥4 当a≤-4时，冬≤-1，所以函数y()在[-1,1上单调递减，所以 -2+a≤-1，解得a≤-4； B=[-2+a,-2-a],由-2-a≥2 当a≥4时，≥1，所以函数y()在[-1，】上单调递增，所以B= 【-20,2o1,3n释得a4 综上，a的取值范围为(-∞，-4]U[4,+∞). 上分专题02用向量法研究三角形的性质 1.A解析：如图，连接CD,因为点O为△ABC的重心，则O为CD的三 等分点，且C0=20D,所以0i+0i=20币=cd 2.B解析：设BC的中点为D,:点G是△AC的重心，A忘=子市= 子(=子（动，再令前=-，成-6，侧应.花- bccs120=-36c=6,d2=号（前2+2应.A衣+d2) (2-0≥(2k-6=号≥5当且仅当6=86 时取等号故选B. 3?解折：直线I过△MBC的重心G,与边AB,AC交于点PQ,且 A0).对应品合怨台如周浩接4G 并延长交BC于D,过B作BE∥AD,过C作CF∥AD,分别交直线I于 E,F.根据重心的性质可知AG=2GD,不妨设AG=2,GD=1,由 BE_PBBE-1-ABE-2-2A BE∥AG,得△APGD△BPE,AG-AP2=A crAc△40coacng0-gadn2 2-2八2-24=2日 :DG是梯形BEFC的中位线BE+CF=2DG%入+L }+=3根据三角形面积公式可得c_Ss。 S△APS1 2AB·AC·sinLBAC ,根据基本不等式入 1 1=32 24P·AQ·sin∠BAC 1工，即 ≤子当且仅当A=子时取等号 S1+S2」 S1 5,的最大值为4 5 ≤4心S E P D (第3题) (第4题) 4B解析：在品，4C上分别取点DB,使得市-店正=则 c 1A=A应=1.以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图，则四边 形ADFE是菱形，且=A+A=。+6,AF为∠BAC的平分线 黑白题105