全书综合检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

全书综合检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.5.*(2025·江西景德镇高一期中)已知 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 cos(33+a)= 目要求的 亏，且0°<&<90，则 1.·(2025·浙江杭州高一期末)已知tan(T-x)= tan(33°+a)sin(57°-a)-cos(147°-a)= 3x为第二象限角，则cosx= ( A.00 B.0 c.310 D.310 5 R古 C. 4 10 10 10 10 6.**(2025·江西鹰潭高一期末)蜂巢的精密 2.*(2025·陕西渭南高一期末)已知|a|= 结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若 8,e为单位向量，当它们夹角的大小为时，a 不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正 六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六 在e方向上的投影向量为 ( 边形（边长为1）内部或边界上的点，A,B为两个 A.43e B.4e 固定顶点，则AP·AB的取值范围是 C.42e D.( A.[-2,18] B.[-2,2] 3.*(2025·江西抚州临川一中高一月考)如 C.[0,16] D.[0,18] 图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺 7.*(2025·河南安阳高一期末)已知△ABC 时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记BC 径为弧BB',若∠BAC=60°，AC=3,则图中阴 边上的高为h,若A为锐角，b=√2 asin B,则h 影部分的面积是 ( 3 的最大值为 () 3 A. 4π B. C.2 D.3m 4② B.②+1 2 C.3*1 2 D 8.整(2025·湖南株洲高一月考)如图，将绘 有函数f(x)=Msin 3x+p)(M>0,0<p<π) 部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此 (第3题) (第6题) 4.(2025·福建龙岩高一期中)有一个底面 时A,B之间的距离为15，则p= 直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚 度)，该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容 器口的距离为1.现将一个半径为R的小球放 入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢 出容器，则R的最大值是 ( T 2π 5π D.3 A. B. C. D. A.2 B.√2 C.2√2 3 6 全书综合检测黑白题157 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.13.*(2025·辽宁抚顺高一期末)日常生活 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 店的包装盒如图所示，正四棱柱ABCD- 得0分 AB,C1D1的底面ABCD是正方形，且AB= 9.(2025·河北秦皇岛高一期末)已知复 4,AA1=1. 数z,=(1-i)(2-i),2=这1，则 ( A.z1=1-3i B.31=22 C.1z11=|z2l D.z,的虚部为1 10.*(2025·山东潍坊高一期末)如图，在六 ① ② 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中，底面 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图① ABCDEF为正六边形，则 ( 中H-E-E1-F1-F-G-G1-H1-H的方向捆扎 A.AA'∥CC 包装盒会比按照图②中的十字捆扎法更节 B.直线EF与平面ABB'A'平行 省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽 C.直线AB与B'C异面 度).则图①比图②最多节省的彩绳长 D.点A'和C到下底面的距离相等 度为 14.禁(2025·河北邢台高一期末)如图，正方 形ABCD的边长为4，O是BC的中点，M 是正方形ABCD边上的一动点，N是以BC为 直径的半圆弧上一动点，则MN·ON的最大 值为 (第10题) (第14题) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 11.整(2025·江苏南通高一期中)已知函数 文字说明、证明过程或演算步骤 f(x)=2sinx+cosx,xe[0,2π]，则( 15.*(13分)(2025·江西九江高一期末)已 A若=受则)+)1≤32 知函数x)=cos(ox+p)(o>0,p<罗)的 B若x号则)1≤ 最小正周期为π，直线x=π是函数f代x)图象 6 C.若f(x1)+f(x2)=0,x1≠x2,则1x1-x2I=T 的一条对称轴. D.若f()=f()= 2,名≠x2,则 (1)求0，p; ）的单调递增 5-胃 (2)求g()=)+f+ 区间. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.*(2025·安徽毫州高一期中)已知命题p: 若a,B为第一象限角，且a>B,则cosa<cosB, 能说明命题p为假命题的一组：，B的值可以 是a= ,B= 必修第二册·BS黑白题158 16.*(15分)(2025·江西上饶高一月考)已知17.*(15分)(2025·江西南昌高一期末)在 i=(4i,9.成-(2sn2a有）】 △ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且2c=2 acos B+b. ()若a=石，且A店1(ABd,求：的值： (1)求A; (2)若AB=2,点F为AB的中点，且 (2)若点A,B,C共线，求sin(2a-石)的值 CF2=AC·BC,求b; (3)若△ABC为锐角三角形，点D在△ABC 内，且AD=2,∠DBA=∠DCA=30°，求 BD+DC的取值范围. 全书综合检测黑白题159 18.禁(17分)(2025·福建漳州高一期末)19.整(17分)(2025·江西吉安高一期末)若 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几 实数u,v,w满足(u-w)2<(v-w)2,则称u比 何学中的研究比西方早一千多年，书中将 v接近w. 四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖 臑”.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥底 (1)已知x∈(o,写)，试间：mx是否比，3接 面ABC,平面PAC⊥平面PBC: 近0？请说明理由. (1)求证：四面体P-ABC为“鳖臑”， (2)定义分段函数f(x): (2)若PA=4,AC=BC=2,M是PB的中点. COS TTX,sin Tx比COS TTX接近0， f(x)= (i)求MC与平面PAB所成角的正弦值； sin Tx,COS TTX比sin Tx接近0， (ii)已知D,E分别在线段AM,BC上移 动，若DE∥平面PAC,求线段DE长度的 最小值 (当 3 1 4x<4且x≠±4时，若关于x的 方程f(x)-a=0有且仅有4个不相等的 实数根x1,x2,x3,x4,且x1<2<3<x4,求 0 f(x1+2x2+2x3+x4)的值； ()已知M(-5,4),N5,)两点，证 明：在函数f(x)的图象上存在唯一的点 P,使得PM+P1=1M. 必修第二册·BS黑白题160记0=∠A40A1,则m0=子，0为悦角且大于号，40<2， m20=2w0-17,m40=2ms20-1-2x9 1 1s 81’ 50≠2m,否则cos49=cas(2m-0)=cs0,但这里cs40=7 1c 了=as8,而60>6x号-2m,不存在整数n使得0=2m 1 .不存在题目要求的多面体PQA1-An,使得它的每个面都是全等 的正三角形 (i)如图，作OM⊥A1A2,垂足为M,连接OM,PM,作OH⊥PM,垂足 为H, 由已知可得M为A1A2中点，PA1=PA2,多边形A1A2A3A4A5为正五边 形，A1A2⊥PM,A1A210M. 又.PM∩OM=M,PM,OMC平面POM,∴.A1A2⊥平面POM. ·OHC平面POM,∴.OH⊥A1A2 又：0H⊥PM,PMnA1A2=M,PM,A1A2C平面PA1A2,.OH⊥平面 PA1A2,∴.OH为0到平面PA1A2的距离. 由对称性可知，多面体PQ41-A,内切球球心为O,.OH为多面体 PQA1-A,内切球半径. 若△AP0(i=1,2,5)的面积为2m号则20A,x0=0A,× 0P=2as写，由正五边形的性质可知0M=0A,×as行0Mx0P= T 35,OH-ONxOPOMxOP 2cos2 OMXOP √OMXOP PM OM2+0PZ √20M×0p 当01=0P时取等号”0M=0s号1-2m20-16-名5 8 1+√ 4 ,多面体PQ4:-4,内切球半径的最大值为+W5 4 全书综合检测 1 1.D解析：由a(-)=-mx=弓得mx=-子”x是第二象限 1 角， tan x=sin x 1 cos名3'解得e0sx=3y0 10 sin2x+cos2x=1, 2.B解析：因为e为单位向量，则1eI=1,则a在e上的投影向量 为1(a,e）·G=8es3e=4e 3.C解析：由题意，扇形AB的圆心角a=45°=牙，且∠BAC= 60AC=3,所以B=AB=6,所以Saw=宁·A8=子×子 36=9m 1 2且SAMc8AsC)xAC'xBC)X3x35-93,所必 阴影部分的面积为S形BAB+S△ABC-S△ABc=2 4.D解析：要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体 积不大于容器剩余的容积，由题意知小球体积为= 3πR,容器剩 4 余的容积为=πx2×1=4T,由了πR3≤4π得R≤5. 3 5.A解析：由0°<<90°可得33°<a+33°<123°，且cos(33°+)= 5 参考答案 则a(38a--(传专又a(o-血0 (33°+a)]=cos(33°+a),c09(147°-a)=c0s[180°-(33°+a)]= -cos(33°+a),所以tan(33°+a)sin(57°-a)-cos(147°-a）= sin(330+a cos(33°+a cos(33°+a)+cos(33°+x)=sin(33°+a)+cos(33°+)= 437 6.A解析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),B(, )c(29）授P(,则萨().本=(4,0，所以 市.应=，由于：e[分名]，所以当点P与点E或点P重合 时，A市·A最小，最小值为-2，当点P与点G或点H重合时，A市.A店 最大，最大值为18，所以A.Ae[-2,18]. y↑ 7.B解析：因为b=√2 asin B,由正弦定理得sinB=√2 sin Asin B. 又s咖>0，则mA?因为A为锐角，所以sA二2由余弦定理 可知a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-2bc①.由等面积法可知 A宁，即-h.兰@将0代人@，则 1 2 2a2 √2bc √2bc √2bc =2-/20）2e)-2ke20P4-22 202= 7品发装名他 bc bc 为②+1 2 8.D解析：由题图可知，八)的周期为=2-=6，所以cD= 23, 3 4C=从.8c-√-（召=V厚，所以折皮直二西角时，A √AC2+BC2=√2M2+9=√15，解得M=√3，所以f(x)= 万血（行p）,所以0==血=子因为0cp<m, 所以p= 或西又因为函数《)在y轴右侧附近单调递减，所以 6 6 9.ACD解析：因为z1=(1-i)(2-i)=2-i-2i+2=1-3i,z2=z1=i(1- 3i)=3+i,所以z2=3-i,2的虚部为1,1≠2,111=12|=√0， 故ACD正确，B错误 1O.ACD解析：对于A,根据棱柱的定义可知AA'∥CC',故A正确； 对于B,由于底面ABCDEF为正六边形，则直线EF与AB相交，所以 直线EF与平面ABB'A'不平行，故B错误； 对于C,由于B'C∥BC,而直线AB与BC相交，所以直线AB与B'C 异面，故C正确； 对于D,由于棱柱的上下两个底面互相平行，点A'和C都在上底面， 故点A'和C到下底面的距离相等，故D正确。 1.ABD解析：对于A选项，因为+=号则/八)() 黑白题101 +/(受i）2in+os+2如（是）+ow（日 ）=3n+3oas名=30m(名+）， 所以)+)1=3m(+牙)≤3，A对， 对于B选项，因为=号，则=名-受，所以人)=时( 受）=2（名受）m(a受）=血-2s, 所以f(x1)f(x2)=(2sinx1+cosx1）·(sinx1-2cosx1)=2sin2x1 3 5 3sincocosin 2x-2cos 2x sin() 领角，且m=手，所以1=克血(2+p)1≤ 4 B对 对于C选项，因为(x)=5si血(+a),a为锐角，且ama=2,不妨 取x1=0,x2=2m-2a∈[0,2m],则f(x1）=5sin&,f(x2)= f(2r-2a)=W5sin(2π-2a+a)=√5in(2m-a)=-√5sina,此时 fx1)+fx2)=0,但x1-x2l≠π，C错； 对于D选项，因为f()=(),即5m(名+a 5a(o-所以ago)a(o)-号 因为n=1<√3=tan。,a为锐角，则0<<， 61 x1+0= 3 不妨设x1<x2,则a<x1+a<x2+a<2r+a,所以 所以x2 2T x2a=3, 散=行，D对 T 12(答案不收-）于（答案不像一）解折：因为0，B为第一象限 角，且a心9，取a=石，日=行，则>9且a,日在第一象限，此时 √51 cosa=2>2=cusB,故命题p为假命题，满足题意，所以a,B的值 可以是a=石9=子 13.20-102解析：沿题图①中的彩绳展开正四棱柱，如图所示，彩绳 长度最小值为(4+1+4+1)×√2=102. E 4 题图②中，彩绳长度最小值为4×(4+1)=20，则题图①比题图②最 多节省的彩绳长度为20-102. 14.45+4解析：设M与0的夹角的大小为0，M.0成=101· 1M1·cos0=2×1M1·cos0,1M1·cos0最大时，M.0的 值最大，即M在O方向的投影最大时，M成.O的值最大，所以M成 与0N同向共线时最大， 在所有M与O同向共线的位置中，当M位于A,D两点时1M1 最大 此时，1M1=√42+22+2=2w5+2,.M.0成=101·1M1· 必修第二册·BS c0s0=2×(2w5+2)=45+4. 15据：(0依题意。-行行2.由2·名p加得=号e (2由)得)=m(2z-号）…f(+牙)=[2(4 )牙](2号) g到=(+）m(2-号）m(2-5） cs(2x7） 令2m2a8≤2得m云eZ “g(到的单测递增区间为[✉红牙]，4e2 16解()当a=时-1，-)成=(51) 因为A店⊥(A店+：B武)，所以A店.(A店+B武)=A应+A店.B武=4+ 号=0，解得1=-45 (2)因为点A,B,C共线，所以A店，B武共线. 因为应-(a,).成-(2如2a小所以ax1 (5)x(22a+号）0， 4x22sim 2a+1-3-2c0s 2a+2sim 2=4sin (2a- 2 石）+3=0所以血(2a石）子 17.解：(1)因为在△ABC中，2c=2 acos B+b,所以由正弦定理可得 2sin C=2sin Acos B+sin B. 又因为△ABC中C=T-(A+B),sinB≠0，A∈(0，T),所以 2sin C=2sin(A+B)=2sin Acos B+2cos Asin B=2sin Acos B+sin B, 得A=所以A=号 (2②)如图①，AB=2A=号点F为AB的中点， 在△AFC中，由余弦定理可知CP2=AC2+hF2-2AC·AFco号，即 CF=√/1+b2-b. 在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AC2+AB2-2AC·ABom子，即 BC=√/4+b2-2b. 因为CF2=AC·BC,所以1+b2-b=b√4+b2-2b,整理得b2+2b-1= 0,解得b=√2-1或b=-√2-1（舍去）. 2 (3)如图②，设LDAC=0, 在AM0C中，因为A0=2,∠C1=30,所以品0，都得 CD=4sin 0. 在△ADB中，因为AD=2,∠DBA=30°，∠BAD=60°-0，所以 BD 2 sm(60-0)im30,解得BD=4sin(60°-0)， 所以BD+DC=4sin0+4sin(60°-0)=4sin0+4sin60°cos0-4sin0. 黑白题102 cos60°=2sin0+2W3cos0=4sin(0+60°). ! 因为0°<8c60,60<0t60<120,所以m(0+60°)e(月1]，即 BD+DC的取值范围为(2W3,4] 18.(1)证明：如图①，在平面PAC内过点A作AH⊥PC于点H, ! ① PAC,所以AH⊥平面PBC. 因为BCC平面PBC,所以AH⊥BC. 因为PA⊥底面ABC,AC,AB,BCC平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB, PA⊥BC,所以△PAC,△PAB为直角三角形. 又AH∩PA=A,AH,PAC平面PAC,所以BC⊥平面PAC. 因为AC,PCC平面PAC,所以BC⊥AC,BC⊥PC,所以△ABC,△PBC 为直角三角形，所以四面体P-ABC为“鳖隅” (2)解：(i)如图②，取AB的中点I,连接ML,C, 因为PA⊥底面ABC,CIC底面ABC,所以PA⊥CI 因为AC=BC=2,所以CI⊥AB.又PAAB=A,PA,ABC平面PAB,所 以CI⊥平面PAB,所以∠CMI即为MC与平面PAB所成的角. 因为PA=4,AC=BC=2,M是PB的中点，所以MI=2,CI=√2，所 以MC=6,所以sinL.CMI=C-2_3 MC63 、所以MC与平面PAB所成角的正弦值为. (i)如图③，过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接EF 由(1)知，PA⊥AB,PA,DFC平面PAB,所以PA∥DF 因为PAC平面PAC,DF丈平面PAC,所以DF∥平面PAC. 因为Dk平面PAC,PFO DE=-D,DF,DEc平面DEP,所以平面 PAC∥平面DEF.因为平面PAC∩平面ABC=AC,平面DEF∩平 面ABC=EF,所以AC∥EF, 设BE=x,x∈(0,2)，则EF=x,BF=√2x,AF=AB-BF=2W2-√2x, 易知De/M,所以即24-经得Dr=4-2a DF vva2四-5(）5则 当x=8 时DE有最小值 /16_45 V55 所以线段DE长度的最小值为4 5 19.(1)解：tanx比3接近0，理由如下： 由(u-0)2<(-w)2,可得1u-wl<lv-wl, xe(0,号)0m6lam-01<w5-01,tm比5 参考答案 接近0. (2)(i)解：若1 sin>Icos,即sin2mx>cos2mx,cos2πx<0,解得 1 4 (kEZ)f(x)=sin mx; 同理由1sn1<klo,解得xe（k-子，6+)(kez。 ∴f(x)= 作出函数图象如图 所示 x=0.25 y=f(x) V=0 10 37 4 x=0.5 :当子<且≠±时，关于：的方程)-a=0有且仅有 3 4个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4, 当子<且≠时，晒数y的图象与直线)a有且 仅有四个公共点。 1 由对称性可知，1t=0,2t=2名+=1，f代名1+2+2+ (i)证明：由1Pi+P=IM,可得MP⊥NP ①当e(（k,+）e2)时，设P(,om,M-5, 4w5,号）…-(+5，s-4,-(-5s 令）小p1Np(5(5)+(ow4(@r号)-0 1012 :c0sTx≤1，（c0smx-3≥ 9又+智9 9≤9心x=0 当e（,+)e2)时，存在唯-的P(0,1),使得 (*)式成立 ②当xe（k+ 1 4,k+3）(keZ)时，设P(x,inπx),同理可得 10 2 x2+49 (**): 10）2 49 又-x2+49 9,当且仅当 4 :sin wx≤1， sin Tx-- 3 ( 249 9 x2+4949 时，(**)式成立， 99 但两个方程无法同时成立当：e(k,子+子)(：e2)时，不 存在满足题意的P点.综上所述，八x)的图象上存在唯一的点P(0, 1),使得1Pi+P1=1M1. 白题103