第6章 专题探究7 立体几何中的展开与折叠问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

ABC-A1B,C,中，所有棱长均为4，因此四边形A4,C1C是正方形，所 以O是AC1的中点，而D是AB的中点，因此有OD∥BC1,因此异面 球的半径为)，则FN=2,“二面角N-AB-C的平面角的正切值为 直线A1D与BC,所成角为LA1DO(或其补角).因为四边形AA,C,C NF tnLNEF-EF-2. 是正方形，所以A0=2AC=7×√4+4=22. 四重难点拨 在直三棱柱ABC-A1BC1中，所有棱长均为4，因此四边形BB,C,C (1)正棱锥的顶点在底面的投影为底面的中心： 是正方形，因此有0D=8C,=子×④+4=22. (2)球心与截面圆心的连线与该截面垂直，可以用勾股定理运算求解」 9.B解析：如图，过点B作BE⊥AC,垂足为E,过E P 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中 作EF⊥CD,垂足为F,连接BF,因为平面BAC⊥ 任何直线.因此有4D=+0=4+(分4=25 平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,BEC平面 BAC,所以BE⊥平面ACD.又CD,EFC平面ACD 所以BE⊥CD,BE⊥EF. 由余弦定理可知cos∠A1D0= 0=,2x254,因此m∠400 又EF⊥CD,EF∩BE=E,EF,BEC平面BEF,所 以CD⊥平面BEF. √1-0s2LAD0=1 10√6 164 又BFC平面BEF,所以CD⊥BF, 所以∠BFE为二面角B-CD-A的平面角， 因为AB=BC=2,∠ABC=90°，所以E为AC的中点，AC=22 BE=√2 因为AD=CD,∠ADC=60°，所以△ACD为等边三角形. 所以F为CD边上靠近点C的四等分点，AD=CD=AC=2√2 所以F=2n60-5所以-V。 21 所以cos∠BFE= ②，故二面角B-CD-A的平面角的余弦值 (第5题) (第6题) 7 6.D解析：如图，过E作EH⊥AB,连接CH.因为ABCD为圆台OO 的轴截面，所以平面AEB⊥平面ABCD.因为平面AEB∩平面 为 ABCD=AB,EHC平面AEB,所以EH⊥平面ABCD,所以直线CE与平 专题探究7立体几何中的展开与折叠问题 面ABCD所成的角即∠ECH.因为AB=BC=2CD=4,且AE=3BE,则 BH=1,EB=2,EH=EB2-BH=√3，CH=VI5,所以tan∠ECH= 黑题 专题强化 EH 35 1.C解析：如图①，连接AC,AD1,BD1,B1C,将平面ACD1和平面 CH 15 5 B,CD1展开到同一平面，如图②所示. 7.45°解析：取线段BC的中点D,连接AD,OD,如图，因为∠AOB= D ∠AOC=60°，OA=0B=OC=1,BC=√2，所以△A0B.△A0C都是正三 角形，即有AB=AC=1.因为AB2+AC2=2=BC2,所以∠BAC=90°，所 以AD⊥BC,AD=1 2又0B2+0c2=2=BC2,所以∠B0C= 0,所以0=c= 2 ,则OD2+AD2=1=0A2,所以∠AD0=90°， ① ② 即AD⊥OD,而OD∩BC=D.OD,BCC平面OBC,于是得AD⊥平面 连接AB1,交CD1于点M,则AE+BE≥AB1 OBC,所以∠AOD是直线OA与平面a所成角.又AD=OD,则∠AOD= 45°，所以直线0A与平面a所成角的大小为45 因为AB=4,所以AC=B,C=AD1=CD1=B,D1=4V2,所以四边 形ACB1D1为菱形，∠ACB1=∠ACD1+∠D1CB,=120°，则AB1=4V2× 2×2=46 2. /(a-b)+ TR 3 解析：画出侧面展开图，如图，已知AA'=a BB'=6,则MB=a-b,弧AB'=TR=AM,侧面从A到B的最短距离 3 (第7题) (第8题) 是AB.根据勾股定理得AB=√AM+MB2= a-62+( 8.C解析：如图，连接AC,BD,MN,则AC,BD,MW交于点F,且MWL 平面ABCD,故多面体的外接球的球心O在MN上，取AB的中点E, 连接ME,EF,NE,OA, MA=MB,FA=FB,NA=NB,且E为AB的中点，则ME⊥AB, FE⊥AB,NE⊥AB,.二面角M-AB-C的平面角为∠MEF,二面 角N-AB-C的平面角为∠NEF. 3.ACD解析：对于A,因为AC=AD,E为CD的中点，所以AE⊥CD,所 叉~an∠MEF= F1, 以AE⊥EF,AE⊥EC.又EF∩EC=E,EF,ECC平面EFC,所以 AE⊥平面EFC,故A正确：对于B,因为四面体FACQ恰好为正四面 .MF=EF,不妨设MF=EF=1,则FA=√2 体，所以FC=FA,所以Rt△AEF≌Rt△CEF,所以AE=EC,所以AE 3 .OF2+FA2=0A2,即(0A-1)2+(V2)2=0A2,解得0A= ,即外接 1CD,所以∠C4D=90,故B错误：对于C,如图，过点Q作QG1平 必修第二册·BS黑白题092 面ABCD于G,连接GA,GC,GE,QM,FM,因为QC=QA,易得 平面A'EF,故DA'⊥平面A'EF Rt△QCG≌Rt△QAG,所以AG=CG.因为AE=EC,M是AC的中点，所 以ME⊥AC,所以G在直线ME上.又FE⊥EC,AE⊥EF,AE∩EC= E,AE,ECC平面AEC,所以EF⊥平面AEC,所以QG∥EF,所以过 OG,EF有唯一平面OGEF.设正四面体的棱长为2，则可得MF=MQ= ! √3，ME=1,在△FMQ中，由余弦定理可得cos∠QFM= 0(5)+22-(5)=5.又N是FQ的中 2MF·MQ 2×w/3×2 在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中 FN=1,在△FMN中，由余弦定理可得，MN= 点，则SAEF=S△EF三2×1X1=了 2,DM'=DA=2,故V-D= NPMP-2NF FMCLNFW(xxx 11 Vne=3·SaF·DA'=3X2×2=3 √2，易得FE=AE=√2，又FN=ME=1,所以四边形MEFN是平行四边 ! 7. 208T 形，所以EF∥MN.又EF⊥平面AEC,所以MN⊥平面ABCD, 3 解析：如图所示，将三棱锥A-B'CD补成一个三棱柱AEF C正确； DB'C, 对于D,因为EFC平面QGEF,所以平面QGEF⊥平面ABCD.又平面： 因为AD⊥DC,AD⊥B'D,DC∩B'D=D且DC,B'DC平面B'CD,所 QGEF∩平面ABCD=EG,由选项C可知AC⊥MG,又ACC平面 以AD⊥平面B'CD,所以补成的三棱柱为直三棱柱，则该棱柱上、下 ABCD,所以AC⊥平面QGEF.又EQC平面QGEF,所以AC⊥EQ,故 底面的外接圆圆心连线的中点是球心O, D正确. 在△B'CD中，由B'D=3,CD=5,B'C=7,所以cos∠BDC= 32+52-72 2×3×5 子又LFDCs(0,),可知LBDG= 3 设△BCD的外接圆的圆心为O',所以△B'CD外接圆的半径r= 0'B'= 7 73 .又AD=2,所以球0的半径R=√12+r2 2T 3 2sin 3 4.B解析：作出示意图如图所示，点D在底面ABC的投影为M, 239 ,所以球0的表面积S=4πR2=4π× 156208 3 9 3 M∈AB,所以DM⊥平面ABC.又ACC平面ABC,所以DM⊥AC. 过D作DN⊥AC于N,连接NM,又DM∩DN=D,DM,DNC平面 B DNM,所以AC⊥平面DNM.又NMC平面DNM,所以AC⊥NM. 在R△1CD中，AC=VAD+CD=5,又4CxNm=A0xDC,所 00 -----C 以5xW=x2.所以m=25所以4WVD-m5 51 叉NW=Aam∠NMM=5x1:5 5×2=10在△ANM中，可得AM= 第六章章末检测 4W=子，在△ADN中，DM=vD-Am=, 1.D解析：平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五 21 点共面，故A,B错误： 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误： 设B到平面ACD的距离为d,由nm=-4,可得兮S△am·d= 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，直线与直线外一点可 确定唯一平面，即这五点一定共面，故D正确. 了SA4eDM,所以3×x2 x1xd=xx2x1x3 3 32 ,解得d= 2 2 2.A解析：由题可知：M为A'B的中点，O'A'=OB=√2，则O'M=1, 作MN/0A,M'= 2,如图①所示 (第4题) (第5题) 37 8 解析：如图，设A'B=2a,取CE的中点K,连接BK,A'K,A'C,由 题知平面BCE⊥平面D'CE,平面BCE∩平面D'CE=CE, 0' 0 又BKC平面BCE,BK⊥CE,所以BK⊥平面D'CE, 则直线A'B与平面D'CE所成角的余弦值等于LA'BK的正弦值，易 0 ② 作出原来图形，如图② 求得BK=V3a,4G=5a,s∠ArEC-EM2+EC2-A'C. 2EA'.EC 8,又 所以0A=2.0M=2.MN=因为A⊥0M.所以AM=6又M cos∠A'EC=A2EA'.EK=8,解得A'K=T0 2, 为AB的中点，所以AB=2√6. 3.D解析：由题意可知两条相交直线a,b可唯一确定一平面α，因为 CLABK=AB+BK2-AK33 2A'B·BK8 则sinA'BK= 点A是两条相交直线a,b外的任意一点，可得过点A与平面垂直 的垂线只有一条，从而可得只有一条直线与直线a,b都垂直，故 8,所以直线A'B与平面D'CE所成角的余弦值等于可 √3 D正确. 81 4.A解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,依题意可得2h=10,所以 6.A解析：由题意可知DA'⊥FA',DA'⊥EA',FA'∩EA'=A',FA',EA'C 圆柱的侧面积S侧=2πrh=10π. 参考答案黑白题093专题探究7立体几何 黑题 专题强化 题组1展开问题 1.*(2025·河北承德高一月考)如图，在正 方体ABCD-AB,C,D1中，AB=4,E在线段 CD1上，则AE+B,E的最小值是 A.43 B.45 C.46 D.47 D 、E (第1题)》 (第2题) 2.*如图，A,B是底面半径为R的圆柱侧面上 两点，它们在底面上的射影分别为A',B, 若AM'=a,BB'=6,弧AB'= 3,则 沿圆柱侧面从A到B的最短距离 是 题组2折叠中的位置关系问题 3.转（多选）(2025·山西太原高三 期中)如图，在平面四边形ABCD 中，△ABC为等边三角形，AC=AD,E为CD的 中点，将△ADE沿AE折起，点D至点F的位 置，使得FE⊥EC,将△ABC沿AC折起，点B 至点Q的位置，此时四面体FACQ恰好为正四 面体，M,N分别为AC,FQ的中点，则( A.AE⊥平面EFC B.∠CAD为钝角 C.MN⊥平面ABCD D.AC⊥QE 第六章 中的展开与折叠问题 电子错题本 限时：45min 题组3折叠中的空间距离与空间角问题 4.*(2025·浙江宁波高一期末) 已知长方形ABCD,AB=2,AD=1, 视频讲解C 将△ACD沿着AC折起得到三棱锥D-ABC,当 点D在底面ABC的投影恰好落在直线AB上 时，此时点B到平面ACD的距离为（) A.√3 B经 c.5 4 D.5 5 5.(2025·黑龙江大庆高一月考)如图，在 等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=2AD,点E 是AD的中点.现将△ABE沿BE翻折到 △A'BE,将△DCE沿CE翻折到△D'CE,使得 二面角A'-BE-C的平面角等于60°，二面角 D'-CE-B的平面角等于90°，则直线A'B与平 面D'CE所成角的余弦值等于 题组4折叠中的面积、体积问题 6.**(2025·山西运城高一期末) 在边长为2的正方形ABCD中，点 视频讲解 E是AB的中点，点F是BC的中点，将 △AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折 起，使A,B,C三点重合于点A'.则三棱锥A'- EFD的体积为 () N.3 B.z 0.3 D.1 7.#(2025·河北承德高一月考)在△ABC中，D 是边BC上一点，且AD⊥BC,BD=3,BC=8, AD=2,将△ABD沿AD折起，使点B到达点B, 且B'C=7,若三棱锥A-B'CD的所有顶点都在球 0的表面上，则球O的表面积为 黑白题147 第六章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.*(2025·河北邢台高一月考)下列判断正 确的是 () A.若空间五点中任何三点不共线，则这五点 不共面 B.若空间五点中任何四点不共线，则这五点 不共面 C.若空间五点中三点共线，则这五点必共面 D.若空间五点中四，点共线，则这五点必共面 2.*(2025·山东青岛高一期末)如图，用斜 二测画法画出的水平放置△AOB的直观图是 Rt△A'O'B',若A'B'的中点在y'轴上，且 O'A'=O'B'=√2，则AB= B A.26 B.4 C.23 D.2 3.*(2025·海南海口高一期末)若点A是两 条相交直线α，b外的任意一点，则过点A有且 只有一条直线与直线a,b都 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 4.*(2025·山东菏泽高一月考)四等分切割 如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新 的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的 表面积增加了10，则圆柱的侧面积是( A.10m B.20m C.10 D.20 必修第二册·BS 章末检测 总分：150分) 子错题本 5.*(2025·江苏南京高一期末)如图，在正 方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，H 为EF的中点，沿AE,EF,FA将正方形折起， 使B,C,D重合于点O,构成四面体，则在四面 体A-OEF中，下列说法中正确的是() A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEF C.AE⊥平面OEF 、,H D.AF⊥平面OEF 6.*(2025·安徽宿州高一期末)在平行六面 体ABCD-AB,C,D1中，点M是BB1上靠近B 的三等分点，直线DM交平面BCD,A于点N, 则0v DM 1 2 A.2 B 3 0.5 4 C.4 7.*(2025·重庆南岸区高一期中)在三棱锥 0-ABC中，三条棱OA,OB,OC两两垂直，且 OA>0B>0C,分别经过三条棱OA,OB,OC,作 一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次 为S1,S2,S3,则S,S2,S3的大小关系为() A.S3<S2<S1 B.S3<S1<S2 C.S2<S3<S1 D.S1<S2<S3 8.整(2025·山西太原高一月考)已知正方 体ABCD-AB,C,D1的体对角线BD,垂直于 平面α，直线1与平面x所成角为60°，在正方 体ABCD-A,B,C,D,绕BD,旋转的过程中，记 BC与直线1所成的最小角为0，则cos0= 3-√6 A. 6 B.3+6 6 C.32-3 D.32+3 6 6 黑白题148