第6章 专题探究6 空间角与空间距离问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

BC,AD不一定平行，故②错误： 因为AC=AD,E是CD的中点，所以AE⊥CD,又PA⊥CD,PA∩ AE=A,PA,AEC平面PAE,所以CD⊥平面PAE,又AFC平面PAE,所 以CD⊥AF,又AF⊥PE,CD∩PE=E,CD,PEC平面PCD,所以AF⊥ 平面PCD,又PDC平面PCD,所以AF⊥PD,故③正确. 4.B解析：如图①，若直线11，l2为相交垂直，故这两条直线11，l2确定 一个平面，设为a,又因为直线3,4满足311,312,14141,41 l2,由线面垂直的判定定理得l3⊥α，l4⊥a,由线面垂直的性质定理得 13∥4， 90 ① ② 如图②，若直线1,2为异面垂直，将两条直线11,12平移到15，l6, 定能让两条直线15，l6相交垂直，从而1，l6确定一个平面B, 同上，可以得到l3L4,综上，直线13与位置关系为平行 5.②③解析：对于①，X,Y,Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z→X∥Y”是假命 题，如图中长方体共顶点的三条棱AB,AD,AA; 对于②，X,Y是直线，Z是平面，根据线面垂直的性质定理可知，垂直 于同一个平面的两条直线互相平行，则“X⊥Z且Y⊥Z一X∥Y”是真 命题： 对于③，Z是直线，X,Y是平面，根据垂直于同一条直线的两个平面 平行可知，“X⊥Z且Y⊥Z→X∥Y”是真命题： 对于④，X,Z是直线，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z→X∥Y”是假命题，如 图中长方体，X,Z分别是直线AD,AB,Y是平面ADD,A1,X⊥Z且Y⊥ Z,但XCY. D B D B 6.证明：(1)如图，连接AG,并延长交BC于点D,连接AD,由点G为 △A,BC的重心，得D为BC的中点，由AB=AC,A1A=A1A,∠A1AB= ∠A1AC,得△A1AB≌△A1AC,则A1B=A1C, 因此AD⊥BC,A,D⊥BC.又因为AD∩A,D= D,AD,A1DC平面A1AD,所以BC⊥平 面A,AD.因为A1AC平面A,AD,所以BC⊥ A1 A1A.又因为A1A∥B,B,所以B1B⊥BC (2)由A1A=AB=2,∠A1AB=60°，得△A1AB 为正三角形.同理△A,AC也为正三角形，则A1B=AC=BC=2,从而 三棱锥A-A,BC的所有棱长均为2，该四面体为正四面体。 由G为△A,BC的重心，得AG⊥平面A1BC, 菱形ACC1A1中，AC1过A,C的中点，即直线AC1与平面A,BC的交 点为A,C的中点，因此G不在直线AC1上.又因为C,P⊥平面A,BC, 所以AG∥C,P. 四重难点拨 平行关系与垂直关系之间的相互转化： 如果一条直线垂直于两个 线面垂直的性质 平行平面中的一个平面， 那么该直线也垂直于另 个平面 线线平行 线面平行 面面平行 如果两平行直线中的一条垂直于一个 坠直于同一直线 平面，那么另一条也垂直于这个平面 的两个平面平行 参考答案 专题探究6空间角与空间距离问题 黑题 专题强化 1.D解析：因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,且平面 PAB∩平面PAC=PA,所以PA⊥平面ABC. 又BCC平面ABC,所以PA⊥BC.又∠ABC=90°，所以AB⊥BC.因为 PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB. 又PBC平面PAB,所以BC⊥PB.又因为PA=AB=6,BC=8,∠ABC= 90°，所以PB=6√2 设点A到平面PBC的距离为d,所以三棱锥P-ABC的体积VP-ARC= 号5ac·pM=号ae.周×了6x8x6=号×}×62x1, 解得d=32. 233 3 解析：在直三棱柱ABC-A,B,C中，AC∥A,C,因为AC￠平 面A,BC1,且A,C,C平面A,BC1,所以AC∥平面A,BC1,所以AC到 平面ABC1的距离，即为A到平面A1BC1的距离. 因为ABC-A,B,C1为直三棱柱，且∠BAC=90°，所以C,411A1B1, C1A1⊥AA1.又因为A1B1∩A41=A1,且AB1,A41C平面AMB1B,所 以C,A1⊥平面AA,B,B.因为C1A1C平面C,A1B,所以平面A,BC1⊥ 平面AABB. 如图，过点A作AG⊥A1B,由平面A,BC1∩平面AA1B,B=A1B, 且AGC平面AA,BB,所以AG⊥平面ABC1,则AG的长即为点A到 平面A1BC的距离， 在Rt△AAB中，AB=√2，AA1=2,所以AB=W6,可得AG= AB·AA1.V2×2.23 6 所以点4到平面4，BC,的距离为2 C (第2题) (第3题) 3.60 13 解析：因为平面《∥平面A,D,CB,ADC平面&，所以AD到平 面A1D,CB的距离即为平面a与平面A,D,CB间的距离，易知AD∥ 平面ADCB,从而点A到平面AD1CB的距离即为所求的距离. 如图，过点A作AH⊥AB于点H.因为A,D1⊥平面AB,BA,A,D1C 平面AD,CB,所以平面A,B,BA⊥平面A,D1CB. 又平面A,B,BA∩平面A,D,CB=A,B,所以AH⊥平面A,D,CB,则AH 即为所求. 在R1△BAA1中，AB=12,AM1=5,则AB=√AB2+A4=13.因为 了以A-之11：极所以：”9放平面。与平 1 AB 面ADCB的距离为3 4.ACD解析：连接BD,AC,对于A,因为SD⊥底面ABCD,BCC平 面ABCD,所以SD⊥BC,则BC与SD所成角的大小为90°，A项符合. 对于B,因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD,则AB与SC所成的 角为∠SCD=45°，B项不符合. 对于C,因为AD∥BC,所以SB与AD所成的角为∠SBC,由题知 tan LSBC=C=2>1,所以LS8C45°，C项符合 BC 对于D,因为SD⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,所以SD⊥AC. 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又因为SD∩BD=D,所以ACI 平面SBD.因为SBC平面SBD,所以AC⊥SB,则AC与SB所成角的大 小为90°，D项符合. 6 5. A 解析：如图，连接AC1交A1C于O,连接OD,在直三棱柱 黑白题091 ABC-A1B,C,中，所有棱长均为4，因此四边形A4,C1C是正方形，所 以O是AC1的中点，而D是AB的中点，因此有OD∥BC1,因此异面 的半径为)，则W=2,二面角N-AB-C的平面角的正切值 直线A1D与BC,所成角为LA1DO(或其补角).因为四边形AA,C,C tan∠NEF= NF 是正方形，所以A0=AC=2×√4+4=22. =2 四重难点拨 在直三棱柱ABC-A1B1C,中，所有棱长均为4，因此四边形BB,C,C (1)正棱锥的顶点在底面的投影为底面的中心： 是正方形，因此有0D=BC=子×④+4=22. (2)球心与截面圆心的连线与该截面垂直，可以用勾股定理运算求解」 9.B解析：如图，过点B作BE⊥AC,垂足为E,过E P 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中 作EF⊥CD,垂足为F,连接BF,因为平面BAC⊥ 任何直线.因此有4D=+0=P+(分4=25 平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,BEC平面 BAC,所以BE⊥平面ACD.又CD,EFC平面ACD 由余弦定理可知cos∠A1D0= 0=05x254,因此sin∠A1D0s 所以BE⊥CD,BE⊥EF. 又EF⊥CD,EF∩BE=E,EF,BEC平面BEF,所 以CD⊥平面BEF. √1-0s2LAD0=/1 10√6 164 又BFC平面BEF,所以CD⊥BF. 所以∠BFE为二面角B-CD-A的平面角， 因为AB=BC=2,∠ABC=90°，所以E为AC的中点，AC=2√2 BE=√2. 因为AD=CD,∠ADC=60°，所以△ACD为等边三角形 所以F为CD边上靠近点C的四等分点，AD=CD=AC=2√2 所以F=n60-所以-V。 21 所以cos∠BFE= (第5题) (第6题) ,故二面角B-CD-A的平面角的余弦值 7 6.D解析：如图，过E作EH⊥AB,连接CH.因为ABCD为圆台OO, 的轴截面，所以平面AEB⊥平面ABCD.因为平面AEB∩平面 为 ABCD=AB,EHC平面AEB,所以EH⊥平面ABCD,所以直线CE与平 专题探究7立体几何中的展开与折叠问题 面ABCD所成的角即∠ECH.因为AB=BC=2CD=4,且AE=√3BE,则 BH=1,EB=2,EH=√EB2-BH=√3，CH=I5,所以tan∠ECH= 黑题 专题强化 EH 35 1.C解析：如图①，连接AC,AD1,BD1,B1C,将平面ACD1和平面 CH 15 5 B,CD,展开到同一平面，如图②所示. 7.45°解析：取线段BC的中点D,连接AD,OD,如图，因为∠AOB D ∠AOC=60°，OA=0B=OC=1,BC=√2，所以△A0B,△A0C都是正三 角形，即有AB=AC=1.因为AB2+AC2=2=BC2,所以∠BAC=90°，所 以AD⊥BC,AD=1 20B2+0c2=2=BC2,所以∠B0C= 0,所以0=c= 2 ,则0D2+AD2=1=0A2,所以∠AD0=90°， ① ② 即AD⊥OD,而OD∩BC=D,OD,BCC平面OBC,于是得AD⊥平面 连接AB1,交CD1于点M,则AE+BE≥AB1 OBC,所以∠AOD是直线OA与平面a所成角.又AD=OD,则∠AOD= 45°，所以直线0A与平面a所成角的大小为45 因为AB=4,所以AC=B,C=AD1=CD,=B,D1=4V2,所以四边 形ACB,D1为菱形，∠ACB1=∠ACD1+∠D1CB,=120°，则AB1=4V2× 2*2=4w6. πR 2. /(a-b)?+ 3 解析：画出侧面展开图，如图，已知AA'=a BB'=6,则MB=a-b,弧AB'=TR=AM,侧面从A到B的最短距离 3 (第7题) (第8题) 是AB.根据勾股定理得AB=√AMP+MB2=」 a-6+(g 8.C解析：如图，连接AC,BD,MN,则AC,BD,MW交于点F,且MWL 平面ABCD,故多面体的外接球的球心O在MN上，取AB的中点E, 连接ME,EF,NE,OA, MA=MB,FA=FB,NA=NB,且E为AB的中点，则ME⊥AB, FE⊥AB,NE⊥AB,.二面角M-AB-C的平面角为∠MEF,二面 角N-AB-C的平面角为∠NEF 3.ACD解析：对于A,因为AC=AD,E为CD的中点，所以AE⊥CD,所 叉：，an∠MEF=F) F1, 以AE⊥EF,AE⊥EC.又EF∩EC=E,EF,ECC平面EFC,所以 AE⊥平面EFC,故A正确：对于B,因为四面体FACQ恰好为正四面 .MF=EF,不妨设MF=EF=1,则FA=√2 体，所以FC=FA,所以Rt△AEF≌Rt△CEF,所以AE=EC,所以AE 3 ,OF2+FA2=0A2,即(0A-1)2+(2)2=0A2,解得0A= 2,即外接 m.所以∠C0=90,故B错误：对于C,知图，过点Q作0G1平 必修第二册·BS黑白题092专题探究6空间 黑题 专题强化 题组1空间距离 1.*(2025·河北邯郸高一月考) 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥ 平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,PA=AB=6, BC=8,∠ABC=90°，则点A到平面PBC的距 离为 4.32 42 B. C.42 D.32 3 2.*(2025·河北沧州高一月考)在直三棱 柱ABC-A,B,C1中，若∠BAC=90°，AB=AC= √2，AA,=2,则直线AC到平面A,BC1的距离 为 3.*在长方体ABCD-A,B,C,D1中，有一过AD 且与平面A,D,CB平行的平面a,棱AA1= 5,AB=12,则平面α与平面A,D,CB的距离是 题组2异面直线所成的角 4.**(多选)(2025·湖南常德高 月考)四棱锥S-ABCD的底面为正 方形，SD⊥底面ABCD,SD=AB,则下列选项中 两异面直线所成夹角大于45°的是 A.BC与SD B.AB与SC C.SB与AD D.AC与SB 5.*(2025·浙江杭州高一月考)如图，在直 三棱柱ABC-A,B,C,中，所有棱长均为4，D 是AB的中点，则异面直线A,D与BC,所成角 的正弦值为 (第5题) (第7题) 必修第二册·BS 角与空间距离问题 于错题本 限时：45min 题组3直线与平面所成的角 6.**(2025·山东泰安高一月考)圆台00，的 轴截面是等腰梯形ABCD,AB=BC=2CD=4,E 为下底面⊙0上的一点，且AE=√3BE,则直线 CE与平面ABCD所成角的正切值为() A.2 C.√5 D⑤ 5 7.*(2025·广东中山高一月考) 如图，已知∠AOB=∠AOC=60° 讲解 OA是平面的斜线，且OA=OB=OC=1,BC= √2，则直线OA与平面所成角的大小 为 题组4二面角 8.(2025·天津和平区高一月考)如图所 示，图中多面体是由两个底面相同的正四棱 锥所拼接而成，且这六个顶点在同一个球面 上.若二面角M-AB-C的平面角的正切值为 1,则二面角N-AB-C的平面角的正切值为 () A.1 B.√2 C.2 D.2√2 0 B (第8题) (第9题)》 9.#(2025·广东梅州高一月考) 如图，平面四边形ABCD中，AD= 视频讲解 CD,AB=BC=2,∠ABC=90°，∠ADC=60°，沿 对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面 DAC,则二面角B-CD-A的平面角的余弦值为 () A. B.②7 C.6 7 3 D.5 5 黑白题146 专题探究7立体几何 黑题 专题强化 题组1展开问题 1.*(2025·河北承德高一月考)如图，在正 方体ABCD-AB,C,D1中，AB=4,E在线段 CD1上，则AE+B,E的最小值是 A.43 B.45 C.46 D.47 D 、E (第1题)》 (第2题) 2.*如图，A,B是底面半径为R的圆柱侧面上 两点，它们在底面上的射影分别为A',B, 若AM'=a,BB'=6,弧AB'= 3,则 沿圆柱侧面从A到B的最短距离 是 题组2折叠中的位置关系问题 3.转（多选）(2025·山西太原高三 期中)如图，在平面四边形ABCD 中，△ABC为等边三角形，AC=AD,E为CD的 中点，将△ADE沿AE折起，点D至点F的位 置，使得FE⊥EC,将△ABC沿AC折起，点B 至点Q的位置，此时四面体FACQ恰好为正四 面体，M,N分别为AC,FQ的中点，则( A.AE⊥平面EFC B.∠CAD为钝角 C.MN⊥平面ABCD D.AC⊥QE 第六章 中的展开与折叠问题 电子错题本 限时：45min 题组3折叠中的空间距离与空间角问题 4.*(2025·浙江宁波高一期末) 已知长方形ABCD,AB=2,AD=1, 视频讲解C 将△ACD沿着AC折起得到三棱锥D-ABC,当 点D在底面ABC的投影恰好落在直线AB上 时，此时点B到平面ACD的距离为（) A.√3 B经 c.5 4 D.5 5 5.(2025·黑龙江大庆高一月考)如图，在 等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=2AD,点E 是AD的中点.现将△ABE沿BE翻折到 △A'BE,将△DCE沿CE翻折到△D'CE,使得 二面角A'-BE-C的平面角等于60°，二面角 D'-CE-B的平面角等于90°，则直线A'B与平 面D'CE所成角的余弦值等于 题组4折叠中的面积、体积问题 6.**(2025·山西运城高一期末) 在边长为2的正方形ABCD中，点 视频讲解 E是AB的中点，点F是BC的中点，将 △AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折 起，使A,B,C三点重合于点A'.则三棱锥A'- EFD的体积为 () N.3 B.z 0.3 D.1 7.#(2025·河北承德高一月考)在△ABC中，D 是边BC上一点，且AD⊥BC,BD=3,BC=8, AD=2,将△ABD沿AD折起，使点B到达点B, 且B'C=7,若三棱锥A-B'CD的所有顶点都在球 0的表面上，则球O的表面积为 黑白题147