第6章 专题探究5 空间线、面位置关系-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

专题探究5空间线、面位置关系 黑题 专题强化 限时：45min 题组1平行、垂直关系的判定和性质 题组2平行、垂直间的互相转化 1.(多选)(2025·河北石家庄高一期中)已4.*(2025·浙江台州高一期末)已知空间中 知三棱台ABC-A'B'C',上下底面边长之比为 四条直线1，l2,3,l4满足：山112,3⊥L1,31 1:2,棱AB,BC,AC的中点分别为点M,P,N, l2,l4⊥l1,l4⊥2，则直线l3与L4位置关系为 则下列结论错误的有 ( () A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面 5.禁设X,Y,Z是空间不同的直线或平面，对 下面四种情形：①X,Y,Z是直线；②X,Y是直 A.A'N∥PC 线，Z是平面；③Z是直线，X,Y是平面；④X,Z B.A'P与AC为异面直线 是直线，Y是平面.使“X⊥Z且YLZ→X∥Y C.AB∥平面A'C'P 为真命题的是 D.平面A'MN∥平面BCC'B' 6.辞(2024·江苏淮安高一月考)如图，已知 2.*(2025·天津河东区高一期末)在正方 三棱柱ABC-ABC1中，底面△ABC是边长 体ABCD-AB,C,D1中，E,F为正方体内（含 为2的正三角形，点G为△A,BC的重心， 边界)不重合的两个动点，下列结论错误的是 ∠A1AB=∠A1AC=60° (1)求证：BB⊥BC; (2)已知A1A=2,P∈平面ABC,且C,P⊥平 A.若E∈BD,F∈BD,则EF⊥AC 面ABC,求证：AG∥CP. B.若E∈BD1,F∈BD,则平面BEFI 平面A,BC /B C.若E∈AC,F∈CD1,则EF∥平面A,BC D.若E∈AC,F∈CD,则EF∥AD 3.*如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平 面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠ABC=90°，E 是CD的中点，AF⊥PE.给出下列三个结论： ①PC=PD:②BC∥平面PAD:③PD⊥AF 其中，所有正确结论的序号为 第六章黑白题145 专题探究6空间角与空间距离问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1空间距离 题组3直线与平面所成的角 1.*(2025·河北邯郸高一月考) 6.*★(2025·山东泰安高一月考)圆台00，的 在三棱锥P-ABC中，平面PABI 轴截面是等腰梯形ABCD,AB=BC=2CD=4,E 平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,PA=AB=6, 为下底面⊙0上的一点，且AE=√3BE,则直线 BC=8,∠ABC=90°，则点A到平面PBC的距 CE与平面ABCD所成角的正切值为() 离为 ( A.2 C.5 D.⑤ 4,32 4v2 5 2 B. C.42 D.3√2 3 7.★(2025·广东中山高一月考) 2.*(2025·河北沧州高一月考)在直三棱 如图，已知∠A0B=∠A0C=60° 讲解⊙ 柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC= OA是平面a的斜线，且OA=OB=OC=1,BC= √2，A4=2,则直线AC到平面A1BC1的距离 √2，则直线OA与平面所成角的大小 为 为 3.在长方体ABCD-AB1C1D1中，有一过AD 题组4二面角 且与平面ADCB平行的平面a,棱AA1= 8.(2025·天津和平区高一月考)如图所 示，图中多面体是由两个底面相同的正四棱 5,AB=12,则平面与平面A,D,CB的距离是 锥所拼接而成，且这六个顶点在同一个球面 上.若二面角M-AB-C的平面角的正切值为 题组2异面直线所成的角 1,则二面角N-AB-C的平面角的正切值为 4.*（多选)(2025·湖南常德高 月考)四棱锥S-ABCD的底面为正 A.1 B.√2 C.2 D.22 方形，SD⊥底面ABCD,SD=AB,则下列选项中 两异面直线所成夹角大于45°的是 ( A.BC与SD B.AB与SC C.SB与AD D.AC与SB B 5.*(2025·浙江杭州高一月考)如图，在直 三棱柱ABC-A1B,C1中，所有棱长均为4，D (第8题) (第9题) 是AB的中点，则异面直线AD与BC1所成角 9.(2025·广东梅州高一月考) 的正弦值为 如图，平面四边形ABCD中，AD= 频讲解 CD,AB=BC=2,∠ABC=90°，∠ADC=60°，沿 对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面 DAC,则二面角B-CD-A的平面角的余弦值为 (第5题) (第7题) 3 B.② C.6 D.5 7 3 5 必修第二册·BS黑白题146腰梯形的内切圆就是内切球的截面圆中最大的圆， 因为正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，且球的球心到正 四棱台各个面的距离均等于该球的半径，所以CD=1,AB=2, 设球的半径为R,在直角△BCH中，可得BC2=(2R)2+ 4,又由切 线长定理可得BC=CM+BM=FC+BB三名，所以RE?放球的体积 为V=4 16.C解析：设球0的半径为r,则4πr2=260m,得r=√65， C C A A Mr- M'- B ① ② 设M1为△A1B1C1的中心，M为△ABC的中心， 由题意可知，三棱台ABC-A1B,C,为正三棱台，MM1为其高，球心O 在直线MM1上， △4B,C,中，BM,=XAB,=4,在△BC克，BM -XAB=8. 故0M1=√P-B1M=7,0M=√P-BMP=1, 如图①，当0在线段M1M上时，M1M=OM1+OM=8,如图②，当O 在线段M1M的延长线上时，M,M=OM1-OM=6. 17.D解析：根据题意，连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心，可 得到一个正四面体S-ABC,该正四面体的棱长为4，如图所示， 设底面△ABC的中心为E,连接BE并延长交AC于点D,则D为AC 的中点，连接SE,则SE为正四面体S-ABC的高，所以该“三角垛” 的高度为E+2,由BD=-2=23,可得BE=3D=所 以=,√-(-5，所以三角绿的离度为52 2 D-- 1 (第17题) (第18题) 18.A解析：如图所示，依题意得Sa4Bc=之×4x4x血60°=45，底面 △ABC的外接圆半径为2r1= 483 45 in60° 31=3, 点P到平面C的距离为=√-(-所以= 子×4x4g162 3 3” 所以S△PBc=SaPa=SaP4c=2X4X4Xin60°=45， 设球01的半径为R,所以Vp-Bc=V0,-PB+VO1-PAC+Vo1PBC+ 6则2-行454)R,得R=5 3 4w6 46 √6 设球02的半径为，则 -P0.3 -2R-r 、3 -2× 37 R-PO1 46-R 46√6 3 33 2w6 一，又R三3，得下=6 3 6,所以球02的表面积为3=4× 必修第二册·BS (6)22 (6)=3m 19.1解析：如图①，设△BCD的中心为O1,则正四面体的外接球球心 0在A01上，连接0D,01D. 则0，D=子x0x-2万，40，=m-0=4, 2 设外接球的半径为R,则R2=(A01-R)2+D0,解得R=3. 设正四面体A-BCD内切球的半径为1，根据等体积法可得}× 2×(26)2×sin60x4=- 1 3×7×(26)2×sin60°×4，故1=1，根 据题意得R=3≥3r,r≤r1,所以r≤1. 0 :D ① ② 设001与球0的球面相交于点Q,如图②所示，画出截面图，01Q= R-001=2≥2r,故r≤1. 综上所述，r的最大值为1. 专题探究5空间线、面位置关系 黑题 专题强化 1.AC解析：对于A,因为A'NC平面A'C'CA,C'∈平面A'C'CA,P平 面A'C'CA,且C'主A'N,所以A'N,PC是异面直线，故A错误； 对于B,因为ACC平面A'C'CA,A'∈平面A'CCA,PE平面A'C'CA, 且A'EAC,所以A'P与AC为异面直线，故B正确； 对于C,连接MP,如图，因为棱AB,BC的中点分别为点M,P,所以 AC∥MP.因为AC∥A'C',所以MP∥A'C',可得AB∩平面A'C'PM=M, 故C错误； 对于D,因为AB,AC的中点分别为点M,N,所以MN∥BC.因为MN 平面BCCB',BCC平面BCCB',所以MW∥平面BCC'B'.因为 AC/A'C,A'C'=之AC=NC,所以四边形AC'CN为平行四边形，可 得A'N∥CC.因为A'N￠平面BCC'B',C'CC平面BCC'B',所以 A'N∥平面BCC'B'.因为MN∩A'N=N,MN,A'NC平面A'MW,所以平 面A'MN∥平面BCCB',故D正确 2.D解析：对于A,AC⊥BD,DD1⊥底面ABCD,ACC底面ABCD,则 DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,BD,DD1C平面BDD1,则AC⊥平面 BDD1,EFC平面BDD1,所以EF⊥AC,A正确； 对于B,A1C1∥AC,则A1C1⊥平面BDD1,又A1C1C平面A1C,B,则平 面AC1B⊥平面BDD1,而平面BDD1与平面BEF重合，所以平面 BEF⊥平面A1BC1,B正确； 对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1,A1B∥D1C, 而AD1￠平面A1C1B,C1BC平面A1C1B,则AD1∥平面A1C1B,同理 CD1∥平面A1C,B,又AD1∩CD1=D1,AD1,CD1C平面AD1C,因此平 面AD,C∥平面A1C1B,由EFC平面AD1C,得EF∥平面A1C,B,C正确； 对于D,曲于B,F分别为4C,m,上的动点，则袋与品不-定相 等，EF与AD1不一定平行，D错误. 3.①③解析：因为AB=4,BC=3,∠ABC=90°，所以AC=5,又PA⊥平 面ABCD,AC,AD,CDC平面ABCD,所以PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥CD 又AC=AD=5,所以PC=PD=√PA2+25,故①正确； 对于②，若BC∥平面PAD,又ADC平面PAD,平面ABCD∩平面 PAD=AD,所以BC∥AD,又四边形ABCD中，CD边长不确定，故 黑白题090 BC,AD不一定平行，故②错误： 因为AC=AD,E是CD的中点，所以AE⊥CD,又PA⊥CD,PA∩ AE=A,PA,AEC平面PAE,所以CD⊥平面PAE,又AFC平面PAE,所 以CD⊥AF,又AF⊥PE,CD∩PE=E,CD,PEC平面PCD,所以AF⊥ 平面PCD,又PDC平面PCD,所以AF⊥PD,故③正确. 4.B解析：如图①，若直线l1,12为相交垂直，故这两条直线L1,2确定 一个平面，设为a,又因为直线3,4满足311，山3112,4111,41 2,由线面垂直的判定定理得3⊥α，4⊥a,由线面垂直的性质定理得 l3∥4， 90 1 ① ② 如图②，若直线1,2为异面垂直，将两条直线11,2平移到15,6， 定能让两条直线5，l6相交垂直，从而5,6确定一个平面B, 同上，可以得到1，∥14，综上，直线13与l4位置关系为平行 5.②③解析：对于①，X,Y,Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z→X∥Y”是假命 题，如图中长方体共顶点的三条棱AB,AD,AA1; 对于②，X,Y是直线，Z是平面，根据线面垂直的性质定理可知，垂直 于同一个平面的两条直线互相平行，则“X⊥Z且YLZ→X∥Y”是真 命题： 对于③，Z是直线，X,Y是平面，根据垂直于同一条直线的两个平面 平行可知，“X⊥Z且Y⊥Z→X∥Y”是真命题； 对于④，X,Z是直线，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z→X∥Y”是假命题，如 图中长方体，X,Z分别是直线AD,AB,Y是平面ADD1A1,X⊥Z且Y⊥ Z,但XCY D B D 6.证明：(1)如图，连接A1G,并延长交BC于点D,连接AD,由点G为 △A1BC的重心，得D为BC的中点，由AB=AC,A1A=A1A,∠A1AB= ∠A1AC,得△A1AB≌△A1AC,则A1B=A1C, 因此AD⊥BC,A1D⊥BC.又因为AD∩AD D,AD,A,DC平面AAD,所以BC⊥平 面A1AD.因为A1AC平面A1AD,以BC1 A1A.又因为A1A∥B,B,所以B1B⊥BC. D (2)由A1A=AB=2,∠A1AB=60°，得△A1AB 为正三角形.同理△A1AC也为正三角形，则A,B=A,C=BC=2,从而 三棱锥A-ABC的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由G为△A1BC的重心，得AG⊥平面A1BC, 菱形ACC1A1中，AC1过A1C的中点，即直线AC1与平面A1BC的交 点为A,C的中点，因此G不在直线AC,上.又因为C,P⊥平面A,BC, 所以AG∥C,P. 四重难点拨 平行关系与垂直关系之间的相互转化： 如果一条直线垂直于两个 线面垂直的性质 平行平面中的一个平面， 那么该直线也垂直于另 个平面 线线平行 线面平行 面面平行 如果两平行直线中的一条垂直于一个 垂直于同一直线 平面，那么另一条也垂直于这个平面 的两个平面平行 参考答案 专题探究6空间角与空间距离问题 黑题 专题强化 1.D解析：因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,且平面 PAB∩平面PAC=PA,所以PA⊥平面ABC. 又BCC平面ABC,所以PA⊥BC.又∠ABC=90°，所以AB⊥BC.因为 PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB. 又PBC平面PAB,所以BC⊥PB.又因为PA=AB=6,BC=8,∠ABC= 90°，所以PB=62」 设点A到平面PBC的距离为d,所以三棱锥P-ABC的体积Vp-BC= 号aepA=子5ed,即写×x6x8x6=号x×6万xd, 1 1 11 解得d=32. 22g 3 解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1,因为ACt平 面A1BC1,且A1C,C平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1,所以AC到 平面A1BC1的距离，即为A到平面A1BC1的距离. 因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，且LBAC=90°，所以C1A1⊥A1B1, C1A1⊥AA1,又因为A1B1∩AA1=A1,且A1B1,AA1C平面AA1B1B,所 以C1A1⊥平面AA1B1B.因为CA1C平面CA1B,所以平面A1BC1⊥ 平面AA1B1B. 如图，过点A作AG⊥AB,由平面A1BC1∩平面AA,B1B=A,B, 且AGC平面AA1B1B,所以AG⊥平面A1BC1,则AG的长即为点A到 平面A1BC1的距离， 在Rt△AM1B中，AB=√2，AM1=2,所以A1B=√6，可得AG= AB·AM:-V2×2_25 6 所以点4到平面A,8C,的距离为2日 B. B AN (第2题) (第3题) 3.60 13 解析：因为平面∥平面A,D,CB,ADC平面，所以AD到平 面A,D,CB的距离即为平面a《与平面A1D,CB间的距离，易知AD∥ 平面A1D1CB,从而点A到平面A1D1CB的距离即为所求的距离. 如图，过点A作AH⊥A1B于点H.因为A1D1⊥平面A1BBA,A1D,C 平面A1D1CB,所以平面A1B1BA⊥平面A1D1CB. 又平面A1B1BA∩平面A1D1CB=A1B,所以AH⊥平面A1D1CB,则AH 即为所求 在Rt△BAA1中，AB=12,AA1=5,则AB=√JAB2+AA=13.因为 A宁AA想所以仙：会放平面a与平 1 AB 面40，c3的距离为智 4.ACD解析：连接BD,AC,对于A,因为SD⊥底面ABCD,BCC平 面ABCD,所以SD⊥BC,则BC与SD所成角的大小为90°，A项符合. 对于B,因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD,则AB与SC所成的 角为∠SCD=45°，B项不符合. 对于C,因为AD∥BC,所以SB与AD所成的角为∠SBC,由题知 ∠S8C=C=2>1,所以∠SBC>45°，C项符合 对于D,因为SD⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,所以SD⊥AC. 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又因为SD∩BD=D,所以ACI 平面SBD.因为SBC平面SBD,所以AC⊥SB,则AC与SB所成角的大 小为90°，D项符合. 5. 6 解析：如图，连接AC1交A1C于O,连接OD,在直三棱柱 黑白题091