第6章 专题探究4 空间几何体的切、接问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

个正四面体状的三角粽的体积为18√5cm3. 因为288π÷182≈35.52，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个， 故A正确，B错误； 10 12 一个圆柱状竹简棕的体积为 3 2 m×6=27 π(cm3),因为288m 2T≈21.33，所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确， 2 D错误 7.B解析：如图，过点A作AF⊥CB并交CB的延长线于F.因为平 面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,所以AF⊥平面 BCDE.又因为△ABC的面积为3，BC=2,所以 1BC·AF=3,所 1 以AF=3,所以V三装锥-ACE=V三按锥A-PEc=了SAPEC·AF≤ 1 3SAs0c·AF=】×号×2×1×3=1，当P在点D时取等号，故三棱雠 P-ACE的最大体积为1. B D 8.ACD解析：记平行六面体ABCD-AB1C,D1的体积V=6, 对于A,由平行六面体的性质，A1B∥平面D1DCC1,故点P到平面 D1DCC1的距离等于点B到平面D,DCC1的距离，故 1 V三楼输-（四=Vg-c0了×2V=1,故A正确：对于B,因为 V三装装r-B,D)做锥B0,8,底面面积固定，点P在线段A1B卫 位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；对于C,因为AB∥ CD1,A1B￠平面D1B1C,D1CC平面D1B1C,故A1B∥平面D1B1C,点 P到平面D,B,C的距离等于点B到平面D1BC的距离，故 V发n4e=V装as,6=V与袋，=分×宁=1，故C正确； 对于D,因为A1B∥CD1,A1B￠平面D1AC,D1CC平面DAC,故 A1B∥平面D1AC,点P到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的 1V=1,故 距离，故V三棱锥P-D,4C=V三校维B-D,4C=V三棱锥D1-BCA=3X D正确. 9.A解析：如图，光线在圆台内部扫过的面积为圆锥P0,P01的侧面 积令0A=1cm,01B=2cm,设0P=mcm,01P=ncm,则2P=号， .{m=1,则AP=1+1=2,BP=√22+2=22，.圆 锥P0,P01的侧面积的和为S=π×1×√2+r×2×22=5√2π(cm2). 10.18π+9√5π解析：可知圆锥的底面半径为3，高为6，根据勾股定理 得特线长为3,5，则圆锥侧面积为2×35×2m·3=9,5m,根据相 似三角形易知圆柱高为3，底面半径为子，则圆柱侧面积为2π× 必修第二册·BS 3 2 ×3=9π，圆锥底面积为π·32=9π.综上，几何体表面积为9π+ 9m+95π=18m+9√5π. 11.3(2-1)解析：设球形封闭几何体的半径为R,如图， R 正方体的棱长e满足(2a)2+(2 a =R2,因为a=2,所以R=3, 3 内切球半径r满足（√2+1）r=R,所以r= =3(√2-1). 2+1 12,解：()在题图②中，设圆锥的底面圆半径为，则2=宁×2x2, 解得r=1. 因为在题图①中，点B,C三等分半圆，所以在题图②中，点B,C为 圆锥的底面圆周的三等分点，则△ABC为等边三角形，所以 im60=2r=2,所以BC=5. BC 又因为点M,N分别是OB,OC的中点，所以MN=)BC=5 2 (②)图为5r宁5x5号圆维的有6=V示 万，所以c=宁x5cX=了×9万： 1 4 ，所以 11 6,即四面体ACMN的体积为3 3 16 (3)如图，连接BN,CM,BN与CM交于点P,连接OP并延长，OP交 BC于点E, 则三棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共部分即为三棱锥P-ABC. 因为点M,N分别是OB,OC的中点，所以E为BC的中点，且PE= 子0B,所以V区号'发0c=子，所以三枚锥M-A8C 与三棱锥N-ABC公共部分的体积为4 专题探究4空间几何体的切、接问题 黑题 专题强化 1.A解析：圆柱0,02的轴截面是边长为22的正方形，且圆柱0102 上、下底面圆的圆周都在球O的球面上， 则球0的半径为R=√00？+（√2）2=√2+2=2，则球0的表面积是 4T×22=16π. 2.54π解析：设圆柱的底面半径为r,球的半径为R由条件有R=r=3, 圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为πr2×2R=2mr=54π. B解析：如图，设圆锥P0,的外接球0半径为R,则】=2，解 3 得R=5,所以圆锥P01的底面半径为r=√R2-42=√5-4平=3，所 以当圆锥的高为R+4=5+4=9时，圆锥的体积最大，且其最大值为 黑白题088 3mx32x9=27m O M------0------3B (第3题) (第4题) 4.6解析：设圆柱的底面半径为1，则圆柱的表面积为2+2m1· 4=42π，解得r1=3或1=-7（舍去），故V圆柱=π×4=36m,设球的 半径为2，由号=36，得2=3，若圆能的底面半径最小，则需圆 锥与球相切， 如图，作出球与圆锥的轴截面图，设圆锥的底面半径为R,圆0与 △ABC的切点分别为G,E,H,则OE=OG=OH=3,OA=5,BG=BE= R,由AG⊥0G得，AG=4,所以AB=4+R=√R2+64,即R=6 5.C解析：如图，设O1,02分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心，四 边形ABCD是该圆台容器的轴截面， 圆O是球形创意冰激凌的截面，E,F分别为圆O与AD,BC的切点， 则DE=DO1=8,EA=AO2=2. 作AH⊥CD,垂足为H,则01H=02A=2,AH=0102,DH=D01-01H=6 因为AD=DE+EA=10,所以AH=√AD2-D=8,则001=002= 20,02=4,即该球形创意冰激凌的半径为4厘米，故该球形创意冰 4 激凌的体积 3Tx43=256 3(立方厘米). B、 0 H 0 A 0B (第5题) (第6题) 1 6.28m解析：设该圆台的高为h,则(9+3,2)m=3h(3m+√3mx6m+ 6π)，解得h=3. 由题意得，上底面圆的半径为BD=√3，下底面圆的半径为AC=√6， 设球心0到下底面的距离为t,即OA=t,则B0=3-t,由勾股定理得： 0A2+AC2=0B2+BD2,即2+（√6）2=(3-t)2+(5)2,解得t=1,则球 0的半径R=√P+6=√7，故球0的表面积为4πR2=28π. 7.C解析：由正方体性质知，内切球的直径等于棱长【，.由题意， ·（任）广-，得1=4正方我面=2=6 8.D解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6,所以底面三角形 肉切质半径为停6=5 因为存在一个可以在三棱柱ABC-A,B,C,内任意转动的正方体，所 以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径√a2+a2+a2-√3a应为底面内 切圆直径，即5a=25,即α=2，此时三棱柱的高大于球的直径，符 合要求 9.20π解析：因为AB=2,所以正六边形的ABCDEF的外接圆半径 r=2,所以球0的半径R=√22+12=√5，所以球0的表面积为S= 4TR2=20π. 10.287▣解析：由题意，三棱柱ABC-A,B,C是正三棱柱，设点M,N 3 分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 如图，由对称性知，MN的中点即球O的球心，取AB中点E(为切 参考答案 点)，则OE=MB(MB等于点O到棱BB1的距离)， 设球O的半径为R,由正三角形的性质， BW=DM=BW=R,AMN与底面垂直， B 则必与底面上直线EM垂直，故R2- (分)广'=0n=()9,舞得R=2 2 D 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即 点0，连接OA,AM,因为AM=2, E B 则OA=√AM2+OM2=√万，即该直三棱柱的 外接球的半径为7，故该球的体积为4。 /3mx(7)3-28万 3 11.A解析：因为三棱锥P-ABC的体积V= 宁5，其中S为三棱锥 P-ABC的表面积，r为其内切球的半径. 3了×(2+D·T=3,所以这个三棱锥内切球的 4 4 3m=3mx33=36m(m3). 12.B解析：如图，设P在底面ABCD的射影为H,则PH⊥平面ABCD, 且H为AC,BD的交点. 因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积为16，且AH= 42=2点，故号×Pm16=故PI=4 1 由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，设外接球的半径为R, 则OH=14-R1,故R2=8+(4-R)2,故R=3,故正四棱锥P-ABCD的 外接球的表面积为4×T×9=36m。 H B (第12题) (第13题) 13.B解析：如图，依题意可知该四棱锥是正四棱锥，且OS⊥平面AB- CD,则OS⊥OA, 0A=0B=0c=00=AC=×V202+20=10，0S= √AS2-0A2=V√202-(10W2)2=10√5，所以0A=0B=0C=0D= 0S=102,0到AB,BC,CD,AD的距离都是74B=10,在等腰直角 三角形0As中，0到SA的距离为？sA=10,同理可得0到 SB,SC,SD的距离也是10，所以O是皮球的球心，且皮球的半径为 10cm. 14.3π解析：如图，因为三棱锥P-ABC的三条棱PA,PB,PC两两垂 直，且PA=PB=PC=1,可得把三棱锥P-ABC补成一个棱长为1 的正方体，则三棱锥P-ABC的外接球和所补成的正方体的外接球 为同一个球， 设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,则2R=√12+12+12=√3 所以R= 3 ,所以三棱锥的外接球的表面积为S=4mR2=4m× (第14题) (第15题) 15.B解析：如图所示，作出正四棱台的过切点的轴截面，可知这个等 黑白题089 腰梯形的内切圆就是内切球的截面圆中最大的圆， 因为正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，且球的球心到正 四棱台各个面的距离均等于该球的半径，所以CD=1,AB=2, 设球的半径为R,在直角△BCH中，可得BC2=(2R)2+ 4,又由切 线长定理可得BC=CM+BM=FC+BB三名，所以RE?放球的体积 为V=4 16.C解析：设球0的半径为r,则4πr2=260m,得r=√65， C C A A Mr- M'- B ① ② 设M1为△A1B1C1的中心，M为△ABC的中心， 由题意可知，三棱台ABC-A1B,C,为正三棱台，MM1为其高，球心O 在直线MM1上， △4B,C,中，BM,=XAB,=4,在△BC克，BM -XAB=8. 故0M1=√P-B1M=7,0M=√P-BMP=1, 如图①，当0在线段M1M上时，M1M=OM1+OM=8,如图②，当O 在线段M1M的延长线上时，M,M=OM1-OM=6. 17.D解析：根据题意，连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心，可 得到一个正四面体S-ABC,该正四面体的棱长为4，如图所示， 设底面△ABC的中心为E,连接BE并延长交AC于点D,则D为AC 的中点，连接SE,则SE为正四面体S-ABC的高，所以该“三角垛” 的高度为E+2,由BD=-2=23,可得BE=3D=所 以=,√-(-5，所以三角绿的离度为52 2 D-- 1 (第17题) (第18题) 18.A解析：如图所示，依题意得Sa4Bc=之×4x4x血60°=45，底面 △ABC的外接圆半径为2r1= 483 45 in60° 31=3, 点P到平面C的距离为=√-(-所以= 子×4x4g162 3 3” 所以S△PBc=SaPa=SaP4c=2X4X4Xin60°=45， 设球01的半径为R,所以Vp-Bc=V0,-PB+VO1-PAC+Vo1PBC+ 6则2-行454)R,得R=5 3 4w6 46 √6 设球02的半径为，则 -P0.3 -2R-r 、3 -2× 37 R-PO1 46-R 46√6 3 33 2w6 一，又R三3，得下=6 3 6,所以球02的表面积为3=4× 必修第二册·BS (6)22 (6)=3m 19.1解析：如图①，设△BCD的中心为O1,则正四面体的外接球球心 0在A01上，连接0D,01D. 则0，D=子x0x-2万，40，=m-0=4, 2 设外接球的半径为R,则R2=(A01-R)2+D0,解得R=3. 设正四面体A-BCD内切球的半径为1，根据等体积法可得}× 2×(26)2×sin60x4=- 1 3×7×(26)2×sin60°×4，故1=1，根 据题意得R=3≥3r,r≤r1,所以r≤1. 0 :D ① ② 设001与球0的球面相交于点Q,如图②所示，画出截面图，01Q= R-001=2≥2r,故r≤1. 综上所述，r的最大值为1. 专题探究5空间线、面位置关系 黑题 专题强化 1.AC解析：对于A,因为A'NC平面A'C'CA,C'∈平面A'C'CA,P平 面A'C'CA,且C'主A'N,所以A'N,PC是异面直线，故A错误； 对于B,因为ACC平面A'C'CA,A'∈平面A'CCA,PE平面A'C'CA, 且A'EAC,所以A'P与AC为异面直线，故B正确； 对于C,连接MP,如图，因为棱AB,BC的中点分别为点M,P,所以 AC∥MP.因为AC∥A'C',所以MP∥A'C',可得AB∩平面A'C'PM=M, 故C错误； 对于D,因为AB,AC的中点分别为点M,N,所以MN∥BC.因为MN 平面BCCB',BCC平面BCCB',所以MW∥平面BCC'B'.因为 AC/A'C,A'C'=之AC=NC,所以四边形AC'CN为平行四边形，可 得A'N∥CC.因为A'N￠平面BCC'B',C'CC平面BCC'B',所以 A'N∥平面BCC'B'.因为MN∩A'N=N,MN,A'NC平面A'MW,所以平 面A'MN∥平面BCCB',故D正确 2.D解析：对于A,AC⊥BD,DD1⊥底面ABCD,ACC底面ABCD,则 DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,BD,DD1C平面BDD1,则AC⊥平面 BDD1,EFC平面BDD1,所以EF⊥AC,A正确； 对于B,A1C1∥AC,则A1C1⊥平面BDD1,又A1C1C平面A1C,B,则平 面AC1B⊥平面BDD1,而平面BDD1与平面BEF重合，所以平面 BEF⊥平面A1BC1,B正确； 对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1,A1B∥D1C, 而AD1￠平面A1C1B,C1BC平面A1C1B,则AD1∥平面A1C1B,同理 CD1∥平面A1C,B,又AD1∩CD1=D1,AD1,CD1C平面AD1C,因此平 面AD,C∥平面A1C1B,由EFC平面AD1C,得EF∥平面A1C,B,C正确； 对于D,曲于B,F分别为4C,m,上的动点，则袋与品不-定相 等，EF与AD1不一定平行，D错误. 3.①③解析：因为AB=4,BC=3,∠ABC=90°，所以AC=5,又PA⊥平 面ABCD,AC,AD,CDC平面ABCD,所以PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥CD 又AC=AD=5,所以PC=PD=√PA2+25,故①正确； 对于②，若BC∥平面PAD,又ADC平面PAD,平面ABCD∩平面 PAD=AD,所以BC∥AD,又四边形ABCD中，CD边长不确定，故 黑白题090专题探究4空间 黑题 专题强化 题组1球与圆柱的切、接问题 1.*(2025·陕西西安高一期中)已知圆柱 0,0,的轴截面是边长为2√2的正方形，且圆 柱O,O2上、下底面圆的圆周都在球0的球面 上，则球0的表面积是 () 256m A.16m C.64m D. 3 2.*(2025·山东菏泽高一月考)如图，在圆 柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母 线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱 的体积为 题组2球与圆锥的切、接问题 3.*(2025·湖南株洲高一期末)已 ,若 知某圆锥的外接球的体积为。 球心到该圆锥底面的距离为4，则该圆锥体积 的最大值为 A.9T B.27πC.18πD.48π 4.**(2025·广东惠州高一月考)将一个高为 4,表面积为42π的实心圆柱铁锭冶炼熔化 后，浇铸成一个球，现要将此球放入一个高为 8的圆锥形容器中，则该圆锥形容器的底面半 径的最小值为 题组3球与圆台的切、接问题 5.**(2025·湖北十堰高一期末) 某甜品店推出一款球形创意冰激 凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容 器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径 为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球 第六章 L何体的切、接问题 电子错题本 限时：45min 形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及 上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的 厚度)，则该球形创意冰激凌的体积是( 432立方厘米 B.16π立方厘米 c2的立方厘米 D.64m立方厘米 6.**(2025·陕西咸阳高一月考)已知某圆台的 体积为(9+32)π，其上底面和下底面的面积分 别为3π，6π，且该圆台两个底面的圆周都在球0 的球面上，则球O的表面积为 题组4球与棱柱的切、接问题 7.*已知正方体的内切球（球与正方体的 云个面都相切)的体积是，则该正方体的 表面积为 A.16 B.36 C.96 D.216 8.**(2025·山东泰安高一期中)如图，在正 三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,=6,若存在 一个可以在三棱柱ABC-A,B,C,内任意转动 的正方体，则该正方体棱长a的最大值为 A.1 B.√2 C.√3 D.2 9.*(2025·江西九江高一期中)已知正六棱 柱ABCDEF-AB,C,D,E,F,的各个顶点都在 球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底 面的距离均为1，若AB=2,则球O的表面积 为 黑白题143 10.*(2025·浙江杭州高二月考) 已知直三棱柱ABC-A,B,C,的侧 棱长为23，底面为等边三角形.若存在球0 与该三棱柱的各条棱都相切，则该直三棱柱 的外接球的体积为 题组5球与棱锥的切、接问题 11.**(2025·山东临沂高一期中)》 已知三棱锥P-ABC的体积为 3m3,侧面积为2m2,底面积等于1m2,则 这个三棱锥内切球的体积为 A.36πm3 B.12πm3 4 C.108πm3 D.3m 12.**(2025·广东揭阳高一期中)已知正四 棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，且正 四棱锥定面边长为4，体积为，则该球表面 积为 ( A.9T B.36m C.4π D. 3 13.**把一个皮球放入由8根长均为20cm的 铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面 与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮 球的半径为 A.103 cm B.10 cm C.102 cm D.30 cm 14.*(2025·山东潍坊高一期末) 已知三棱锥P-ABC的三条棱PA PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=1,则该三 棱锥的外接球的表面积为 题组6球与棱台的切、接问题 15.*(2025·湖南长沙高一期末)一个正四 棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若 一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球 的体积为 . 6mB. 3 C. 2 3 T D.2T 必修第二册·BS 16.*(2025·安徽芜湖高一期中) 若三棱台ABC-AB,C,的上、下底 讲解 面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形， 且其各顶点都在表面积为260π的球0的表 面上，AB=2A,B,=8√3，则三棱台ABC- AB,C1的高为 A.23 B.8 C.6或8 D.2√3或6 题组7球与球的相切问题 17.*(2025·重庆南岸区高 一期末)如图所示的形状出 现在南宋数学家杨辉所著的 《详解九章算法·商功》中， 后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， 第一、二层的每一个球均分别与其下一层相 邻的三个球相切现将“三角垛”放置在地面 上，若每个球的半径均为1，则第一层的球的 表面上的点到地面的最大距离为() A 26 -+1 B.26」 -+2 3 3 46 2+1 D.3+2 18.#(2025·河南商丘高一期中) 已知三棱锥P-ABC的棱长均为 讲解 4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球 0,然后再放人一个球O2,使得球0，与球 O,及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切，则 球O,的表面积为 () 3 B.5m C.6m D.7m 19.籍将半径为r的5个球放人由 一个半径不小于3r的球和这个球 的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的 五个空间内，若此正四面体的棱长为26，则 r的最大值为 黑白题144