第6章 6.2 柱、锥、台的体积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.2柱、锥、台的体积 白题 基础过关 限时：25min 题组1圆柱、棱柱的体积 5.*(2025·广东东莞高一期中)将半径为4 1.*(2025·安徽六安高一期末)已知圆柱的 的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 底面半径为1，侧面积为6π，则该圆柱的体积 ( 为 ( A.83π B. 83 A.T B.2T C.3m D.6T 3 2.已知正三棱柱ABC-A,B,C1的所有棱长 C.163m D.163 均为a,且其体积为16√3，则a= ( 3 m 6.*(2025·湖南长沙高一期末)已知正四棱 A.2 B.2W3 C.4 D.43 锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积 3.*苏教教材变式（2025·江苏南京高一期 的2倍，则此正四棱锥的体积为 末)一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干， 题组3圆台、棱台的体积 水面高度为3（如图①，底面处于水平状态） 7.*(2025·江西赣州高一月考)正四棱台形 将容器放倒（如图②，一个侧面处于水平状 状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下 态)，若此时水面与各棱的交点E,F,F,E1分 底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容 别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的 积是 高为 A.108 B.114 C.120 D.126 8.*(2025·山东烟台高一月考)一化学器皿为 圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和 5cm,高为l0cm(器皿厚度忽略不计).现将该器 皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若 溶液高度恰为5cm,则溶液体积为 () ① A.245 T cm3 B 245 -cm 3 题组2圆锥、棱锥的体积 C.490 T cm3 D. 490T 4.·(2025·天津河北区高一期中)如图所 3 cm 示，正方体ABCD-A,B1C,D1的棱长为1，则三 9.*(2025·陕西汉中高 C 棱锥D,-ACD的体积是 ( 一期末)如图，过三棱柱 D 下底面的边BC作一个截 面，截面与上底面的交线 为DE,D,E分别是A1C1,A,B1的中点.该截面 将三棱柱A,B,C,-ABC分成了两部分，设较大 A 部分的体积为V,较小部分的体积为V2,则 V 1 A. B. 3 C.1 D 6 2 第六章黑白题139 6.3球的表面积和体积 白题 基础过关 限时：25min 题组1球的表面积和体积 5.*(2025·江西宜春高一期中)如图，在梯 1.·(2025·四川遂宁高一期中)一个球的表 面积是16π，则它的体积是 ( 形ABCD中，AB∥DC,BC上MB,∠A=牙 A.64m B. 64π C.32m D. 32T AB=2CD=4,E为线段AB的中点，先将梯形 3 3 挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面 2.★*（多选）(2025·安徽淮南高一月考)某球 图形以线段BE的垂直平分线为旋转轴旋转 形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可 一周，则所得几何体的体积为 () 装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球 形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克 力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆 柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为 22T R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的 A.8T B. 3 C.7π D.6T 体积为V,包装盒的体积为V2,则 6.*(2024·江西上饶高一月考) 如图，“蘑菇”形状的几何体是由 半个球体和一个圆柱体组成，球的 半径为2，圆柱的底面半径为1，高 为4，则该几何体的表面积为 A.R=3r B.R=4r 重难聚焦 C.V2=9V1 D.2V2=27V1 3.*(2025·湖南邵阳高一月考)若三个球的 题组3球的切、接问题 体积之比为2：1：3，则这三个球的表面积之 7.*(2025·福建福州高一期 比为 中)一个体积为43π的球在 题组2简单组合体的表面积和体积 一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱 4.*(2025·辽宁沈阳高一月考)如图所示的 柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面 几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方 积为 ( 体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩 A.54√3 B.54 C.273 D.27 余部分，则该几何体的表面积为 ( 8.*★(2025·浙江杭州高一月 考)已知一个圆锥的侧面展开图 是一个圆心角为 为5"，半径为5的扇形若该 圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上， A.24-3m B.24-π 则球0的体积为 C.24+T D.24+5π 必修第二册·BS黑白题140以al=2,即”x1=2m,所以1=6.则该圆锥的侧面积为πl=6m. 设I为EF中点，O为正方形EFGH中心，连接MO,EO,Ml,则MO= 2C解折：145学1=2S=· 2,B0=2 r2)·l=32π. M0上EO,所以正四楼锥M-EFGH的侧棱ME-2,同 3.BC解析：因为AB=4.AC=22,所以BC=√AB2+BC2=2√6，即 2 MF= r=√6. 2 又因为AA,=3,所以圆柱的侧面积是S=2l=2π×√6×3=66π，圆 又EF=2 所以正四棱维，-PH的四个侧面都是边长为子的等 柱的表面积是S=2ml+2mr2=6√6π+12云. 4.12π解析：依题意可得，圆锥A的侧面积为π×1×4=4π， 边三角形， 设圆锥B的底面半径为r,则圆锥B的底面积为πr2=4π，可得r=2, 则四棱锥M-EFGH的表面积= 所以圆锥B的表面积为×2×4+4π=12m. 四方法总结 √3+1 2 圆锥（底面半 圆台（上、下底面 圆柱（底面半 径为下，母线 半径分别为r',r 6.2柱、锥、台的体积 几何体 径为r,高为) 长为) 母线长为) 白题 基础过关 1.C解析：设高为h.因为圆柱的底面半径为1，侧面积为6π，所 以2πh=6π，即h=3.所以圆柱的体积为πrh=3π 侧面 展开图 0 2.C解析：因为正三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长均为a,且其体积为 2nr 16区，则Sc=)260=令a2,所以V写楼#e1G号 底面 面积 S店=Tr2 S底=Tr2 S上底=Tr2, S下底= Sa·4A,==165,解得a=4放选C S制=2πrl 3.4解析：设正三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则水的体 侧面积 S侧=Tl S侧=πl(r'+r) 积V1=3S.因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点，所以S△ABr= 表面积 S表=2Tr(r+l) S表=Tr(r+l) S表=π(r2+ 子SS=子5，所以题图2中水的体积2=子弘又=， r2+r'l+rl) 所以3S=3 Sh,解得=4，所以该正三棱柱容器的高为4 5.A解析：由题意，得侧棱长为√(35)2-32=6，所以表面积为4×3× 4.B解析：在正方体ABCD-A,B1C,D1中，DD1⊥平面ABCD,且该正方 6+2×32=90(cm2). 6.D解析：设正方体的棱长为a,则正方体的表面积是6a2,正四面 体的棱长为1，则5Am= 2*1?1 2AD·CD= ,故V楼D40D 体，G0的楼长为2a,它的表面积是4x子x(20)2× 2 吉5a·m,=宁兮×1=。即三核锥，-4CD的体积是行 23a2,正四面体的表面积与正方体的表面积之比为1：3. 5.B解析：由题意知，设圆锥底面圆的半径为r,则4r=2πr,解得r=2 又母线长为4，所以圆锥的高为h=√42-22=25，所以圆锥的体积 7.20+125解析：如图所示，AB=DE=2,AD= 2×2=1,BC=2× 4=2,所以DC=√22+(2-1)2=√5，所以该四棱台的表面积为22+ 为=%85。 3 T. 42+4× 2×(2+4)×5=20+125. 323 6. 解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为 3 侧面的高， 8. W3+1 2 解析：如图所示： D 因为正四棱锥的底面边长为4，且侧面积是底面积的2倍，所以S侧 B E 4x?×4PE=2Sg=32,解得PE=4,所以P0=VPE-0E=25,所 G 以y四装cp3S座·P0=3×16x23=323 3 7.D解析：由题意有S=6x6=36,=3x3=9,A=6,所以=号(S,+ 由题意可得，底面四边形FGH为边长为的正方形，其面积 √/S1S2+S2)h= 3×(36+V36x9+9)x6=126. w22 2=2,四棱锥M-EFG为正四棱锥 8.B 解析：因为溶液高度恰为5m,所以溶液的上底面半径为'+5 2 必修第二册·BS黑白题086 3(m),下底面半径为5m,高为5m,所以溶液的体积V=}（3+ 由扇形圆心角为3，半径为5，得同维底面圆周长为2r2, 5 52+3x5)xmx5-245(em). √5，解得r=1. 3 因为扇形半径为5.所以2+h2=5.所以h=2. 9 5 解析：由题意知几何体AED-ABC为三棱台，设三棱柱 易知球心O在圆锥的高所在的直线上 设球0的半径为R,则r2+(h-R)2=R2,即12+(2-R)2=R2,解得R A,B,C1-ABC的高为h,三角形ABC的面积为S,由于D,E分别 是AC1,A1B,的中点，则DE∥B1C1,即△A,ED△ABC,则三角 5）3125m 。,所以球0的体积为子π×4=48 形AD的面积为氵，所以V4Aw=5弘，V传4C §6阶段综合 个 2%, V三楼台4,0-c12动 7 黑题 阶段强化 44h= V三棱杜AB,C1-ABC %12,所 :1.C解析：作出示意图如图所示，该几何体下部分为圆锥，上部分为在 V17 圆柱内挖去一个与下部分相同的圆锥，设点D到AB的距离为d,由 以75 题意可得aP×2=2,解得d=1,所以该儿何体的表面积为？× 6.3球的表面积和体积 2T×2×2+2m×2=8m 白题 基础过关 1.D解析：一个球的表面积是16π，设球的半径为R,球的表面积公式 为S=4πR2,代入可得16π=4πR2,解得R=2,所以球的体积为V= 号x2- 一)解析：由题图知R=3,故A正确，B错误；易知包装盒的高 4 为2r,故V2=πR2x2r=18π广3，又V1=3π3，所以2V=27V,故C错 误，D正确， 2B解析：设正方体的楼长为acm,则。+6x号Tx1- 3m×23,解 3.4:1:河解析：设三个球的体积为V,V2,V3,半径分别为R,R2, 38 R3,表面积分别为S,S2,S, 得a=√3*2 4πR4πR4TR 3.B解析：作正四棱台的中截面，如图所示，AB,DC,FE分别为丰水 由题意，得V:V2:V=3 33 =R:R3:R3=2:1: 枯水、井底的水面边长，则AB=3,CD=2,GH=2,H=3. 3,解得R1:R2:R,=2:1:5,所以S,:S2:S,=4mR:4mR: 因为EF_JE DC=C所以1=1，EF三)，所以枯水时节的水量为 DC JC'AB JB 4πR=R2:R形：R=4:1:35. 4,B解析：由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方 3(EF2+DC2+EFXDC)X3 21 4m3 体某个顶点为球心，2为半径的8球后的剩余部分，其表面积等于正 方体表面积减去三个半径为2的号圆，再加上2为半径的g球面， 则S=6x22-3× 4×mx22 1 P ×4×T×22=24-m. 545 5.A解析：连接DB,由题意知BC=0E=(AB-DC)am牙=2 D/O A B' 床个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆合的 (第3题) (第4题) B'C' 半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1，V圆台= 3(9m+m+ 4.D解析：如图，作线段C'D/y轴，交x轴于点D,则CD sin 456= 3 26 /9r×m)×2= 3,球=2× 人×4XP故该儿何体的体积 =3√2，所以边AB上的高为2CD=6√2 3 3 26m2m=8m 2 为V侧台-V华球=33 特数 5.C解析：母线SA.sB所成角的正弦值为1-3= 面积的和，所以所求表面积为S=2m×22+T×22+2π×1×4=20m.故答 案为20m. 锥的丹线长为1，则P,5 2 =515,獬得1=45 8 重难聚焦 故底面半径，=45=20，故该圆锥的侧面积为d=2V0× 7.A解析：设球的半径为R,因为号mR=45m,所以R=5。 45π=40W2π. 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱的高为2√3. 设正三棱柱底面边长为a, 6,AC解析：两碗馅料的体积为2××号rx6=28(cm)、 13 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，所以√5= 如图，在正四面体D-ABC中，CM为AB边上的中线，O为三角形ABC 3x24, 所以a=6,则正三棱柱的表面积为3×6×23+2× 2×6×6× 3 的中0，则00即为正四面体的高，CW=6×-35(m,0C 543. 3CM=25cm,0D=V36-2=26(cm） 8.125m 11 解析：设该圆锥的底面半径为r,高为h. 所以正四面体的体积为 48 3×2×6×35×26=182(cm), 参考答案黑白题087