第6章 6 简单几何体的再认识 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§6阶 黑题 阶段强化 1.*(2025·河南开封高一期末)以边长为2 的菱形ABCD的一边AB所在直线为轴，其他 三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知 该几何体的体积为2π，则该几何体的表面积为 ( A.2T B.4π C.8T D.16m 2.*(2025·山东青岛高一期中)将一个半径 为2cm的金属球熔化后，先浇铸成6个半径 为1cm的小球，再把剩余材料铸成1个正方 体，则该正方体的棱长大约为 A.1.5 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3 cm 3.*(2025·河北邢台高一期中)一口古井的 形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其 水面面积大约为4m2,水深3m,丰水时节水 面面积大约为9m2,水深5m,则枯水时节的 水量大约为 A.7 21 4 m B. D.7m3 4.*(2025·山东潍坊高一月考)如图所示， △A'B'C'表示水平放置的△ABC用斜二测画 法得到的直观图，A'B'在x'轴上，BC'与x'轴 垂直，且B'C'=3,则△ABC的边AB上的 高为 450 0'A'Bx A.3 B.3√2 C.6 D.6√2 第六章 段综合 电子错题本 限时：45min 5.*(2025·江西抚州高一期末)已知圆锥的 顶点为s,母线S4,SB所成角的余弦值为了 且该圆锥的母线是底面半径的√2倍，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为() A.40m B.(40+402)m C.40√2m D.(40+80√2)T 6.**（多选)(2025·福建宁德高一月考)“端 午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入 世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午 节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同 粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角 粽，也可做成底面半径为)cm,高为6cm(不 含外壳)的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料，若 一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体 积，则（参考数据：√2π≈4.44） A.这两碗馅料最多可包三角棕35个 B.这两碗馅料最多可包三角棕36个 C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个 7.(2025·安徽阜阳高一月考)如图，平 面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形， 且BE=1,BC=2,△ABC的面积为3，若点P 为线段DE上一点，则三棱锥P-ACE的最大 体积为 、B H √3 3 A. B.1 C.√3 D. 黑白题141 8.*(多选)(2025·陕西西安高一期中)如 图，平行六面体ABCD-A,B,C,D,的体积为6， 点P为线段A,B上的动点，则下列三棱锥中， 其体积为1的有 A.三棱锥P-C,CD B.三棱锥P-B,D,D C.三棱锥P-D,B,CD.三棱锥P-DAC 9.*(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)已知圆 台00，的上下底半径分别为1cm,2cm,高为 3cm.光源点A沿该圆台上底面圆周运动一 周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角 线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为 A.52m cm2 B.53T cm2 C.10√2mcm D.10V3πcm2 10.**北师教材变式(2025·山东泰安高一期 末)如图，圆锥P0的底面直径和高均为6， 过P0的中点O'作平行于底面的截面，以该 截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的 表面积为 09 0---- 11.装(2025·山西吕梁高一期末)如图，若 一个棱长为2的正方体内接于四分之一球形 封闭几何体（正方体的两个面分别在两个半 圆面上，另外两个顶点在曲面上)，则四分之 一球形封闭几何体的内切球的半 径为 必修第二册·BS黑 2.(2025·山东泰安高一期中)如图①，设 半圆的直径为4，点B,C三等分半圆， 点M,N分别是OB,OC的中点，将此半圆以 0A为母线卷成一个圆锥（如图②）.在图②中 完成下列各题： (1)求圆锥中线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积； (3)求三棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共 部分的体积 .. ① ② 白题1423(cm),下底面半径为5m,商为5m,所以溶液的体积V=子(32+ 52+3x5)Xmx5=245m(em). 3 93 解析：由题意知几何体A,ED-ABC为三棱台，设三棱柱 AB,C1-ABC的高为h,三角形ABC的面积为S,由于D,E分别 是AC1,AB,的中点，则DE∥B,C1,即△AED∽△ABC,则三角 形ABD的面积为氵，所以V我个版=，V装4版 7 7 h= 三楼台4，D-ac12站 441 2%,故 6.3球的表面积和体积 白题基础过关 1.D解析：一个球的表面积是16π，设球的半径为R,球的表面积公式 为S=4πR2,代入可得16π=4πR2,解得R=2,所以球的体积为V= m-x-32 4 3 2.AD解析：由题图知R=3r,故A正确，B错误：易知包装盒的高 4 为2r,故V=πR2×2r=18πr3,又V,=3πr3,所以2V2=27V1,故C错 误，D正确. 3.4:1:沔解析：设三个球的体积为V1,V2,V3,半径分别为R1,R2, R3,表面积分别为S1,S2,S3, 4πR,4mR,4mR 由题意，得：V:V=333 =R:R3:R3=2:1: 3,解得R1:R2:R3=2:1:3,所以S1:S2:S3=4πR:4πR3: 4πR3=R:R:R=4:1:3. 4.B解析：由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方 体某个顶点为球心，2为半径的g球后的剩余部分，其表面积等于正 方体表面积减去三个半径为2的号圆，再加上2为半径的名球面。 8 则S=6×22-3× 米1×T×22+。×4×π×22=24—T·■ 5.A解析：连接DE,由题意知BC=DE=(AB-DC)an4=2 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面 半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1，Vm台=3（9m++ V9m×m)x2=26 3,V球=2×1 =。ד,=?,故该几何体的体积 26m2m=8m 为V侧台-V半球=3“3 6.20π解析：依题意得，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧 面积的和，所以所求表面积为S=2m×22+T×22+2π×1×4=20m.故答 案为20m. 重难聚焦 7.A解析：设球的半径为R,因为mR=43m,所以R=5。 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱的高为2√3. 设正三棱柱底面边长为a, 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，所以5=】×5 32“, √3 所以a=6,则正三棱柱的表面积为3×6×2,5+2×2×6×6×2 543. 8.125m 解析：设该圆锥的底面半径为,高为. 48 参考答案 由扇形图心角为25”，半径为5，得同维底面圆周长为225。 5 √5，解得r=1. 因为扇形半径为5.所以2+h2=5.所以h=2. 易知球心O在圆锥的高所在的直线上， 设球0的半径为R,则r2+(h-R)2=R2,即12+(2-R)2=R2,解得R= ?所以球0的体积为 5）3_125m ×(4=48 §6阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：作出示意图如图所示，该几何体下部分为圆锥，上部分为在 圆柱内挖去一个与下部分相同的圆锥，设点D到AB的距离为d,由 题意可得P×2=2m,解得d=1,所以该几何体的表面积为2× 2T×2×2+2m×2=8m 2.B解析：设正方体的截长为am,则。+6×号X1- 4 3m×23,解 38=2 得a=3 3.B解析：作正四棱台的中截面，如图所示，AB,DC,FE分别为丰水、 枯水、井底的水面边长，则AB=3,CD=2,GH=2,H=3. 因为瓷是密后所11，F:分所U情卡时节的水量为 1 21 3(EF2+DC+EFXDC)x3-4m D6水B' (第3题) (第4题) 4.D解析：如图，作线段C'D∥yr'轴，交x轴于点D,则CD= B'C sin 456= 3 =3√2，所以边AB上的高为2CD=6√2 2 5.C解析：母线SA,SB所成角的正弦值为 设 锥的母线长为1，则2, 2 =5√15，解得l=45 8 故底面半径r=4 =2√10，故该圆锥的侧面积为Tl=2√10× 45m=40W2π 4 6.AC解析：两碗馅料的体积为2× 2×3m×63=288m(cm3). 如图，在正四面体D-ABC中，CM为AB边上的中线，O为三角形ABC 的中0，则00即为正四面体的高，CW=6×-35(m),0C= 3CM=25cm,0D=V36-12=26(m）, 1.1 所以正四面体的体积为了×2×6x3,5×2,6=18,5(m),即一 黑白题087 个正四面体状的三角棕的体积为182cm3. x3=9m,圆锥底面积为T·32=9m综上，儿何体表面积为9m+ 因为288π÷18√2≈35.52，所以这两碗馅料最多可包三角棕35个， 2 故A正确，B错误： 9π+95π=18π+95m. 11.3(√2-1)解析：设球形封闭几何体的半径为R.如图」 、R 一个圆柱状竹筒粽的休积为（2) 3 627 m(cm3),因为288m 正方体的棱长a满足（√2a)2+ 2m≈21.，3，所以这两碗馅料最多可包竹简粽21个，故C正确。 2 2 =R2,因为a=2,所以R=3 3 内切球半径r满足（√2+1）r=R,所以r= =3(2-1) D错误. 2+1 7.B解析：如图，过点A作AF⊥CB并交CB的延长线于F.因为平 面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,所以AF⊥平面 12.解：(1)在题图②中，设圆锥的底面圆半径为，则2= 22x2m, BCDE.又因为△ABC的面积为3，BC=2,所以 1 解得r=1. 2 -BC·AF=3,所 因为在题图①中，点B,C三等分半圆，所以在题图②中，点B,C为 1 以AF=3,所以V三校锥P-ACE=V三校锥1-PEc=3 S△PBC·AF≤ 圆锥的底面圆周的三等分点，则△ABC为等边三角形，所以 3S△c·AF=3×22x1x3=L,当P在点D时取等号，故三棱锥 sin60=2r=2,所以BC=3. BC P-ACE的最大体积为1， 又因为点M,N分别是OB,OC的中点，所以MN= 3 (2)因为Saux=×5x5x-圆维的高：V2。 241 √3，所以V三按链0-ABc= 3xSAMc xh=1x 3 433 ，所以 X2V=装输B4C0=年V三餐锥0-4c 1 8.ACD解析：记平行六面体ABCD-A,B,C,D,的体积V=6, V=装-4=2V装-40= 对于A,由平行六面体的性质，A1B∥平面D,DCC1,故点P到平面 D,DCC1的距离等于点B到平面D,DCC1的距离，故 6,即四面体ACMN的体积为，3 3 6 1 (3)如图，连接BN,CM,BN与CM交于点P,连接OP并延长，OP交 V=楼推r-(m=Vg-(m=3×2V=L,故A正确：对于B,因为 BC于点E, 则三棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共部分即为三棱锥P-ABC. 装-BDsA,w,底面面积周定，点P在线段A1B上 因为点M,N分别是OB,OC的中点，所以E为BC的中点，且PE= 位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；对于C,因为AB∥ CD,AB平面D1B1C,DCC平面D,BC,故AB∥平面D1B,C,点 3OE,所以V三楼锥rABc= 1 V三楼锥0-ABc= 3 ,所以三棱锥M-ABC P到平面DB,C的距离等于点B到平面DB,C的距离，故 1 与三棱锥N-ABC公共部分的体积为 41 V=核能P-D(e=V三楼f-D,Ac=V三楼锥D,-,3×2V=L,故C正确； 0 对于D,因为A1B∥CD1,AB￠平面DAC,D,CC平面D,AC,故 A,B∥平面D1AC,点P到平面D,AC的距离等于点B到平面D,AC的 距离，故V三旋锥P-D,AC=V三棱锥B=-D,Ac=V三棱锥D,BC1=3×2 V=1.故 D正确. 9.A解析：如图，光线在圆台内部扫过的面积为圆锥P0,PO,的侧面 积令01=1m,0,B=2cm,设0p=mem,0,P=ncm,则0P号 0P2 n+m=3,{m=l则AP=I+1=2,BP=√22+2=22，.圆 六{n=2m,n=2, 专题探究4空间几何体的切、接问题 锥P0,P0,的侧面积的和为S=π×1×√2+π×2×22=5v2π(cm2). 黑题 专题强化 1.A解析：圆柱0102的轴截面是边长为2√2的正方形，且圆柱010， 上、下底面圆的圆周都在球O的球面上， 则球0的半径为R=√/00+(2)2=√2+2=2，则球0的表面积是 4m×22=16π. 2.54π解析：设圆柱的底面半径为r,球的半径为R.由条件有R=r=3, 10.18π+95π解析：可知圆锥的底面半径为3，高为6，根据勾股定理 圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为Tr2×2R=2πr3=54π. 得母线长为35，则圆锥侧面积为 ×35×2m·3=95m,根据相 B解析：如图，设圆锥P0,的外接球0半径为R,则4，=00，解 3 似三角形易知圆柱高为3，底面半径为子，则圆柱侧面积为2× 得R=5,所以圆锥P01的底面半径为r=√R2-4P=√5-4？=3，所 以当圆锥的高为R+4=5+4=9时，圆锥的体积最大，且其最大值为 必修第二册·BS黑白题088