第6章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§6简单儿何体的再认识 6.1柱、锥、台的侧面展开与面积 白题 基础过关 限时：25min 题组1，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积 题组2棱柱、棱锥、棱台的侧面展开与面积 1.·(2025·广东惠州高一期末)已知圆锥的 5.★（2025·江苏南京高一期末)已知正四棱 底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是 60°的扇形，则该圆锥的侧面积为 3√5cm,则这个正四棱柱的表面积为() ( A.90 cm2 B.36√5cm2 A.6π B.12m C.72 cm2 D.54 cm2 C.3π D.2T 6.*(2025·福建福州高一期中)如图，在正 2.*(2025·湖北襄阳高一期末)已知圆台上、下 方体ABCD-A,B,C,D1的八个顶点中，有四个 底面的半径分别为1,2，圆台的母线与底面所成 顶，点A,B1,C,D,恰好是正四面体的顶点，则 的角为45°，则圆台的侧面积为 ( 此正四面体的表面积与正方体的表面积之 比为 ( A.√2m B.2√2m C.3√2m D.42m 3.(多选)(2025·湖南邵阳高一期中)如 D 图，四边形BCC,B,是圆柱的轴截面，AA,是圆 柱的一条母线，已知AB=4,AC=2√2，AA1=3, 则下列说法正确的是 A.√3：1 B.1:√2 C.√6：2 D.1:3 7.*(2025·山西太原高一月考)若一个正四 棱台的上、下底面边长分别为2,4，它的高 为2，则该四棱台的表面积为 8.(2025·河北石家庄高一期中)已知正方 A.圆柱的侧面积为2√3π 体ABCD-AB1C,D1的棱长为1，除平面ABCD B.圆柱的侧面积为6√6π 外，该正方体其余各面的中心分别为点E,F, C.圆柱的表面积为6√6π+12m G,H,M(如图)，则四棱锥M-EFGH的表面 积是 D.圆柱的表面积为2√6π+6m 4.*(2025·河南信阳高一期末)已知圆锥A 与圆锥B的母线长均为4，圆锥A的底面半径 E r 为1，且圆锥A的侧面积等于圆锥B的底面 积，则圆锥B的表面积为 必修第二册·BS黑白题138 电 6.2柱、锥、台的体积 错题本 白题 基础过关 限时：25min 题组1圆柱、棱柱的体积 5.*(2025·广东东莞高一期中)将半径为4 1.*(2025·安徽六安高一期末)已知圆柱的 的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 底面半径为1，侧面积为6π，则该圆柱的体积 ( 为 ( ) A.8√3m B. 83 A.TT B.2m C.3π D.6T 3 T 2.*已知正三棱柱ABC-A,B,C1的所有棱长 C.163π D.l63 均为a,且其体积为16√3，则a= () 3 6.*(2025·湖南长沙高一期末)已知正四棱 A.2 B.23 C.4 D.43 锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积 3.*苏教教材变式（2025·江苏南京高一期 的2倍，则此正四棱锥的体积为 末)一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干， 题组3：圆台、棱台的体积 水面高度为3（如图①，底面处于水平状态）. 7.*(2025·江西赣州高一月考)正四棱台形 将容器放倒（如图②，一个侧面处于水平状 状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下 态)，若此时水面与各棱的交点E,F,F,E1分 底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容 别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的 积是 高为 A.108 B.114 C.120 D.126 A 8.*(2025·山东烟台高一月考)一化学器皿为 圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和 5cm,高为10cm(器皿厚度忽略不计).现将该器 皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若 溶液高度恰为5cm,则溶液体积为 ① ② A.245πcm3 B.245 3 cm3 题组2圆锥、棱锥的体积 490m 4.·(2025·天津河北区高一期中)如图所 C.490πcm3 D. 3 cm3 示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三 9.*(2025·陕西汉中高 棱锥D,-ACD的体积是 ( 一期末)如图，过三棱柱 E D 下底面的边BC作一个截 C 面，截面与上底面的交线 为DE,D,E分别是A1C1,A1B,的中点该截面 、 将三棱柱AB,C1-ABC分成了两部分，设较大 部分的体积为V,较小部分的体积为V2,则 A. B. C.1 D. 6 2 第六章黑白题139上任意一点到平面A,EF的距离等于点B,到平面A,EF的距离， 由(1)知，AF⊥平面B,C,CB,又MFC平面BC,CB,.A,F⊥MF. I∥EF,FM⊥I,∴.MF⊥EF,且AFOEF=F,AF,EFC平面AEF ∴.MF⊥平面AEF,即点B,到平面A1EF的距离等于线段MF的长 度，则MF=√2T 7 由条件可知：∠B,F=∠EC,B,F=CF-,设CE=a V21 MF 7 s2 CE .sin∠MB,F= BF= 2,且sin LEFC,=E3F 27 解得a=1,∴.CE:EC1= 7 √3 a2+ a2+ 11 C B 9.(1)证明：在三棱台ABC-A,B,C,中，AB∥A,B1,AB=2AA,= 2A1B1=2BB1=2, 1 在等腰梯形ABB,A,中，cos∠ABB24B-4,B,) BB 2 由余弦定理得AB=AB2+BB-2AB·BB,COs∠ABB,=3, 则AB2=AB+BB,即AB1⊥BB1, 而平面ABB,A1⊥平面BCC,B,平面ABB,A,∩平面BCC,B,= BB1,AB,C平面ABB,A1, 所以AB,⊥平面BBC1C (2)解：过B1作B1H⊥AB,垂足为H,如图①. 因为AB1⊥平面BCC,B1,又BCC平面BCC,B1,所以AB,⊥BC, 又BA⊥BC,BA∩AB1=A,BA,AB,C平面ABB1A1,所以BC⊥平 面ABB,A1,B,HC平面ABB,A1,得BC⊥B,H, 又AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC,则B,H⊥平面ABC,∠BAB 为AB1与平面ABC所成角，cOs∠B,AB= -AB=,因此∠B,AB= AB 30°，所以AB1与平面ABC所成角为30. H ② 9 (3)解：三棱台ABC-AB1C侧棱AA1,BB1,CC1延长线交于一点P 由(1)得△PAB为正三角形，由BC⊥平面ABB,A,BCC平面ABC, 得平面ABC⊥平面PAB,取AB中点N,则PN⊥AB,而平面ABC∩平 面PAB=AB,PWC平面PAB,则PN⊥平面ABC,作FE∥PN交CN于 E,则FE⊥平面ABC,而ABC平面ABC,则AB⊥FE,作ED⊥AB于D, 连接FD,ED即FD在平面ABC上的投影，如图②. 又DE∩FE=E,DE,FEC平面DEF,则AB⊥平面DEF 又FDC平面DEF,于是AB⊥FD,∠FDE为二面角F-AB-C的平 面角， 参考答案 若存在F使得∠FDE= 6 DE ND EF CE BD EF DE BD ND 设FE=3,则DE=3,BC-NB'PN CNNB·EN'BG-NE'NB, 即33 2 2 =l,解得1=号，PN=5,CN=√B+BC=5,PC= 22,CC,=2,因此CF=CFEF2 2 CP-PN-5CF-4 <CC1=√2，所以存 4W2 在满足题意的点F,CF= 5 压轴挑战 ACD解析：对于A,在矩形ABCD中，因为M,N为AD的三等分点， 放MN=号AD,同理BP=号BC=专4D,面MN∥B即，放因边形BPV 为平行四边形，故BM∥PN,同理PN∥DQ. 在直角三角形ABM中，AB=√3，AM=1,故an∠AMB=√3， 而∠AMB为锐角，故∠AMB=60°，同理∠DAC=30°，故∠AKM=90°，故 BM⊥AC,故PN⊥AC,同理QD⊥AC, 故在三棱锥F-ABC中，有PG⊥AC,NG⊥AC,而NG∩PG=G,NG,PGC 平面NGP,故AC⊥平面NGP,故A正确； 对于B,因为BK∥PG∥QO,所以∠PGM即为直线MG与OQ所成角 又NG⊥BK,所以NG⊥PG,且PG⊥AC,AC∩NG=G,AC,NGC平面FAC, 则PG⊥平面FHC因为NcC平面FMC.所以PGLMG,即∠PGM=受 即直线MG与0Q所成角为7，故B错误： 对于C,当二面角F-AC-B的平面角为时，在平面NGP中，过N 作NT⊥PG,垂足为T,连接BT,如图，由A的分析可得NG⊥AC,PG 4AC,故∠PGN为二面角F-AC-B的平面角，故∠PGN=?,故 ∠TGW= 3,故7W=Gwx3.1 2=2,7G=GNx 11 11 2=2,其中BG=AB=VB,AG=2AC=5,故∠BCM=60,故∠BGP= 30°，所以∠BGT=150°，故BTP=BG2+GT2-2BG·GTcos∠BGT=3+ 319 因为AC⊥平面PNG,而ACC平面ABC,故平面ABC⊥平面PNG,而平 面ABC∩平面PNG=PT,PTC平面PNG,故NT⊥平面ABC.因为BTC平 面ABC,故NTBT故B2=BT+TV2=4+年=2，故BN=2,放 C正确； B C 对于D.由A的分析可得OG⊥PG,OG⊥OF,故OG为PG与OF的公垂 线，故直线OF上的点到直线PG的最短距离为即为OG= 2 D正确， §6简单几何体的再认识 6.1柱、锥、台的侧面展开与面积 白题 基础过关 1.A解析：设圆锥的母线为1，底面半径为r,侧面展开图扇形的圆心角 为a,则a=60°=3， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，所 黑白题085 以l=2,即：x1=2m,所以1=6.则该圆锥的侧面积为πl=6m. 设I为EF中点，O为正方形EFGH中心，连接MO,EO,Ml,则MO= 2C解折：=145-学1=25飘=· 2,B0=2 r2)·l=32π. MO L EO,所以正四棱锥M-EFGM的侧棱ME三2，园 3.BC解析：因为AB=4,AC=2√2，所以BC=√AB2+BC2=2√6，即 2 MF= r=√6. 2 又因为AA,=3,所以圆柱的侧面积是S=2πl=2π×√6×3=66π，圆 又EF=2 所以正四棱维W-H的四个侧面都是边长为子的等 柱的表面积是S=2ml+2mr2=66T+12π. 4.12π解析：依题意可得，圆锥A的侧面积为π×1×4=4π， 边三角形， 设圆锥B的底面半径为r,则圆锥B的底面积为πr2=4π，可得r=2, 则四棱锥M-EFGH的表面积= 所以圆锥B的表面积为π×2×4+4T=12T 4() 四方法总结 W3+1 2 圆锥（底面半 圆台（上、下底面 圆柱（底面半 6.2柱、锥、台的体积 几何体 径为r,高为) 径为r,母线 半径分别为r',r 长为) 母线长为) 白题 基础过关 1.C解析：设高为h.因为圆柱的底面半径为1，侧面积为6π，所 以2πh=6π，即h=3,所以圆柱的体积为πrh=3π 侧面 展开图 2.C解析：因为正三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长均为a,且其体积为 2nr 16√3，则Se=2im60°=年a2,所以V三楼柱c4G三 底面 S上底=Tn'2, 面积 S店=Tr2 S底=Tr2 S下底= Sa·4A,==165,解得a=4放选C 3.4解析：设正三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则水的体 侧面积 S制=2πrl S侧=Tl S侧=πl(r'+r) 积V1=3S.因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点，所以S△ABF= 表面积 S表=2Tr(r+l) S表=Tr(r+l) S表=π(r2+ r2+r'l+rl) 子5.，Sm手5，所以题图②中水的体积=h又上=。 所以3S=3 Sh,解得=4，所以该正三棱柱容器的高为4 5.A解析：由题意，得侧棱长为√(35)2-32=6，所以表面积为4×3× 4.B解析：在正方体ABCD-A,B,C,D1中，DD1⊥平面ABCD,且该正方 6+2×32=90(cm2). 6.D解析：设正方体的棱长为a,则正方体的表面积是6a2,正四面 体的棱长为1，则5An= 212s1 2 AD.CD=1 ,故V=楼D4CD= 体，G0的楼长为2a,它的表面积是4x子x(20)2× 2 宁5aua·0m,=了×宁X1=石，即三按推A4CD的体积是石 11 23a2,正四面体的表面积与正方体的表面积之比为1：3. 5.B解析：由题意知，设圆锥底面圆的半径为r,则4r=2πr,解得r=2 又母线长为4，所以圆锥的高为h=√42-22=25，所以圆锥的体积 7.20+125解析：如图所示，AB=DE=2,AD= 2×2=1,BC=2× 4=2,所以DC=√22+(2-1)2=√5，所以该四棱台的表面积为22+ 为=%85。 3 T. 4+4x2×(2+4)x5=20+125. 323 6. 解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为 3 侧面的高， 8. W3+1 2 解析：如图所示： D 因为正四棱锥的底面边长为4，且侧面积是底面积的2倍，所以S侧 B 4x?×4PE=2Sg=32,解得PE=4,所以P0=VPE-0E=25,所 G 以VcD=3S座·P0=3×16x23=23 3 7.D解析：由题意有S,=6x6=36,S=3x3=9,h=6,所以V=写(S+ 由您意可得，底面四边形BF0为边长为子的正方形，其面积 /S1S2+S2)h= 3×(36+√36x9+9)x6=126. w212 2 =2,四棱锥M-EFGM为正四棱锥 8.B 解析：因为溶液高度拾为5cm,所以溶液的上底面半径为+5 必修第二册·BS黑白题086