第6章 3 空间点、直线、平面之间的位置关系-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

由平面直观图的性质知，0B'=0B=1,0C=之0C=1,所以AB'= 1.又因为∠x'0'y'=45°，所以∠0'B'A'=135 在△O'B'A'中，由余弦定理得O'A2=O'B2+A'B2-2O'B'·A'B'· c0s∠0'B'A'=1+1-2c0s135°=2+√2， 所以0A'=/2+√2，故答案为√/2+2 7.解：(1)因为0'A'与x'轴重合，则OA与x轴重合，且OA=0'A'=2: BC与x轴平行，则BC与x轴平行，且BC=BC'=3: 0'B'与y轴重合，则OB与y轴重合，且OB=20'B'=6: 连接AB,OC,即可得四边形OABC,如图①. 4 5■■■■■o5x ① (2)如图②所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱挖 去一个同底等高的圆锥所得的几何体 ③ §3空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1空间图形基本位置关系的认识+ 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 白题基础过关 1.B解析：点和面、点和线的关系用∈和表示，线面关系用C和￠表 示，所以答案选B. 2.A解析：如题图所示，两个平面α与B相交于直线m,直线n在平 面α内，直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达为 anB=m,nCa,m∩n=A. 3,BD解析：根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定 平面面积，A错误： 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直 线在这个平面内，可得若A∈a,B∈a,A∈a,B∈，则aCa,B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确， 4.C解析：自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触，点不在同一条 直线上，它们可以确定唯一一个平面，因此自行车就稳了，其中蕴涵 的道理是不共线三点确定一个平面. 5.7解析：由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使 确定的平面最多，则没有任何三点共线，同一平面的四个点一定能两 两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五 个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是 7个面. 6.C解析：在空间四边形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，有E 平面ABC,F∈平面ABC,则直线EFC平面ABC, 同理，直线GHC平面ADC,因EF,GH能相交于点P,即PeEF,P∈ GH,因此P∈平面ABC,P∈平面ADC,而平面ABC∩平面ADC=AC. 于是有P∈AC,A不正确，C正确，D不正确：又直线AC与BD没有公 必修第二册·BS 共点，即点P不在直线BD上，B不正确 7.B解析：如图，连接AD1,BC1,BD1,BE.O∈直线AE,AEC平 面ABC1D1,,O∈平面ABCD1.又O∈平面BBD1D,平面 ABC,D1n平面BB,D,D=BD1,∴.Oe直线BD1,D1,0,B三点共线 ,△ABO△ED1O,.OB:OD1=AB:ED,=3:1,∴.OB=3OD1.故 选B. D (第7题) (第9题) 8.A解析：由直线AB与直线CD相交，得点A,B,C,D确定一个平面」 故充分性成立：当点A,B.C,D共面时，直线AB与直线CD有可能平 行，还有可能相交，故必要性不成立 9.既不充分也不必要解析：如图，在正方体ABCD-A1B,C,D1中， AA1,AB,AD三条直线两两相交，但AA1,AB,AD不共面；AB,AD,BC 都在平面ABCD中，但AD,BC不相交，所以空间中有三条直线a, b,c,则“a,b,c两两相交”是“a,b,c共面”的既不充分也不必要条件 10.BD解析：对于选项A:如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么 这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确： 对于选项C:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两 个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不 互补.反例：如图，在正方体ABCD-AB,C,D1中，∠AD,C1与 ∠A,BC满足AD1上A,B,CD⊥CB,但是∠AD,C,=2, ∠ABC=3,二者既不相等也不互补，故选项C错误： 对于选项D:如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直 线互相平行，故选项D正确.故选BD. 11.D解析：如图①，∠AOB=∠A,01B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方 向相同，但是OB与OB,不平行. 0 B ① 如图②，∠A0B=∠A101B1,0A∥01A1,0A与0，A1的方向相同，此 时OB∥O1B,且方向相同，故OB与O1B,不一定平行，故D正确 0 B 0 -A ② 12.60°或120°解析：空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.因为空间中角α 的两边分别平行于角B的两边，所以与B相等或互补.因为α= 60°.所以B=60°或120°. 黑白题070 13.C解析：对于A,如图①，b∥c,a,c相交，故A借误； ① ② 对于B,若c与a,b都不相交，而c,a共面且c,b共面，故c∥a,c∥b 则a∥b,与a,b异面矛盾，故B错误： 对于D,如图②，c与a,b都相交，故D错误； 对于C,结合A,B可得c与a,b中至少一条相交 14.D解析：在正方形ABCD中，AB∥CD,所以D在平面ABCD内，D 不在直线AB上.又E不在平面ABCD内，所以AB与DE异面：因为 BCC平面ABCD,V在平面ABCD内，N不在直线BC上，又E不在平 面ABCD内，所以BC与EN异面：因为CDC平面ABCD,B在平 面ABCD内，B不在直线CD上，又M不在平面ABCD内，所以CD与 BM异面：如图，连接BD,BE,MN,因为点N为正方形ABCD的中心， 又M是线段ED的中点，所以MW∥BE,所以B,M,N,E在平面BDE 内，所以BM与EN不是异面直线 E (第14题) (第15题) 15.C解析：如图，取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE, 则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件知 BD=DE=EB=√2，则∠BDE=60° 16.D解析：如图，过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PV,则 ∠PAN即异面直线OM与AP所成角或其补角，设AO=ON=1,可知 ∠OAN=∠ONA=∠AOM=60°.则AN=1.因为轴截面PAB为等边三 角形，所以PA=PN=2,在△APWN中，由余弦定理得cOs∠PAN= PI2+A2-PY_4+1-4三1，所以异面直线OM与AP所成角的余 2PA·AN2×2×14 弦值为赦选D, / A -方B B4- M M (第16题) (第17题) 17.43或4解析：如图所示，取BD的中点E,连接ME,NE.因为M,N 分别是BC,AD的中点，所以ME∥CD且ME三)CD=4,NE 且E= 2AB=4,从而LMEN(或其补角)即为AB与CD所成的角 又因为异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEW=60°或 120°，当∠MEN=60°时，由余弦定理可知MW= √EN2+EM2-2×EN×EM×cos60°=4；当∠MEN=120°时，由余弦定 理可知MN=√EW2+EM2-2×EN×EM×Cos120°=4√3. 黑题应用提优 1,A解析：假设AC,BD不是异面直线，则AC,BD在同一平面内 设AC,BD都在平面Q内，则A,B,C,D四点都在平面a内，所以直 线AB,CD也都在平面x内，与已知AB,CD是两条异面直线矛盾，所 以假设不成立，直线AC,BD一定是异面直线. 参考答案 2.BCD解析：作出原正方体，如图所示，连接AF D(H B(E) 对于A选项，因为BD∥CF且BD=CF,则四边形BDCF为平行四边 形，故AB与CD所成的角的大小为∠ABF或其补角，易知△ABF为 等边三角形，则∠ABF=60°，所以直线AB与CD所成的角的大小为 60°，A错；对于B选项，由A可知，四边形CDEF为平行四边形，则 CD∥EF,B对：对于C选项，由图可知，GH∩n平面EGF=G,GEF EFC平面EGF,所以直线EF与GH为异面直线，C对：对于D选项 因为AH∥GF且AH=GF,故四边形AFGH为平行四边形，所以 GH∥AF,所以GH与AB所成的角为∠BAF或其补角.因为△ABF为 等边三角形，则∠BAF=60°，即直线GH与直线AB所成角的大小为 60°.D对. 3.B解析：如图，延长AE交直线DC于G,连接D,G交CC1于F,连接 .则国边形m即为所术款面，由想设有总瓷-告子·即 F为D,G的中点，连接BC1,则EF∥BC,且EF=2BC又AB∥ DC∥D,C1,AB=DC=D,C,,则四边形ABC,D1为平行四边形，所以 AD,∥BG,且AD=BC,故AD,∥EF且EF=?AD又AE=DE,所 以四边形AEFD,为等腰梯形. D P D B (第3题) (第4题) 4.A解析：如图，在正方体ABCD-A1B,CD1中，不妨设三条两两异面 的直线为AD1,BB1,CD, 令P∈AD1,作平面PP,BB,过BB1,则过P与BB1相交的直线都在 平面PP,BB,内，作平面PP,CD过DC,则过P与DC相交的直线都 在平面PP2CD内，平面PP,BB1与平面PP2CD不平行且不重合，有 且仅有一条公共直线，所以直线1只有1条. 5.5解析：作图并观察可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD BC,BB1,AM1,C1D1,共5条. D 71 D E ⊙1 (第5题) (第6题) 2 解析：如图所示，分别取AB,CD的中点E,F,连接E,F,则由正 四面体的性质，EF过正四面体的中心O,所以平面OAB即平面FAB 平面OCD即平面ECD.又因为EFC平面FAB,EFC平面ECD,所以 平面OAB和平面OCD位于正四面体内部的交线为线段EF.又因 为正四面体ABCD的棱长为1，则由勾股定理可得FA=FB= .所以在等腰三角形FAB中，丨EFI= a√(（兮-9 7,证明：(1)PQC平面PQR,M∈直线PQ,Me平面PQR RQC平面PQR,N∈直线RQ, 黑白题071 .WN∈平面PQR,.直线MNC平面PQR. (2):M∈直线CB,CBC平面BCD,∴.M∈平面BCD. 由(1)知，M∈平面PQR,.M在平面PQR与平面BCD的交线上， 同理可知N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上， .M,N,K三点共线..点K在直线MW上. 压轴挑战 解析：如图，延长DF,交AB的延长线于 4 点Q,连接EQ,EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D,E,F共面，因为AB∩DF= Q,所以Q∈a,Q∈平面PAB, 又因为∩平面PAB=EG,故E,G,Q三点共 线，即EQ∩PB=G. 取AB的中点M,连接EM,因为CF=2FB,由△FBQ∽△FCD,可得BQ= 2 CD, 因为BM=号AB=CD,所以BM=B0.又E是棱PH的中点，则 EM∥PB,则得EG=GQ, 故有BG=之EM又EM=之PB,所以BG=4PB.故B子 PG 3 §4平行关系 4.1直线与平面平行 白题 基础过关 1.A解析：直线1∥平面α，∴.根据直线与平面平行的性质知l∥a, l∥b,l∥c,…,a∥b∥c∥…，故选A. 2.B解析：，MN∥平面PAD,MNC平面PAC,平面PAD平面PAC= PA,∴.MN∥PA. 3.B解析：如图所示，在平面ABB1A1内，作MF∥AA1,与DE交于点 F,连接CF,则MF∥CC1,所以MF,CC1共面.因为MW∥平面CDE,由 线面平行的性质知MN∥CF,所以MFCN是平行四边形，所以MF= CN.又M是AB,的中点，所以MF是梯形A,B,DE的中位线， 设41=6，则MF==,=2,即CN=之所以CN=6 2 CN 5 B B 4.5解析：因为AB∥平面a,ABC平面ABCD,平面ABCD∩平 面a=MN,故AB∥MN,而点M是AD的中点，故点N是BC的中点， 即MN是梯形ABCD的中位线，放MN=46 5. 5.(1)证明：由题意知，AD∥平面EFGH,BC∥平面EFGH.因为平 面ACD∩平面EFGH=FG,平面ABD∩平面EFGH=EH,所以 FG∥AD,EH∥AD,所以FG∥EH.因为平面ABCn平面EFGH=EF,平 面BCD∩平面EFGH=HG,所以EF∥BC,HG∥BC,所以EF∥HG,所 以截面EFGH为平行四边形. (2)解：因为AD,BC成角为60，所以∠HBF=60°或120.设 B= 因为EE、AB 为配格，8c=,所以=由绍能得= x)a,所以平行四边形EFGH的面积S=EF·EH·sin60°=a.x·a(1- 22 1-x,即x=了时等号成立，即E为AB的中点时，截面EGn的面积 必修第二册·BS 最大为 6.A。解析：直线a∥平面a曰直线a与平面a无交点台直线a和平面α 内的任意一条直线都不相交，A正确：若直线a与平面α内的两条直 线平行，则直线a可能在平面a内或与平面a平行，B错误：若直线a 与平面a内无数条直线不相交，则直线a可能在平面a内或与平面a 平行或与平面α相交，C错误；若直线a上有两个点不在平面α内， 则直线a可能与平面α平行或与平面a相交，D错误 7.D解析：在转动过程中，CD∥AB,易得CD∥平面a或CD在平面a 内.故选D. 8.ABD解析：A.由条件可知，在梯形ABCD中，AD和BC是相交直线 且BC￠平面ADDA1,则直线BC与平面ADD1A,相交，所以平 面ADD,A,内任意一条直线都不与BC平行，故A正确： B.平面BCC,B1与平面ADD,A,相交，则平面BCC,B,内与交线平行 的线都与平面ADD1A,平行，故B正确； C.设平面ABB,A1和平面CDD1C1交于直线I.因为AB∥CD,AB￠平 面CDD,C1,CDC平面CDD1C1,所以AB∥平面CDD,C,.因为ABC平 面ABB,A1,且平面ABB,A,n平面CDD,C,=l,所以AB∥L.因为1￠平 面ABCD,ABC平面ABCD,所以I∥平面ABCD,故C错误： D.若平面ADD1A1和平面BCC,B1交于直线m,若m∥平面ABCD,平 面ADD,A,∩平面ABCD=AD,平面BCC,B1∩平面ABCD=BC,所以 m∥AD,且m∥BC,则AD∥BC,这与梯形的两腰不平行矛盾，所以 D正确. 9.AC解析：对于A,AB∥DE,AB寸平面DEF DEC平面DEF,∴.直线AB与平面DEF平行， 故A正确：对于B,如图，取正方体所在棱的中 点G,连接FG并延长，交AB延长线于H, 则AB与平面DEF相交于点H,故B错误：对 B-- 于C,AB∥DF,AB￠平面DEF,DEC平面 DEF,∴.直线AB与平面DEF平行，故C正确： 对于D,过点A连接EF所在平面的正方形对 角线，交EF于点O,延长AB,OD交于一点，.直线AB与平面DEF 相交，故D错误 10.6解析：如图，设E,F,G,H,I,J,M,N为相应棱的中点，则NE PB,且NE丈平面PBD,PBC平面PBD,所以NE∥平面PBD,同理可 得HE,NH,GF,MF,MG都与平面PBD平行，由图可知其他的任意 两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平 面PBD平行的直线有6条. D￥ (第10题) (第11题) 11.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD,又BC￠ 平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD. (2)如图，连接AC,交BD于O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点.又因为M是 PC的中点，所以MO∥PA.又因为MOC平面BDM,PA4平面BDM. 所以PA∥平面BDM.又因为PAC平面PAHG,平面PAHG∩平面 BDM=HG,所以AP∥HG 黑题 应用提优 1.B解析：因为锯开的面必须平整，故过P 0 C 的直线（需和BC共面，此平面即为平面 PBC.因为BC∥B,C,且BC￠平面A B A,B,C,D1,B1C1C平面AB1C,D1,所以 BC∥平面A,B,C,D,又因为BCC平面 Di-- PBC,平面AB,C,D1∩平面PBC=I,所以 BC∥L,所以1∥BC1,故1是唯一的， 即N=1. 黑白题072§3空间点、直线 3.1空间图形基本位置关系的认识3.2 白题 基础过关 题组1点、直线、平面的位置关系 1.*(2025·浙江杭州高一期中)点A在直线1 上，1在平面α外，用符号表示正确的是（) A.A∈l,la B.A∈l,lta C.ACl,Ia D.ACl,l∈a 2.*(2025·广东深圳高一期中)如图所示 用符号语言可表达为 B A.ax∩B=m,nCa,m∩n=A B.a∩B=m,n∈a,m∩n=A C.a∩B=m,nCa,ACm,ACn D.a∩B=m,n∈，A∈m,A∈n 题组2点、直线确定平面 3.*(多选)(2025·河南郑州高一期中)下列 关于平面的说法正确的是 A.平面面积可以为4cm2 B.A∈a,B∈a,A∈a,B∈a→aC C.三点确定一个平面 D.两条平行直线只能确定一个平面 4.*(2025·广东湛江高一期中)每次停放自 行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面 上，其中蕴涵的道理是 A.两条直线确定一个平面 B.三点确定一个平面 C.不共线三点确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面 5.*空间5点，其中有4点共面，这5个点最 多可以确定 个平面， 第六章 平面之间的位置关系 刻画空间点、线、面位置关系的公理 错题 村 限时：40min 题组3点共线、线共点 6.*(2025·山东青岛高一月考)在空间四边 形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E, F,H,G四点，如果EF与GH能相交于点P, 那么 A.点P不在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面ABC内 D.点P必在平面ABC外 7.*(2024·山西朔州高二月考)如图，在正 方体ABCD-A,B,C,D,中，E为棱D,C,上的靠 近D,的三等分点.设AE与平面BB,D,D的交 点为0，则 A.D,O,B三点共线，且 D E OB=20D 0 B B.D,O,B三点共线，且 D OB=30D C.D1,0,B三点不共线，且OB=2OD D.D1,O,B三点不共线，且OB=3OD 题组4点、线共面 8.*(2025·河南信阳高一月考)“直线AB与 直线CD相交”是“点A,B,C,D共面”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.空间中有三条直线a,b,c,则“a,b,c两两 相交”是“a,b,c共面”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要” 或“既不充分也不必要”) 黑白题115 题组5平行公理与等角定理的应用 10.*(多选)(2024·吉林通化高二期中)下 列说法中，正确的结论有 A.如果一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分 别平行，那么这两组直线所成的锐角（或 直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分 别垂直，那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那 么这两条直线互相平行 11.*(2025·江苏无锡高一期中)若∠AOB= ∠A,OB1,且OA∥O,A1,OA与01A,方向相 同，则下列结论正确的是 A.OB∥O,B,且方向相同 B.OB∥O1B1,方向可能不同 C.OB与0B,不平行 D.OB与OB,不一定平行 12.*(2025·山西大同高一月考)已知空间 中角α的两边分别平行于角B的两边， 若&=60°，则B= 题组6异面直线及异面直线所成角 13.*(2025·山东济宁高一月考)若直线a 和b是异面直线，a在平面a内，b在平面B 内，c是平面α与平面B的交线，则下列命 题正确的是 A.c与a,b都相交 B.c与a,b都不相交 C.c至少与a,b中的一条相交 D.c至多与a,b中的一条相交 必修第二册·BS黑 4.*(2025·安徽合肥高一月考)如图，点W 为正方形ABCD的中心，点E在平面ABCD 外，M是线段ED的中点，则下列各选项中两 条直线不是异面直线的为 () A.AB与DE B.BC与EN C.CD与BM D.BM与EN 5.*(2025·广东深圳高一期中)如图，在直 三棱柱ABC-AB,C1中，D为AB,的中 点，AB=BC=2,BB1=1,AC=2√2，则异面直 线BD与AC所成角的大小为 () A.30° B.45° C.60° D.90° 6.*(2024·江苏镇江高一月考)以P为顶 点，圆O为底面的圆锥中，轴截面PAB为等 边三角形，M为底面圆O上一点，∠AOM= 60°，则异面直线OM与AP所成角的余弦 值为 () .6 4 B.6 c n 7.*(2025·山西太原高一月考)如图，在空 间四边形ABCD中，AB=CD=8,M,N分别是 BC,AD的中点.若异面直线AB与CD所成的 角为60°，则MN的长为 D 白题116 黑题 应用提优 1.*如果AB,CD是两条异面直线，则直 线AC,BD的关系是 ( A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.异面或平行 2.*(多选)(2025·广东广州高一期中)如图 是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中 A.直线AB与CD垂直 B.直线CD与EF平行 C.直线EF与GH异面 D.直线GH与AB成60°角 3.*(2025·江苏南通高一期中)在正方 体ABCD-AB,C,D1中，E为BC的中点，则平 面D,AE截正方体所得的平面图形为() A.三角形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.五边形 4.**（2025·辽宁沈阳东北育才中学高一月 考)空间中有三条两两异面的直线，P为其中 一条直线上一定点，过P引直线使其与这三 条异面直线都相交，则对于任意的定点P,存 在的直线1有 A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 5.*(2025·江西景德镇一中高一期末)在长 方体ABCD-A,B,C,D,的所有棱中，既与AB 共面，又与CC,共面的棱有 条 6.*(2025·广东广州高一期中)甲烷分子 是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别 位于正四面体的顶点ABCD处，碳原子位于正 第六章 限时：30mim 四面体的中心O处.若正四面体ABCD的棱长 为1，则平面OAB和平面OCD位于正四面体内 部的交线长度为 B 7.#（2025·安徽蚌埠高一月考)如图，在四 面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延 长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N, RP与DC的延长线交于点K. (1)求证：直线MNC平面PQR; (2)求证：点K在直线MW上. 压轴挑战 熱(2025·河北承德高一月考)在 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 讲解Q 平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上， 满足CF=2FB,G在棱PB上，满足D,E,F,G四 点共面，则G的值为 PB 黑白题117