第6章 §3 3.1 空间图形基本位置关系的认识 3.2 第1课时 基本事实1～3（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理 第1课时　基本事实1~3 基础过关练 题组一　点、直线、平面之间的位置关系的三种语言转换 1.(2025浙江温州新力量联盟期中联考)“平面α内有一条直线l,则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是(　　) A.⇒A⊂α　　B.⇒A⊂α C.⇒A∈α　　D.⇒A∈α 2.如图所示,下列用符号语言表述正确的是(　　) A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 题组二　基本事实1,2,3的应用 3.(2024海南中学期中)有下列四个判断:①两条相交直线确定一个平面;②两条平行直线确定一个平面;③三个点确定一个平面;④一条直线和一点确定一个平面.正确判断的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 4.(2025浙江嘉兴八校期中联考)下列说法正确的是(　　) A.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B.四边形可以确定一个平面 C.经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D.圆心和圆上两点可确定一个平面 5.(多选题)(2025广东广州第二中学期中)下列说法正确的是(　　) A.若一条直线上有无数个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内 B.若A,B,C三点既在平面α内,又在平面β内,则平面α与β重合 C.△ABC在平面α外,其三边所在直线分别和α交于点P,Q,R,则P,Q,R一定共线 D.若平面α与平面β交于直线l,直线m在平面α内,且与平面β交于点A,则点A在直线l上 6.已知平面α与平面β,γ分别相交,则这三个平面的交线有(　　) A.1条或2条　　B.2条或3条 C.1条或3条　　D.1条或2条或3条 7.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　) A.点A　　B.点B C.点C但不过点M　　D.点C和点M 8.(2025河北邢台卓越联盟期中)如图,在四棱锥E-ABCD中,点G在正方形ABCD内,点F在棱BE上,若DF与EG相交,则下列说法一定正确的是(　　) A.点G在AC上 B.BG=GD C.AG=GD D.直线EB,GD交于点B 题组三　共点、共线、共面问题 9.(2025重庆第十八中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AB共面且与CC1共面的棱的条数为(　　) A.4　　B.5　　C.7　　D.8 10.(多选题)(2024山西大同第一中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　) A.A,M,O三点共线　　 B.A,M,O,A1四点共面 C.A,O,C,M四点共面　　 D.B,B1,O,M四点共面 11.已知三条直线a,b,c互相平行,且分别与l相交于A,B,C三点.证明:四条直线a,b,c,l必共面. 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱CC1,AA1的中点. (1)画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由; (2)设H为直线B1D与平面BED1F的交点,求证:B,H,D1三点共线. 13.(2025福建福州闽侯第六中学期中质量检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)如图1,若AC∩BD=O,A1C∩平面BDC1=E,求证:C1,E,O三点共线; (2)M,N分别为AB,C1D1的中点,P,Q分别为BC,CC1的一个三等分点(都靠近C点). ①如图2,求证:AP,DC,D1Q三线共点; ②过M,N,Q三点作该正方体的截面,在图3中画出这个截面(不必说明画法和理由,但要保留作图痕迹). 　 答案与分层梯度式解析 §3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理 第1课时　基本事实1~3 基础过关练 1.C 2.A 3.B 4.A 5.ACD 6.D 7.D 8.D 9.B 10.ABC 1.C　 2.A　 3.B　两条相交直线和两条平行直线均能确定一个平面,①②正确;在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误;直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确判断的个数为2. 4.A　对于A,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,因为三个交点不在一条直线上,所以有且只有一个平面,A正确; 对于B,四边形包括平面四边形和空间四边形,空间四边形不能确定一个平面,B错误; 对于C,经过同一直线上的3个点的平面有无数个,C错误; 对于D,如果圆上两点是直径的两个端点,此时三点共线,不能确定一个平面,故D错误. 5.ACD　对于A,由基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,知A正确; 对于B,当A,B,C三点在同一条直线上时,平面α与β可以不重合,故B错误; 对于C,易知△ABC所在平面与平面α相交,由基本事实3知,公共点P,Q,R都在交线上,即P,Q,R一定共线,故C正确; 对于D,由直线m在平面α内,且与平面β交于点A可知点A既在平面α内,又在平面β内,则点A在平面α与平面β的交线l上,故D正确. 6.D　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条. 7.D　对于A,B,易得A,B∉β,故A,B不在γ与β的交线上,故A,B错误; 对于C,D,因为过A,B,C三点的平面记作γ,所以AB⊂平面γ,C∈γ.因为直线AB∩l=M,所以M∈AB,则M∈γ,又C∈γ,所以MC⊂γ. 因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l⊂β,又C∈β,所以MC⊂β,所以β∩γ=MC, 故γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确. 8.D　因为DF与EG相交,所以E,F,G,D四点共面, 又点B在EF上,所以点B在平面EFGD上, 所以平面EFGD∩平面ABCD=BD, 所以直线EB,GD交于点B,故D正确. 又G可为BD上任意一点,所以A,B,C错误. 9.B　AB与CC1不共面,因此正方体中没有同时与这两条棱平行的棱; 与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1; 与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1; 与AB相交且与CC1相交的棱有BC, 所以满足条件的棱共有5条. 10.ABC　连接A1C1,AC,AO,因为O为B1D1的中点,所以A1C1∩B1D1=O,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AO, 因为A1C∩平面AB1D1=M,A1C⊂平面AA1C1C,所以点M在平面AA1C1C和平面AB1D1的交线上, 即M∈AO,A,M,O三点共线,故A正确; 因为A,M,O三点共线,所以A,M,O,A1四点共面,A,M,O,C四点共面,故B,C正确; 取AC的中点O1,连接OO1,交A1C于点E,则E为A1C的中点,易得△A1OM∽△CAM, 所以==,即M为A1C上靠近A1的三等分点,连接BD,因为平面BB1D1D∩A1C=E,所以点M∉平面BB1D1D,因为O,B1,B不共线,O,B1,B∈平面BB1D1D,所以B,B1,O,M四点不共面,故D错误. 11.证明　证法一(平面重合法):∵a∥b,∴a,b确定一个平面α, 又a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,即l⊂α, 同理b,c确定平面β,且l⊂β. 又b∩l=B,∴b与l确定一个平面γ. ∴α,β,γ共有两相交直线b,l,从而α,β,γ为同一平面,∴a,b,c,l四线共面. 证法二(反证法):∵a∥b,∴a,b确定一个平面α, 又a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,即l⊂α. 假设c⊄α,过点C在平面α内作c'∥b,则c∩c'=C, 又c∥b,∴c'∥c,这与c∩c'=C矛盾,∴c⊂α, ∴a,b,c,l四线共面. 方法总结 证明共面问题常用的三种方法 (1)纳入平面法:先用部分点、线确定一个平面,再证明其余点、线在此平面内; (2)辅助平面法(平面重合法):分别用部分点、线确定两个(或多个)平面,再证明这些平面重合; (3)反证法. 12.解析　(1)如图所示,延长D1F交DA的延长线于点P,连接PB,则直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线. 理由如下:∵P∈AD,P∈D1F,DA⊂平面ABCD,D1F⊂平面BED1F, ∴P∈平面ABCD,P∈平面BED1F, 即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点, 又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点, ∴直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线. (2)证明:连接BD,B1D1, ∵BB1􀱀DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形. ∵H为直线B1D与平面BED1F的交点,∴H∈B1D, 又∵B1D⊂平面BB1D1D,∴H∈平面BB1D1D, 又∵H∈平面BED1F,平面BED1F∩平面BB1D1D=BD1,∴H∈BD1,∴B,H,D1三点共线. 13.解析　(1)证明:如图,连接A1C1, ∵C1∈平面A1ACC1,且C1∈平面BDC1, ∴C1是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点, ∵AC∩BD=O,O∈AC,AC⊂平面A1ACC1,O∈BD,BD⊂平面BDC1,∴O是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点, ∴平面A1ACC1∩平面BDC1=OC1, 又A1C∩平面BDC1=E,E∈A1C,A1C⊂平面A1ACC1,E∈平面BDC1,∴E是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点, ∴E∈OC1,即C1,E,O三点共线. (2)①证明:如图,分别延长AP,DC交于点R,连接D1R, ∵R∈直线DC,DC⊂平面ABCD, ∴R∈平面ABCD, 又PC=AD,BC∥AD, ∴CR=DR, 又D1D∥C1C,∴D1R与C1C的交点为C1C上靠近点C的一个三等分点,即点Q, ∴AP,DC,D1Q三线共点. ②如图,该正方体过M,N,Q三点的截面即为六边形MPONTS. 7 学科网（北京）股份有限公司 $