第4章 三角恒等变换 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第四章 真题演练 丁错题述 黑题 真题体验 限时：30min 考点1利用三角恒等变换化简求值 cos 2B+2sin C=2,o Acos Bsin C 1.*(2025·全国二卷)已知0<a<T,c0s () 5 A.sin C=sin2A+sin2B B.AB=2 ( B② 3√2 7√2 C.sin A-tsin D.AC2+BC2=3 D 10 10 10 7.*(2025·全国二卷)已知函数f(x)= 2.(2024·全国甲理)已知 cos a cos a-sin a s(2x+p)0≤<m)0)-号 ,则ana+牙) ( (1)求p; A.23+1 B.25-1 (2)设函数g()=f)+f(x-石)，求g()的 c 值域和单调区间. D.1-√3 3.*(2024·新课标全国I)已知 cos (a+B)=m,tan atan B=2. 解 则cos(a-B)= A.-3m B.m 3 C.3 D.3m 4.*(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象 8.(2025·天津)在△ABC中，角A,B,C的 限角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tan· 对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, tanB=√2+1，则sin(a+B)= c-2b=1,a=√7 考点2三角恒等变换的综合应用 (1)求A的值； 5.*(2025·北京)设函数 (2)求c的值； f(x)=sin wx+cos wx(w>0), 视频讲解 (3)求sin(A+2B)的值. fx+m)时x)恒成立，且x)在[o,牙]上存 在零点，则ω的最小值为 ( A.8 B.6 C.4 D.3 6.*(多选)(2025·全国一卷)已 知△ABC的面积为4，co2A+ 视频讲解 第四章黑白题093 第五章 复数 §1复数的概念及其几何意义 1.1复数的概念 白题 基础过关 限时：20min 题组1复数的基本概念 6.*(2025·安徽六安高一期中)若复数z= 1.·(2025·山东泰安高一月考)已知i是虚 a+(3+2a-a2)i的虚部大于0，则实数a的取 数单位，复数2+i的实部为 ( 值范围是 A.0 B.1 7.*(2025·辽宁葫芦岛高一月考)已知复 C.-1 D.i 数z=x+5+(x-3)i,x∈R. 2.(多选)下列复数是纯虚数的为( (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； A.2+√7 (3)若z为纯虚数，求x的值. C.8+5i D.(1-√3)i 3.*(2024·广东广州高一期中)若复数2-b1 (b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为 ( A.2 D.-2 4.*(2025·河南南阳高一月考)以-√5+2i 的虚部为实部，以√5i+22的实部为虚部的复 数是 ( A.2-2i B.2+2i 题组2复数相等 C.-√/5+√/5i D.√5+√5i 8.*(2025·江西南昌高一月考)若1-2i=a+ 5.*下列关于复数的命题中正确的个数为 bi(i为虚数单位)，其中a,b为实数，则a+b的 ( 值为 （) ①若z是虚数，则z不是实数； A.1 B.3 ②若a,b∈R且a>b,则a+2i>b+i; C.-1 D.-3 ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数9.*1人A教材变式方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i= 的实部等于零 0的实数解x= A.0 B.1 10.已知集合A={0,m+(m2-1)i}(m∈R), C.2 D.3 B={1,-2i},若A∩B={1},则m= 必修第二册·BS黑白题094(3)当a=3,b=2,c=0时，fx)=3sinx+2c0sx+1=√13in(x+p)+ 1,其中0cg<7且me=子 所以mf(x)+nf(x-p)=1,可化为√13msin(x+p)+√13nsin(x+p- p)+m+n=1, 即√3msin(x+p）+√13nsin(x+p）cosp-√13ncos(x+p）sinp+ m+n-1=0, 所以√13(m+ncos p)sin(x+p)-√13 nsin pcos(x+p)+(m+n 1)=0. 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立， (m+ncos p=0,① 所以nsin pi=0,② (m+n-1=0,③ 若n=0,则由①知m=0,显然不满足③式，故n≠0， 所以由②知sinp=0,故p=2kT+T,k∈Z或p=2kT,keZ, 当p=2km,keZ时，cosp=1,则①，③两式矛盾， 故p=2km+m,keZ,osp=-1,由①，③知m=n=2, c08p- 所以2025m+ -1 1 2025x+1013 2+2 第四章真题演练 黑题 真题体验 1.D解析：因为0<a<m,则cmsa=2os2号-1=-子，则血a= a-√(÷ 272 210 2.B解析：因为一s0三3，所以a3,所以ama1号 cos a-sin a 所以(e号）" -ma+1=2w3-1.故选B 3.A解析：因为cos(a+B)=m,所以cos acos B-sin asin B=m.又 tan atan B=2,所以sin asin B=2 cos acos B,所以cos acos B- 2 cos acos B=m,即cos acos B=-m,所以sin asin B=-2m,故 cos(ax-B)=-3m.故选A. 4.、22 tan a+tan B 3 ，解析：法一：由题意得am(a+B)=一n otan -2a,因为ae(2m,2km+号)Be(2mm+m,2me+ 1-(W2+1) ）k,meZ,所以ape(2m+2)r+,(2m+2)s+2m),me Z又因为am(a+B)=-25<0,所以a+B∈(2m+2)m+3 2 (2m+2)m+2m）k,me乙，所以如(a+B)<0,0(a+》怎-22，联 ’c0s(a+β) 立a(a0oa0=1,解得(ap=29板答案为-29 3 法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角，所以cosa>0,cosB< 0,cos a cos a sin a+co aco cos B Vsin2B+cos2B =,所以sin(a+B)=sin acos B+cos asin B=cos acos B· √1+tan2 -4 tan a+tan B)=4cos acos B=- √1+tan2a√1+tan2B 必修第二册·BS -4 -4 (tan attan B(tan atan B =-2故答案为 31 2W2 3 5.C解折：函数)=咖or+sor=厄n(or+于)(o>0),设函 数f(x)的最小正周期为T,由f(x+r)=f(x)可得T=π，keN*,所以 T号keN,即w=2业eN又函数不在[号]上有 T 在零点，且当x∈0,4 ]时+e[2 ,所以 牙≥，即w≥3综上，心的最小值为4 6.ABC解析：cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，1-2sin2A+ 1-2sin2B+2sinC=2,整理可得，sinC=sin2A+sin2B,A选项正确；由诱 导公式，sin(A+B)=in(π-C)=sinC,展开可得sin Acos B+ sin Bcos A=sin2A+sin2B,sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)= 0,由正弦定理得a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0,可知inA cosB,sinB-cosA同时为0或者异号，即(sinA-cosB)(sinB- cosA)≤0，展开，可得sin Asin B-sin Acos A-cos Bsin B+cos Acos B≤ 0,即ca(4-8)子(sm24+血2)≤0，结合和差化积，m(4-8)· (1-m(4+B)≤0，由上述分析，A,Be(（0,受)则A-Be（ 受）则cs(4-A)≥0，则1-n(4+8)≤0，即血C≥1，于是s血C 1,可知C-受南ma6-子mAs风由8号 则mB=血4，即血AsA=子则血2A分同理如28=分由 上述推导4,8e(0,号），则24,28∈(0，m),不妨设4，则24 石，2B=,即4=日，B=设，由两角和差的正弦公式可知 严+sm5"√6一√26+2=√6，C选项正确；由两角和的正切 sin 124 4 公式可得，am50=2+V3,设BC=,4C=(2+3)L,则AB=(2+ 12 60商5c分2号则r.42-( 4 则-，于是=(5+2)：=反，B选项正确，由勾股定理可 知，AC2+BC2=2,D选项错误 7.解：(1)由题意0)=c0s9=2(0≤p<m),所以9=3 (2)()可知)-m(2+号)。 所以g-)(-看）(2+号）+m2x=w2x- √5 3 2 sin 2x+c0s 2x- wam2a=g-(g） 所以函数g(x)的值域为[-√3,5]， 令2hT≤2x+ ≤m+2km,keZ,解得- 6 令+2k<2+名≤2+2m,eZ,解得设+≤：≤+n, 6 k∈Z, 所以函数()的单调递减区间为[豆+，侣]，ke乙。 函数g(x)的单调递增区间为 ]kez 黑白题058 8.解：(1)已知asin B=3 bcos A,由正弦定理.a=,6 sin A sin B 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=3,由0<A<T, 故4子 (2)由(1)知os4=2,且c=2b+1,a=7, 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 则7=52+(26+1)2-2x号(26+1)=302+36+1， 解得6=1(b=-2舍去)， 第五章 §1复数的概念及其几何意义 1.1复数的概念 白题基础过关 1.C解析：易知i2+i=-1+i,所以其实部为-1. 2.BD解析：由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0，而A,C 实部不为0，B,D实部为0且虚部不为0，故子，(1-5)i是纯虚数， 故B,D正确. 四易错提醒 纯虚数要求实部为0，虚部不为0 3.A解析：由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，得2-b=0,即 b=2.故选A 4.A解析：-√5+2i的虚部为2，√5i+2i2=-2+√5i的实部为-2，所以所 求复数的实部为2，虚部为-2，复数为2-2i 5.B解析：对于①，根据虚数的定义，正确；对于②，虚数不能比较大 小，错误：对于③，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部 等于零且虚部不等于0，错误 6.(-1,3)解析：由复数z的虚部大于0，得3+2a-a2>0,解得-1<a<3 7.解：(1)由z为实数，得x-3=0,所以x=3. (2)由z为虚数，得x-3≠0，解得x≠3， 所以x的取值范围为(-∞，3)U(3,+∞). (3)由z为纯虚数，得x+5=0且x-3≠0，所以x=-5. 8.C解折：因为1-2i=a+,所以[低2，所以a+b=-1 9.2解折：由(2x2-3x-2)+(2-5x+6)i=0,得22-3-2=0，解得 x2-5x+6=0, x=2. 10.1解析：由集合A={0,m+(m2-1)i}(meR),B={1,-2i}, 且An8=},得m+(m2-)i=1,因此20 。所以m=1, 当m=1时，A={0,1},又B={1,-2i},故AnB={1},符合题意. 1.2复数的几何意义 白题 基础过关 1.B解析：因为z=-3+i,所以对应复平面内点的坐标为(-3,1)，所以 位于第二象限 2.C解析：复数-1+(1-a2)i在复平面内对应的点为(-1,1-a2),若其 在第二象限，则1-a2>0,解得-1<a<1. 四方法总结 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部 应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部 满足的方程（不等式）组即可」 参考答案 故c=3, (3)由正弦定理，0= nA-B且6=1，a=7,in1s3 2, 得i血B-bsinA.V,且a>6,则B为锐角】 a 14 故cosB=57 sin 28=2sin BcosB 141 且c0s2B=1-2sin2B=1-2× 12)211 (4)=4 故i血(A+2B)=sin Aco2B+cos Asin2B=5xL,1x55_43 2142x14=7 复数 3.C解析：由题意知2对应的点为(1,1)，1对应的点为(1，-1)，.1= 1-i 4.4解析：复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3，a),所 以√(-3)2+a2=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4. 5.C解析正方形0ABC,且O对应的复数为-1-3i,.OA=(-1,-3), .C=(-1,-3),则B武=(1,3)，.B元对应的复数为1+3i 6.(4,-2)解析：因为B对应的复数是1+2i,即B=(1,2),B元对应的 复数为3-i,即B武=(3，-1)，所以A心=B武-B=(2,-3).又因为点A 对应的复数为2+i,即0A=(2,1),所以0元=0i+A心=(4，-2)，所以点 C的坐标为(4，-2) 7.D解析：由题意可得实部为-2，虚部为1，所以1z12=(-2)2+12=5. 8.BC解析：.|z1I=|z21,∴.√a2+4=√4+1，解得a=±1.故选BC. 9.B解析：由题意可得，满足Iz=1的点组成的图形是以原点0为圆 心，以1为半径的圆，则其周长为2π. 10.-1+√3i(答案不唯一)解析：设z=a+bi,a,beR,因为复数z在复 平面内对应的点在第二象限，所以a<0,b>0. 又因为1zl=2,所以a2+b2=4,显然当a=-1,b=√3时，符合题意. 11.D解析：因为复数z=-1+2i,所以z=-1-2i,则z的共轭复数的虚 部为-2. 12.D解析：设z=a+bi(a,beR),则z=a-i,lzl=√a2+b,因为= +3，所以a-i=子+8+31，所以{ 1 -i. 解得 -b=3, a=5,即2=3-3i. (b=-3, 13.1解析：复数z=a+1+(a-1)i的共轭复数z=a+1-(a-1)i,依题 意，z=2,则a-1=-(a-1),所以a=1. §1阶段综合 黑题阶段强化 1.BCD解析：由条件可知：z=5-4i,C对，所以z的虚部为-4，A 错，1z=√52+(-4)2=√4I,B对，z对应的点的坐标为(5,4)，在第 一象限，D对. 2.B解析：由复数z=a+(a-2)i(a∈R)的虚部是实部的3倍，得a-2= 3a,解得a=-1,所以z=-1-3i,lz=√(-1)2+(-3)2=√/10. 3.A解析：设z=a+bi(a,beR),则z=a-bi.若A在第二象限，则a<0: b>0,则a<0,-b<0,所以B在第三象限. 反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件 4.D解析：设第一、二、三、四象限的点分别有a,b,c,d个.a,b,c,d均 为正数在复平面中，第一、四象限的点实部为正，第二、三象限的点 实部为负.已知实部为正数的复数比实部为负数的多，则可得a+d> b+,在复平面中，第一、二象限的点虚部为正，第三、四象限的点虚部 黑白题059