第4章 3.2 半角公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.2　半角公式 1.B　由tan ＝，得tan 15°＝＝2－. 2.C 3.D　由＜α＜π可知，＜＜，故sin ＝＝＝. 4.C　原式＝＝＝cos 1，故选C. 5.BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C. 6.BD　因为f（x）＝（1＋cos 2x）（1－cos 2x）＝（1－cos22x）＝sin22x＝（1－cos 4x）.又f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是最小正周期为的偶函数，选B、D. 7.sin 30°＝　解析：sin 30°＝（只要符合公式sin α＝且有意义即可）. 8.或　解析：设顶角为α，则α∈（0，π），∈（0，），则sin α＝，cos α＝±＝±，所以cos＝＝或，则其底角的正弦值为sin（－）＝cos＝或. 9.－　解析：sin2＋cos 2A ＝＋2cos2A－1 ＝＋2cos2A－1＝－. 10.解：（1）f（x）＝4cos xsin－1 ＝4cos x－1 ＝sin 2x＋2cos2x－1 ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin， 所以f（x）的最小正周期为π. （2）因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤， 所以当2x＋＝，即x＝时， f（x）有最大值2， 当2x＋＝－，即x＝－时， f（x）有最小值－1. 11.B　法一　因为＝tan，所以＝，又α∈（0，），所以sin α≠0，所以2－cos α＝1＋cos α，所以cos α＝，又α∈（0，），所以α＝，所以tan α＝. 法二　因为tan ＝，所以＝，又α∈（0，），所以∈（0，），所以sin≠0，所以2－cos α＝2cos2，即2－cos α＝1＋cos α，所以cos α＝，又α∈（0，），所以α＝，所以tan α＝. 12.AC　易知f（x）＝2sin＝2sin（2x＋），∴f（x）的最小正周期T＝π，A正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤－＋kπ（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，－＋kπ］（k∈Z），B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ（k∈Z），∴x＝－（k∈Z），当k＝1时，x＝，C正确；f＝2sin＝－≠±2，D错误.故选A、C. 13.　－　解析：由已知得a2＋b2＝100，（a＋b）2＝196，且a＞b，解得a＝8，b＝6，所以cos α＝＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×（）2－1＝，因为0＜α＜，所以0＜＜，所以sin ＝＝，cos ＝＝，所以sin －cos ＝－＝－. 14.解：f（cos α）＋f（－cos α）＝＋＝｜tan ｜＋｜｜. ∵＜α＜π，∴＜＜，∴tan ＞0，故f（cos α）＋f（－cos α）＝tan ＋＝＝·＝＝. 15.－ 解析：f（x）＝ ＝ ＝＝2cos 2x. f（ －）＝2cos＝2cos＝－. 16.解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点， 在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α， OM＝＝DM＝CN＝sin α， 所以MN＝ON－OM＝cos α－sin α， 即AB＝cos α－sin α， 而BC＝2CN＝2sin α， 故S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos α－sin α）·2sin α＝2sin αcos α－2sin2α＝sin2α－（1－cos 2α） ＝sin 2α＋cos 2α－ ＝2－ ＝2sin－. 因为0＜α＜，所以0＜2α＜，＜2α＋＜. 故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　半角公式 1.tan 15°＝（　　） A.2＋ B.2－ C.＋1 D.－1 2.已知180°＜α＜360°，则cos ＝（　　） A.－ B. C.－ D. 3.已知cos α＝－，＜α＜π，则sin＝（　　） A.－ B. C.－ D. 4.化简＝（　　） A.－cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.－cos 1 5.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.∃x∈R，sin2＋cos2＝ B.∃x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y C.∀x∈[0，π]，＝sin x D.sin x＝cos y⇒x＋y＝ 6.〔多选〕函数f（x）＝（1＋cos 2x）·sin2x（x∈R），则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的最小正周期为 C.f（x）是奇函数 D.f（x）是偶函数 7.某同学在一次研究性学习中发现以下规律： ①sin 60°＝； ②sin 120°＝，请根据以上规律写出符合题意的一个等式　　　　.（答案不唯一） 8.若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的正弦值为　　　　. 9.在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝　　　　. 10.已知函数f（x）＝4cos xsin－1. （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间上的最大值与最小值. 11.若α∈（0，），＝tan ，则tan α＝（　　） A. B. C. D. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝cos 2x－2sin xcos x，则下列结论中正确的是（　　） A.存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立 B.f（x）在区间上单调递增 C.函数f（x）的图象关于点对称 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 13.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成为了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，设Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若（a＋b）2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝　　　　，sin －cos ＝　　　　. 14.已知f（x）＝，若α∈（，π），化简：f（cos α）＋f（－cos α）. 15.已知函数f（x）＝，则f（ －）＝　　　　. 16.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求最大面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $