第4章 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§2两角和与差的三角函数公式 2.1两角和与差的余弦公式及其应用 白题 基础过关 限时：25min 题组1给角求值 6.(2025·江苏镇江高一月考)已知 1.·（2025·河北邢台高一期末)c0s20°· √3sinu=cos cos25°-sin20°sin25°= (写-a小，则ia(sima+ A.1 B② C. cos a)= 2 2 D.-1 7.*如图是古希腊数学家希波克拉底研究的 2.★(2025·辽宁沈阳高一月考)c0s255°的 几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为 值是 ( 直角三角形ABC的斜边AB,直角边BC,AC, A.6-2 B.6+2 点D在以AC为直径的半圆上.已知以直角 4 4 边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为 C.-v6-2 D.-6+2 4 4 4 3,cos∠DAB=5,则cos∠DAC= 3.*(2024·湖南郴州高一月考)2c0s80°- c0s20°= ( A.√3sin20° B.sin20° C.-√3sin20° D.-sin20° 题组2给值求值 题组3给值求角 4.·（2025·江西南昌高一期中)若∈ 8.·(2025·辽宁沈阳高一期中)已知sina= ,则cosa= ( 5,c0sB=10 25 10,且a,B都是锐角，则a+B 4.10 B.、② 等于 () 10 c陪 n72沿 B 4 T 3π 5,(2025·山东济宁高一期中)已知T< <a< C.2 D.4 4 2'4<B<2,c0sa= TT T 6 9.*(2024·山东淄博高一月考)已知P,Q是 7,sin(a+B)= 则 圆心在坐标原点0的单位圆上的两点，且分别 cos B= ( A.126-513 B.-126-5√13 位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为！ 49 49 点Q的横坐标为 则cs∠Po0= 5 C.126+513 D.513-126 49 49 第四章黑白题073 黑题 应用提优 限时：30min (2025·河北邯郸高一期末)已知7.鞋(2025·重庆巴蜀中学高一月考) s如(g=且0<m,)小 sin21°+cos231°+sin1°sin121°= 8.接如图，在平面直角坐标系中，角心，B的顶 ( 点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， A.1+26 B 22-√3 角，B的终边与单位圆分别交A,B两点，点C 6 是单位圆与x轴负半轴的交点 C.1+26 D.3-22 7√2 6 6 当4停，2)4(-7径)时，求 2.(2025·山东济南高一月考)在△ABC cos(a+B)的值； 中，若b2sin2C+c2sin2B=2 bccos Beos C,则 (2)若P为劣弧AC上的动点，当点A的横坐标 △ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 为2时，求.P心最小值 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 3.**（2025·江西上饶高一月考)已知 em(a-e创=on(a9）-S则cs2ams29 B.S 5 36 6 D.36 4.**（2025·江苏盐城高一月考)已知 4cos(2a+B)-3cosB=0,则tan(a+B)tan a的 值是 ( 1 A.-7 C.7 0.7 5.*(多选)(2025·辽宁沈阳高一月考)已 知a,ye(0,,a+smy-snB, 压轴挑战Ⅱ 禁(2025·安微淮北高三月考)在△ABC中， cosB+cosy=cosa,则下列说法正确的是 记m=cosA·cos(B-C)-cos2A,n=cosB· ( cos(C-A)-cos2B,则 ( Aoms(ey)=月 B6m(ey=月 A.存在△ABC,使m>n B.存在△ABC,使m<n cB-a写 D.g-a=号 C.m的最小值为- 6.*(2025·浙江温州高一期末)在△ABC 中，c0sA 2 cosB1--tan Atan C,则∠C= D.n的最大值为 必修第二册·BS黑白题0746 b 2 由正弦定理可得 sin60°sin B sin C' 解得siB=V6+v2」 4 血c=号 因为1+√3>√6>2，所以C=45°，B=180°-60°-45°=75°. 又因为∠BAD=30°，所以∠ADB=75°， 即AD=AB=2.故答案为2. 10解：（1少由余弦定理得cmC=号又24-2=心，则 mC=b三因为ce(0,,所以C=牙，所以mC=号 2ab 2 因为sinC=√2cosB,即cosB= 2,且B∈(0，m),所以B= 3 第三章 数学建 第四章 三 §1 同角三角函数的基本关系 1.1基本关系式+ 12由一个三角函数值求其他三角函数值+ 1.3综合应用 白题 基础过关 1.ACD解析：n&=-子，且a为第三象限角csa<0 .cosx=--im2a=人1-（-5=-3 了，故B不正确； 4 tan a=sin a= 5 c08a3 3,故A正确；sin&+cos&= 5 D正确 2.B解析：由题意1-sin=√2cosa,所以（√2cosa)2=(1-sina)2,化 简得2cos2a=1+sin2a-2sina.因为sin2a+cos2a=1,所以(sin&-1). (3如a+1)=0因为a后（受，受），所以ma= 1 3，c0sa= V个-sima=22 ，所以ana=2 4 3.解析：因为8tanu=8=3cosa,可得8sin=3cos2a≥0. cos a 因为im2a+cos2a=1,可得8sina=3(1-sin2a）,解得sina= 1 或ina=-3(舍去)，所以i血a=了 1 4.A解析：因为号2<行则如2>m20,则2m20, 所以√1-2sin(T-2)cos(T+2)=√1-2sin2·(-cos2)= Vsin22+2sin 2cos 2+cos22 I sin 2+cos 21=sin 2+cos 2. 1 1 1 5.A解析：原式=- /cos2160°+sin2160° 1 c092160° Vc0s2160° √cos2160°=1cos160°1=-c0s160°.故选A. 6.A解析：原式=sina√ (1+cos a)2 cos2a = sin2a cos2a 必修第二册·BS (2)由(1)可得B=号，C=子，由正弦定理得动6 sin BsinC,即 b 。‘,所以6==5。由余孩定理得=2+ 2 2-2acmB,即了2=242-ac,可得a 3+1 2c. 1 1√3+16 由三角形面积公式可知SANC=2 binC=2· 2c· 2c· 3+52 2 8 又已知△ABC的面积为3+W5,可得3432=3+5，所以c=22. 8 模活动（二）（略 角恒等变换 sin al1+cos al Isin al 0,cosa>0,所以上式=-(1+cosa)+co8a=-1. 1-cos2a6ina第二次输 1 1 7.cos2α解析：由已知可得第一次输出的 1 出的是 1=-tan2a,第三次输出的是 1 +tan2a =cos2a.于是，可知 sin2a 周期为3.又2025=675×3，所以第2025次输出的数和第三次输出的 数相同，是cos2a 8.证明：(1)左边=sin2a(1-sin2B)+sin2B+cos2acos2B=sin2acos2B+ sin2B+cos2acos2B=cos2B(sin2a+cos2a)+sin2B=cos2B+sin2B=1= 边，则恒等式成立 (2)=sin2a+cos2a+1-2sin a+2cos a-2sin acos a=2-2sin a+ 2cos a-2sin acos a=2(1-sin a+cos a-sin acos a)=2(1-sin a)(1+ cosa)=左边，则恒等式成立 A解析：因为&e(0,r）,所以sina>0.又sin acos=-又，所 以cos<0,所以sina-cosa>0. (sin a-cos a)2=sin2a-2sin acos a+cos2a=1-2x 5 以sina-c0sa=2 10.A8D解析：对于A,由血84s9=了则（血0Hs02=方，化简 得sin 0cos0= 岩放人正确： 12 对于B,由sin6c0s0=-25 0,0∈(0，T),则sin0>0,cos0<0, 2449 即si血6-os>0,因为(sim8-cos9)2=1-2si血6eo0=1+2525所 以sin0-cos0=- ,放B正确； 1 sin 0+cos 0=- 4 sin 0=- 5 5 对于C,由 7解得 所以如9=手，放 sin0-cos8=5’ 3 s0=-5 C错误； D,sin20-cos20=(sin 0+cos 0)(sin 0-cos 0)=- D正确 黑白题042 四重难点拨 1.利用sin2+cos2a=1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用 sin=ana可以实现角a的弦切互化. cos a 2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sin acos a, sina-cosa这三个式子，利用(sina±cos)2=1±2 sin acos a可以 知一求二 3.注意公式逆用及变形应用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1-cos2a, cos2a=1-sin2a. 1.0解析：由题意4=m2+8≥0，且m0+os0=分，ncs0=-分 1 由(n01se0)2=1+2s如m0=,则m=0,即n91s=0.所 以sin0 cos 0 sin Otan 0-cos 0 sin20-cos20 1 '1-tan0 =sin 0+cos 0=0. tan 0-1 1- sin 0-cos 6 tan 12.1解析：sina+cosa=1,.(sina+cosa)2=1. 又.sin2a+cos2a=1,.sin acos a=0,∴.sina=0或cosa=0. 当sina=0时，cosa=1,此时有sin”a+cos”a=1(n≠0)；当cosa=0 时，sina=1,此时也有sina+cos"a=1(n≠0)..sin"a+cos"a=1. 4 13.C解析：由题意，加a+cosatan a+1了+11 sin a tan a 24 4 3 14.D解析：因为tana 1 anc-1,所以ama=2 因为n'a+sico+2=ima+nc+2,分子分母同时除 sin2a+cos2a 以oa得ino+2-a82,将ma=号代人计 tan2a+1 13 算得sin2a+-sin acos a+2 5 15.解：(1)由已知密0r日号，化简得36-3m0=血94sa 整理得sin0=2cos0,故tan0=2. sin+π） 0t受)m(臣-o）ewe-n cos Osin 0-cos20 (2) 1+sin20 1+sin20 cos Osin 0-cos20 tan 0-1 1 sin20+cos20+sin20 2tan20+1 9 四方法总结 已知tan0,求关于sin0,cos9齐次式的方法： （1)对于形知asin94bos9我asin946cos9+csin6cos8的式子，利 xsin 0+ycos 0 xsin20+ycos20+zsin 0cos 0 用分子分母同时除以cos0或cos20的方式，进行弦化切，再将tan6 代入求值. (2)当所求式子不符合齐次的要求时，可利用sin20+cos20=1,将其 转化为(1)中齐次式的形式进行求解， 重难聚焦 16,D解折：由0<a<号，得血a>0,oasa>0,+o 1 9 ia)=109sin (1+9 sin2a :≥10+ 216,当且仅当80甲■得 sin2a cos2a 即=石时，等号成立 17.C解析：因为cos01cos01+sin01sin01=-1=-(sin20+cos20),所 以1sin0l=-sin0,-cos0=lcos01,所以cos0≤0，sin0≤0,0终边不 在坐标轴上，所以0在第三象限， 18.A解析：当a=及-B时，na+na=s(行-B）+ng= 参考答案 cos2B+sin2B=1.当sin2a+sin2B=1时，sin2a=cos2B,则sina=±cosB, T 2 T 例如a= 石B=子符合，但不能推出a=牙-a放“a= 8”是 “sin2a+sin2B=1”的充分不必要条件 黑题 应用提优 1.D m+5≥0，c080 4-2m≤0，且 m+5 -=1,即 (m+5)2 5m2-22m+25=m2+10m+25,即m(m-8)=0,解得m=0或m=8, 将m=0代入检验不合题意，舍去，则m=8. 2.B解析：，'asin0+cos0=1,bsin0-cos0=1,∴.a= 1-c0s8 si，bs 1+c0s0 i0月，ab=1-cosg.1+cos9-1-cos8 sin 0 sin0sin0·sing1. 1+sinx 3.BC解析：因为1+ian￥ cos x sin x+cos x 3 sinx sinx sin xcos 4' 2,可得23 令t=i加x+easx,则s咖0s- 214,整理可得 2 3-8-3=0,解得1=-号或=3（合去），所以血+0- 1 4 sin xcosx=- ,故A错误，B正确； sim x+cos 3 1 mx=-1-v17 由 可知 6 4 cos*=-1+7 或 sin xcosx=g, 6 -1+/17 sinx= 6 可得1mx+1os=万-，+1.，故 -1-w√17 6 6 3 COSx= 6 C正确； -1-wW17 -1+√17 6 -9-/17 6 tanx= 或tanx= -1+/17 -1-√/17 -9+页，故D错误 6 6 5 4.C解析：由sin2A+cos2B= 4 cos2A+sin2B =t,t>0.m sin2A+cos2B+cos2A+sin2B=- 5+32=2,则32+5-8=0，解得t= 3(舍去)或=1，所以实数t所有可能值的和为1， 8 TTX 2 T 5.A解析：原方程化为x-cos 2 +sin2 T 2=0,则 x=c082 0. 由sin =0，得x=2(keZ,代入x=ms,得2必=omkm,无整 数解 6.35 2 解析：大正方形的边长为a,则小正方形的边长为 8血o.故go2-5放1-2oma=所 a2 以sin o=1 3ma+1=0,故mQ-,5或ma3+因为0°<a<45,故 2 3-5 0<tana<l,所以tana= 2 黑白题043 7.解：(1)由题意得A亿=(cosa-3,sina),B武=(cos&,5ina-3) ACI=BCl,..(cos a-3)2+sin2a=cos2a+(sin a-3)2, 整理可得血a=ma,ma=1又ae(行，）a=妥 (2)(1)B=cos a (cos a-3)+sin a sin a-3)= -3(sin a+cos a)+1=-1, 2 4 sia+cosa=3,（sina+cosa)2=1+2 2sin=g,解 得inc=18’ 5 2sin a+2sin creos a2sin c(sin cfcos c=2sin orcos a 1+tana。 sin a+cos a cos a 压轴挑战 2解析：由aB,y为锐角，得inaco≤m2a+cosB, 2 当且仅当na=cosB时取等号，同理sinco≤mB+osy 2 当且仅当simB=cosy时取等号，o≤, 当且仅当siny=cosa时取等号，则sin acos B+-sin Bcos y+-sin ycos≤ sin2a+cos2B+sin2B+cos2y+sin2y+cos2a3 2 2, 因此不可能有3个数都大于？，即最多2个数大于子，例如a= 45°，B=30°，y=30°，m=2. §2两角和与差的三角函数公式 2.1两角和与差的余弦公式及其应用 白题基础过关 1.C解析：cos20°cos250-sin20°sin25°=co(20°+25)= m5号 2.C解析：c0s255°=c0s(180°+75°)=-c0s75°=-c0s(30°+45°)= -(cos30°cos45°-sin30°sin45°)=- 6-√2 4 3.C解析：由题意可得2cos80°-cos20°=2c0s(60°+20°)- c0s20°=2cos60°cos20°-2sin60°sin20°-cos20°=cos20°- √3sin20°-cos20°=-√3sin20°.故选C. 4.C解析：因为ae(0,),则<a+<受，所以o(a+牙） 小()-（传因此wa-[( ）]w(e)mm(e)m子号 5 4.√272 52-10 5.A解折：因为a<号ma=弓，所以血a=V个云-25 因为<a<号，牙<B受，所以受<a+B<,所以om(a+B)= ow B-co[(a8)-a1-m(a+B)ow atsin(a-B)sina 13、562w6_126-53 7X7+7X7 49 必修第二册·BS 6.3*1 4 解析：因为3sina=cos 1 2sina,所以 √ 1 √3 2ina=2osa,故ana=3, 所以sina(sina+cosa)= sinsin tatan sin2a+cos2a tan2a+1 1.W5 33√3+1 3*7 4 7.43+3 解析：因为以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比 10 为3，所以AC BC 5,所以在直角三角形ABC中，∠BAC=T 6 了，所以血∠DMB=号，所以cos∠D4C= 4 3 因为cOs∠DAB= cos∠DAB-T T 6 =coS∠DABcos 6 3x1_45+3 5x 2 10 -0,且a,B都是锐角，则cosa 5,C0s B=v10 8.D解析：因为sna-25 13√0 则s(a+B)=×5.3x25.- 105105 2,+Be(0,m),则 9.6 解桥：由题意可得com乙s0P:子om∠00=音 5 因为点P位于第一象限，所以sin LxOP>:0.因为点Q位于第四象限， 所以i血∠x0Q<0,所以s如L0P=V-eos2L0p=3 5 sin Lx0Q=-1-c0s Zx0Q=-13 12 所以cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos∠x0Pcos∠xOQ-sin∠xOP· 65 黑题 应用提优 1.c解折：因为0c<,所以-0g-行因为血（任-） 0,则角名在第因象限所以咖（信：-29则 m(）小=[g-(g-)门-wgw(ξ (日224 6 四重难点拨 当角日范围过大，无法直接判断所求三角函数值正负时，可以利用 已知的三角函数值的正负、大小与特殊角三角函数值进行比较，进 一步缩小角的范围. 2.A解析：在△ABC中，由正弦定理及b2in2C+c2sin2B=2 bccos Bcos C 可得sim2Bsin2C+sin2Csin2B=2 sin Bsin Ccos Bcos C.又sinB>0,sinC> 0,∴.sin Bsin C=cos Bcos C,即cos Bcos C-sin Bsin C=0,即cos(B+ C)=0又：0<B+C<,B+G=号A=号-牙△ABC是直 角三角形 3.B解析：已知cos(a-B)=2,i血(u+B)=3,所以in2(a-B)= 黑白题044