第2章 专题探究2 余弦定理、正弦定理的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4 EF2 又因为AB2+BC2+CD2+DA=AC2+BD2,所以EF=0,所以E,F两点重 合，所以AC,BD互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，则AC= AB+AD. 故1A心12=1A2+1A12+2A店.A市，即36=9+16+2A店.A,所以 2Ai.Ai=11. 因为励=市-成，所以1B12=14市12+1A店12-2A市.A店=16+9-11= 14,所以1B1=14,即BD=√14. 专题探究1平面向量的综合应用 黑题专题强化 1.D解析：如图，分别取BD,AE的中点G,N,连接GW交EF于H, D,E分别是CB,CA的中点，.DE∥AB∥GN :D成=成+kD成=D心+kD成kD成=D成-D心=成，则M在线 段HN(不含端点)上 ·GW=DE+AB.3 2 F=1 =4 AB,HN=1 8 AB,.CH=GN-HN=5 侧耐诚d动：诚+成成+成同理成成 ()月 、h D A/ （第1题) (第2题) 2.ABD解析：如图，因为P是边BC上一点（不含端点），A市=aAB+ bA,所以a=1,0<b<1.由A0=bAB+aA得，Q落在CD上，故A 选项正确； 衣子(+=(+动-生花，其中子”<1，所以 落在AC上，故B选项正确； A=0.9A+bA,当0.9<b<1时，显然R会落在△ACD内，故C 选项错误； 因为1C1=(1-b)1B元1,1C1=(1-b)1C1,设平行四边形ABCD中 BC边上的高为h1,DC边上的高为h,所以SaAc=2(1-b)· 成x动，SAe=之(1-6)1市1x又因为11x=11× h2=SGABCD,所以S△APc=S△AOc,故D选项正确. 3A解折：若D是4C的中点，则励（团+威，放（威+配）· A元=2B励.A元=0，所以BD⊥AC,显然△ABC为等腰三角形，即BA= BC.由 可得csA=子又0<A<m,故A=号，故△ABC为等边三角形， 4.C解析：由 庙++威=4。绿路威：-2因 (1A1+D元1)·B励1=4， 18i=2. 必修第二册·BS 为A市.B励=B励·D元=0，所以A应⊥励，B励⊥D元结合图象可得A与 D心方向相同，所以1A1+1D心1=1A店+D心1，所以（店+D心）·A花= IAB+DCI IACI COsL CAB=IAB+DC12=4. 5.D解析：如图，过0，P作直径EF,依题意，Pi.P心=-1P11P心1= -PP21=-(10凉1+101)(10成1-101)=-(10凉2- 1012)=-2,为定值，A正确； 若AC1BD,则P.C=A.Pi=0,则A店.C=(A+P市)·(C+ p)=A市.C亦+pi.C+市.Pi+P鹂.P币，又Pi.P元=-2，则. C=-2,同理可得P.P币=-2，故A店.C=-4,B正确 若M为AC中点，连接OM,则Oi·O元= (oM+M·(0成城+M心)=07+0成i.(Mi+ M元)+i.M元=0-(4-0办)=20办-4， 0 由题意0≤07≤0=2，则0i.0心∈[-4， 0],C正确； 因为1AC1≤4,1BD1≤4，则有1A心·1B励≤ 16,D错误. 6号头解折正2底，市：4花店2应访5花 :B币.C应=-2，(A市-A)·(A应-A心)=(5A花-A)·(2A应 A花)=11A.A花-5A花-2A=11×2×1×cos LBAC-5×1-2× 4=2m∠BMC-13=-2,解得m∠BAC=分∠BACe0,). ∠BMC= 设成=A励，Ae[0,1,驴.本=（眩+）·(C+D)= [应应商]·[导1-感动]-（仔） (1-+(a写)迹+(002)市.应=16（号 小1-A+25(A-写）+(0Ab22）k5x4as号-2a2 12以+7=21（员）广+头当A=时，励.亦有最小值。 为 四易错提醒 转化为函数问题后，要先写出函数的定义域，再讨论取值范围，否则 容易出错。 7.解：(1)在△ABC中，D为AB中点，则C,P,D三点共线，设D币= mD元，.A-A市=m(A花-A市)， 故=m花+(1-m)市=m花之(1-m应，又市-花+}应，故 行1m-子解得m子分 (m=t, (2)由(1)知本}花号店-应=（兮花+兮应） 号（恋++2花.）=号（花2+前2+2花1· LBAC)≥g(21A花1·M1+21A.Mcos∠BAC),当且仅 当A心1=A1时取等号. 又5ac则宁花庙m∠ac=9即宁成1 m号-5d=6,做(2x62x 6m号)-21≥万，即1亦的最小值为2，当且仅当 黑白题036 A心=1A1=√6时取等号. (3)CA+C3=2c,故(C+C2=C+2C.C+C=4C=12. 令b=lCi,a=ICB1,则b2+2 abcos∠ACB+a2=b2+ab+a2=12≥3ab, .ab≤4，当且仅当b=a=2时等号成立，则△ABC的面积S= 1 2 absinLACB≤3. 综上，△ABC面积的最大值为√3. 8.ABC解析：A选项：H为垂心，为高线的交点，则A·B元=0，选 项A正确B选项：帝.成=戒.花-市.店}花2 前=32-8=24，选项B正确：C选项花成号（成+）· (a心-)=子(a心2-12)=16，选项C正确；D选项：.武= 立.A元-.A=2·A心1-2·A1=8,选项D错误 9AC解析：对于A,因为市=A(店，花） （m底mi=-na衣，设 点D为BC的中点，所以：入（应+衣）=2A办，所以直 mlABl mlABl 线AP一定经过三角形ABC的重心，故A正确； 配，因为的为与方向 对于B,当m=n=1时，市A(,亡)】 A IABI 相同的单位向量， 为与花方向相同的单位向量，所以店 ACI IABI 花平分∠BMC,即直线AP一定经过三角形ABC的内心，故B IAC 错误； 对于C,当m=cosB,n=cosC时，A=A AB A花 IABI cos B IACI cos C 所以市.成A(店.武，4花.武 IABI cos B IACI cos C A(仁csB.Bd,A花1cC.Bd）=A-B1+1)=0. IABI cos B IACIcos C 所以A市⊥B武，所以直线AP一定经过三角形ABC的垂心，故C正确： 对于D,当m=sinB,n=i血C时，市=A(店十花 IABIsin B IACIsin C ,而 由正弦定理有血C.即有m应=nd， IACI sin B' 结合A选项分析可知直线AP一定经过三角形ABC的重心，故 D错误 10D解析：在=如（任受）中，结合题图，令y=0,得x=2, 点A的坐标为(2,0)；令y=1,得x=3,点B的坐标为(3,1). 0A=(2,0),0=(3,1),.0A+0=(5,1),AB=(1,1), (0+02)·A=(5,1)·(1,1)=6. 11③ 。解折：扇形0的面积S=子心-}=石，解科a=号， 2a= 6 所以0r=1,∠40=号-号：石.0A=号.所以0.0耐： oi.10icm∠4A0r=号×1xas8-6 T√5 专题探究2余弦定理、正弦定理的应用 黑题 专题强化 1.B解析：7c=b-ac0sC,由余弦定理得 2c=6-axa2+b2-c2 2ab 化 参考答案 简得+2-2=加，sA-=年=号又在△BC中， 2bc 2bc 2 0<1<,A=号：△1Bc的外接圆直径为45 3 s2 2.A解析：由已知2nC。=a-,则在△ABC中，由正弦定理可得 sin A+sin B c %2则22-2-，即cc2-6) a+b c 又由余弦定理可知c0sC-a2+62-c22a24)62 2ab 2a+3，所以 4b 4a csC=+弘≥，当且仅当2=驰，即a=56时等号成立，又 464a21 4b 4a' Ce(0,m),所以C≤看即角C的最大值为 3.ACD解析：因为b=}c,由正弦定理可得snB 9 F4 -sin Asin C,所 ()？ )?血A血C,即血A:血C=了，故A正确： 由余弦定理得2=a2+e2-2acsB,即62=a2+c2-ac,又2=9。 4ac,所 =0-ac,即a2+e2=c,放B错误； 以9 因为公42-，曲正孩定理可得AC=号mAC,所以 snic-吕放CE商： 因为sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC=√(sinA+sinC)7= 1321万 vsmA+sm2C+2 sinAsin C-√位+2x3-之，故D正.确 4,号（停5）解折：b=1,a(a-)=6-1,放a(a-6)=c2-6 a2+b2-c2=ab,所以cosC=a6C=b=号又△ABC为锐角三角 形，ce(0,号)放c=骨由正孩定理得品c即后 所以6=2B sin- 3 4B-C=Be(0,受）解得Be(）又因为△M8C 为悦角三角形，所以8=(0，受)，综上B(行) 所以m8e(行)2m8e1,2源6（停）所 以ee(停） 5锯：(D因为m-咖A=2s(l-品）所以o咖B- a2sin A=absin C1- sin C sin B 由正弦定理得ab2-a3=ac（1-合)，整理得+c2-a2=6c 62+c2-a2 由余弦定理得cosA= 2bc 2,又Ae(0,),所以A= 1 1 (2)设△ABC内切圆的半径为r,则S=2 -besin A=2(a+b+e),所以 bcsin A√3bc a+b+c2(2+b+c) 黑白题037专题探究2余弦定 黑题 专题强化 题组1正、余弦定理的简单应用 1.*(2025·安徽合肥高一期中)在△ABC 中a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且) b-acos C,若△ABC的外接圆直径为 3,则a 的值为 ( A.3 B.2 C.23 D.4 2.*(2025·江苏扬州高一期中) 已知△ABC的内角A,B,C所对的 视频讲解 2sin C a-b 边分别为a,b,c,若 sin A+sin B ,则角C 的最大值为 ( A. 6 4 D.2m 3 3.*(多选)(2025·湖南岳阳高一月考)在 △ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若 B=- 一ac,则下列说法正确的是() 4 A.sinA·sinC= 3 B.at qac C.sinA+ainC=13 2 √7 D.sin A+sin C=- 2 4.**（2025·福建福州高一期中)在锐角 △ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,b=1且a(a-1)=c2-1,则C= 边长c的取值范围为 第二章 理、正弦定理的应用 电子错题本 限时：45min 5.*(2025·山东泰安高一月考)在△ABC 中，a,b,c为角A,B,C对应的边，S为△ABC 的面积，且absin B--a2sinA=2S(1-sinC)】 sin B (1)求A: (2)若a=2,求△ABC内切圆半径的最大值， 题组2正、余弦定理的综合应用 6.*(2024·江西抚州高一期中)》 已知△ABC中，BD+CD=0. 2∠CAD+∠BAD=180°，若AC= 2BC,则 coS∠ABC= ( 。3√2 133 2 B.13 C. D. 24 8 24 7.*★（多选）在平面四边形ABCD中，已知B+ D=180°，AB=2,BC=4√2，CD=4,AD=2N5, 下列四个结论中正确的是 A.B=D=90° B.四边形ABCD的面积为42+√5 C.AC=6 D.四边形ABCD的周长为6+4√2+2√5 8.**在△ABC中，D为BC上一点，CD= 3BD,AC=2AD,则AB BC ；若 s咖ZcD3,则sB= sin∠BAD√2 黑白题063 9.**(2025·江西宜春高一期中)如图，在平 面四边形ABCD中，AB⊥AD,E为线段BC的 中点，AD=AB=2,∠C= 31 (1)若∠B=2T,求△ABE的面积： 3 (2)若CD=2W2,求AE cos 7πV2-√6 124 10.#(2025·福建福州高一期中)某同学在 学习和探索三角形相关知识时，发现了一个 有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外 接圆的三条圆弧（劣孤）沿着三角形的边进 行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一 点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形 三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外 接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边 翻折后交于点P. (1)若AB=6,求cos∠PAC; (2)若AC:AB:BC=6:5:4,求PA+PB+ PC的值. 必修第二册·BS 题组3正、余弦定理的实际应用 11.*(多选)(2025·湖北荆州高一期中)如 图，甲船从A,出发以每小时25海里的速度 向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线 航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西 75°方向的B,处，此时两船相距5√2海里.当 甲船航行12分钟到达A,处时，乙船航行到 甲船的南偏西60°方向的B,处，此时两船相 距5海里，下面结论正确的是 () 北 B2 60 甲A 75ò 7乙 A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是15√2海里/时 C,甲乙两船相遇时，甲船行驶了十y小时 D.甲、乙两船不可能相遇 12.*(2024·江西吉安高一期末)如图，现有 一直径AB=2百米的半圆形广场，AB所在直 线上存在两点C,D,满足OC=OD=2百米(O 为AB的中点)，市政规划要求，从广场的半 圆弧AB上选取一点E,各修建一条地下管道 EC和ED通往C,D两点. (1)设∠EOB=0,试将管道总长（即线段EC+ ED)表示为变量0的函数； (2)求管道总长的最大值 黑白题064