第2章 平面向量及其应用 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二章真题演练 子错题本 黑题 真题体验 限时：30min 考点1平面向量 :8.*(2023·北京)在△ABC中，(a+c)(sinA 1.*(2023·全国乙文)正方形ABCD的边长 sin C)=b(sin A-sin B),C= () 是2，E是AB的中点，则E元.ED= ( A. 6 C.2m D. 6 A.√5 B.3 C.25 D.5 9.*（2023·全国甲理)在△ABC 2.*(2023·全国甲文)已知向量a=(3,1), b=(2,2),则cosa+b,a-b〉= () 中，∠BAC=60°，AB=2,BC=√6， 视频讲解 B.7 D.25 ∠BAC的平分线交BC于点D,则AD= A司 1> c.5 3.*(2024·北京)设a,b是向量，则“(a+10.(2024·新课标全国I)记△ABC的内 b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的()》 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= A.充分不必要条件 √2cosB,a2+b2-c2=√2ab. B.必要不充分条件 (1)求B; C.充要条件 (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. D.既不充分也不必要条件 4.(2025·北京)在平面直角坐 标系x0y中，10A1=101=√2， 1AB1=2.设C(3,4),则12C+AB1的取值范 围是 A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 5.*（2025·全国二卷)已知平面向量a= (x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则 lal= 6.**(2025·天津)△ABC中，D 为AB边中点，C成=C成，A=a, A元=b,则A正= (用a,b表示)，若 IAE1=5,AE⊥CB,则AE.CD= 考点2解三角形 7.*(2025·全国二卷)在△ABC中， BC=2,AC=1+3,AB=√6，则A=（) A.45°B.60°C.120° D.135° 第二章黑白题069 第三章 数学建模活动（二）（略） 第四章 三角恒等变换 §1同角三角函数的基本关系 1.1基本关系式田1.2由一个三角函数值求其他三角函数值田13 综合应用 白题 基础过关 限时：40min 题组1利用同角三角函数的基本关系求值 6.*(2025·山西吕梁高一期末)已知α∈ 1.*(多选)(2025·江西赣州高一月考) 若sina=- (男ol,则如ea&oo/Twn- 5,且&为第三象限角，则下列 () 选项中正确的有 ( A.-1 B.-2cos a-1 A.tan a= 3 C.1 D.2cos a+1 B.cos a= 5 7.*一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减 7 C.sin a+cos a=- 去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输 5 D.sin a-cos a=- 5 出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此 2.*(2025·安徽六安高一期末)已知1- 不断地进行下去.若第一次输入的是cos2α，则 s血a=csa,ae(-受， ),则tana= 第2025次输出的是 题组3利用同角三角函数的基本关系证明 ( 8.*证明下列恒等式： √2 A. 2 B.- (1)sin2a+sin2B-sin2asin2B+cos2acos2B=1; 4 4 (2)2(1-sin a)(1+cos a)=(1-sin a+cos a)2. C.22 D.-2√2 3.*(2025·江苏南京高一月考)若8tana= 3cosa,则sina= 题组2利用同角三角函数的基本关系化简 4.·（2025·山东潍坊高一月考)化简 √1-2sin(T-2)cos（π+2)的结果是()》 A.sin 2+cos 2 B.sin 2-cos 2 C.cos 2-sin 2 D.-sin 2-cos 2 1 5.化简 的结果为 ( ) /1+tan2160° A.-c0s160° B.c0s160° 1 C. D. cos160° c0s160° 必修第二册·BS黑白题070由余弦定理得B1B2=√JA1B+A1B-2A1B1·A1B2COs45°= 7(52)2+52-2×52×5×号 =5(海里)， 则有A1B号+B1B=A1B,所以LA1B2B1=90°，所以LA1B,B2=45°， 所以乙船的行驶速度是多=25（海里/时），故A正确，B不正确。 60 延长B1B2与A1A2交于点0，因为∠A1B2B1=90°，即A1B210B1, LA241B2=60°，所以易得0A1=10海里，0B2=55海里，0B1= 5(+1海里，甲船认出发到点0用时：=8号（小时，乙船从 出发到点0用时台：5.（小时），，即甲貂先到达 25 点O,所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确. 12.解：(1)在△D0E中，由余弦定理得ED2=0D2+0E2-20D·0E· cos∠E0D=4+1-2×2×co30=5-4co30. 在△C0E中，由余弦定理得EC2=OC2+OE2-2·OC·0E· c0sLE0C=4+1-2×2×cos(T-0)=5+4cos0, ∴.EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f0),0∈[0，T], ,将管道总长（即线段EC+ED)表示为变量0的函数为f(0)三 √5+4cos0+√5-4cos6,0∈[0，T]. (2)由(1)可得[f(0)]2=(√5+4os6+V5-4cos0)2=10+ 2√5+4c0s0·√5-4c080=10+2V25-16c0820. ,0∈[0，T],∴.0≤cos29≤1， ∴.[f(0)]2=10+2√25-16c0s20≤10+2√25=20（百米）， 当且仅当cos20=0,即0=2时取等号. :f(0)=√5+4cos0+√5-4cos0>0,∴.f(8)≤√20=25（百米）. .管道总长的最大值为25百米 第二章章末检测 1.B解析：可设a=4,b=5,c=6,所以a<b<c,所以A<B<C,又cosA= 02+c2-a2_25+36-16.3 2bc 2×5×6 ,所以最小角的余弦值为子 2.B解析：1a1=2,1b1=2,a·b=2,.1a-b12=(a-b)2=a2+ b2-2a·b=1a12+1b12-2a·b=4+4-4=4,.1a-b1=2. 3.C解析：对于A,向量a与b满足Ia1=1b1且a∥b,若向量a与b反 向，则合合故A不符合题意： b 对于B,由a=-b,则合=治故B不符合题意： a=h,放c符合题意； 对于C,由a=2b,则向量a与b同向，所以&=b 对于D,向量a与b满足a∥b,若向量a与b反向，则& D不符合题意 4.C解析：由题意知，0d=0i+D元=0i+A店=0i+0成-0i,由△0EF △c,器=瓷影兮所以成：号成，成号d在00 中，亦成+成，脚成=·号+成。成+ 成，即时（动+成-0）石成成，整理得0市-2耐0成 6 5.C解析：比co8A-。,可得aeo8A=ccos C,由余弦定理可得a +e2-d-c.22-c 2bc 2ab,整理可得6(a2-2)=(a2-e2)(a2+e2),即 (a2-c2)(a2+c2-b2)=0,所以a2-c2=0或a2+c2-b2=0,即a=c 或a2+c2=b2,所以△ABC的形状是等腰或直角三角形. 6.A解析：如图，∠PAD=∠DPA=45°，∠BAD=15°，∠QBC=45°， ∠PBC=75°，所以∠PAB=30°，∠BPC=15°，∠PBQ=30°，得 ∠P0B=135°. 参考答案 在△ABP中，AB=BP=90在△POB中，由正弦定理得BP sin∠POB 9a0即0s0将得P0=0 PO sin135 =452,所以壕股 塔的高为45√2m. A (第6题) (第8题) 1A解折：由题意知，161=11=1，m(e,）=子，所以 616=子，又向量a,6在0一斜坐标系中的坐标分别为(1,1。 (2,-1),所以a=e1+e2,b=2e1-e2,所以a·b=(e1+e2)· 62Ge62号1号 8.A解析：如图所示，连接MN,取MN中点为点O,则PM+P示=2P 因为1PM+P=8,所以1P1=4,所以PM.P成=(Pi+0)·(Pd+ =ò-2=62 由图可知，当MW⊥h1时，1M1最小，作PW'⊥k2交l1于点M,由题 意可知，PM'=1,PW'=3,所以MNmn=3-1=2, 即成.成：16}2≤16-x2=15,综上可得，成.的 最大值为15. 9.ABD解析：由a=(1,3),b=(2,-4),可得3×2-(-4)×1=10≠0，所 以a,b不共线，所以{a,b}能作为平面内所有向量的一组基，故 A正确； 由a=(1,3),b=(2,-4),所以a+b=(1,3)+(2,-4)=(3,-1),所以 (a+b)·a=(3,-1)·(1,3)=0,所以(a+b)⊥a,故B正确； a+2b=(1,3)+2(2,-4)=(5,-5),所以1a+2b1=√5+(-5)= 52,故C错误； -10 cosa,)=lallblx 号，放a,的夹角为行放D 正确 10.AD解析：因为血(A-石）=emB且△ABC为锐角三角形，所 以4石+8=受A+8= 2T 根据三角形的内角和定理，得C=号，故A正确， 由余孩定理得2=a2462-2 abe子=a2+-ab,甲9=a2+4-2a整 理得a2-2a-5=0,又0>0，所以a=2++20=1+6,故B错误： 2 根据正弦定理得“ sin A"sin sin A=asin C ()x 3 3(1+6),故C错误； 6 因为saw=寸bmc=宁×(1+5)x2x_（16- 1 2 2 3+3迈，故D正确， 2 1.ACD解析：设a0b-a:b-acs9=①，b。a=b:8- 62 1b1 m a2 黑白题039 b兴②，因为0：0，：]所以号、 lal m ≤c0s0≤1，所以 )≤c0s20≤1又1a1≥b1>0,所以n1≥n>0, 02机来得o0学时学s引 对于A,当m=1时，2≤n1≤1，而a。b和b。a都在集合 {日neZe2中，他就是西部是整数放==1，所 以aob+b。a=1+1=2,故A正确； 对于B,当=2时，号≤”警≤12≤≤4，又是整数。 当=1时，有me2,3,4},即abe{1,弓，2}，当m=2时， 有n1=2,a。b=1,故B错误： 对于C,当m=3时，}≤”g≤1→}≤%≤9，即i≥≥ 9 9 2→，≥3→n1≥3，即3≤n≤9，所以a。b的取值个数最多有 9-3+1=7(个)，当且仅当n2=1时，a。b的取值个数最多，故 C正确； 财于D,当m=2024时，7≤2024s132024 1 2≤n1n2≤20242， 2→m1≥2024 即f≥42≥202 →m1≥1432，即1432≤m1≤ 20242,所以a。b的取值最多有20242-1432+1=(20242-1431)（个） 故D正确 12.T解析：由1a-b1=1al,可得a2-2a…b+b2=a2,解得ab=2, 。1 则a.)-治高子又a,be0,1,所以a与6的夹角 为 13.2解标：因为成._成.成，所以1店1∠4=11· IDAI IDBI cos LEDB,所以点E在LADB的平分线上.如图，因为D成=xD+ yD店，且x+y=1,所以A,E,B三点共线.因为DA=DB,所以△ABD是 等腰三角形，即点E为AB的中点，故纪2 14.6 解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos LBAC= AC2+AB2-BC28+9-5V2 24CA2X22X32,因为0cLBC<m,则∠B4G= 设EF=x,则DG=DE=AE=x,AD=√2x,CD=22-√2x,由题意可得 (2x<2W5, AD<AC,n即2x<3,可得0<x<2 3 AE+EF<AB. x>0, 因为Dc/A,则∠cDG=子，在△c0G中，由余弦定理可得cG- 0c+c02-2Dc.c0em牙=2+(22-2-2x(2-2)· s-1a+8=5(广号会专用ac9当且假当 2 =时等号成立，所以当EF-时，线段CG长度最小 5 必修第二册·BS 15.解：(1)因为3a-kb=(3,3+2k),3a+b=(3,1).又3a-b与3a+b的 夹角为90°，则(3a-b)·（3a+b)=3×3+3+2k=0,解得k=-6. (2)因为a=(1,1),b=(0,-2),所以a·b=-2,1b1=2,所以向量a 在时量6上投影给数景为分。-1 16.解：(1)在△ABC中，由bsin C+3 ccos B=√3a及余弦定理得 sinC5c.+c2--5a,化简得2 abin C=5(a2+b2-e2),所 2ac 以sinC=√3cosC,即tanC=3.因为△ABC中，C∈(0，π)，故 (2)在△ABC中，由余弦定理可得，c2=12=a2+b2-2 abcos C=a2+ b2-ab=a2+b2-8,所以a2+b2=20. 因为cT为B边上的中线，所以Ci(+i),所以C办= (C)(2ab) 子(a24+)=宁×(20+8)=7，放1才=7.即A边上中线c7 的长为7. 17,解：(1)由题意可得AB=(3W3-3)km,AC=6km,∠BAC=75°+45°= 120°，如图，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB· 4cm∠B1c,则Bc=[3(6-112+6-2x6x3(-10x(分) 54,故BC=3V6km,即村庄B,C之间的距离为36km, 在△ABC中，由正弦定理可得 ysin∠BACsin LABC,则sin LABC= BC AC ACsin∠BACV2 BC =之，从而∠ABC=45,故村庄C在村庄B的正西方向上 B (2)如图，因为农贸市场D在村庄B的北偏东30°方向上，所以 ∠CBD=120°. 在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos.∠CBD 因为CD=V7D,所以7B02=(36)2+BD2+36BD,解得BD=36 或6（合.期c03放00-353， 2 2 即农市场D销庄风C的有之和为5,3）n 18.(1)(i)证明：因为市=2应，所以0市-0i-名（成-0），则0成- 0号破号，整理得0市}0+号成 (ⅱ)解：设B成=yB成，则A成=店+B成=A店+yB市=店+y(A市-成) （2花-应)=(1)+子花 又-花+威-花：励-衣x(励-=花+：(？应-花) 2 号1成，所 1-y=5, 5 解得x= 8 2y=1-x, (2)证明：因为Ai=aD品，所以Mi-MA=a(M-M),则Mi-MA= 城城整理得动中成应。 a+1 设励：-成，代入上式得+a应+：心=0，记为D,同理可得 黑白题040 成-6成，本=。成，设=种成，亦本应，可得：+ M市+bM元=0，记为②，cMi+rM+M心=0，记为③， 联立①②消去M店，联立①③消去M,可得(1-at)M+(s-ab)M元= 0,(ac-r)Mi+(sc-1)M元=0， 又因为M,M成，M心中任意两个向量互不共线，所以有1-at=s- ab=ac-r=sc-1=0, 由1-a=0得1=日，由x-1=0得s=又=6，放名=0， 即abc=1. 19.解：()由0到弦AB的距离是子，可得LA0=∠BA0=30,故 ∠A0B=120°. (i)由圆的几何性质得∠ACB=120°，A心1=1C1=1,故A花.C= Md1x1d成1xos(A花，C南=1x1xcos60°=2 1 (i)记劣弧AB的中点为D,如图， 易得可成.成=号成.成 An破.i=A-之①成， 成=成.成u成士n@, ①+②得0元.(Oi+0i)=之(A+w),进 一步得：A+μ=20元.(O+0)=20元.0i=2s(0d,0i), 其中0°≤(0元，0市)≤60°，故A+u的取值范围为[1,2]. (2)记∠40B=a,由13O-0成1≤两边平方，得9+0- 6成.is算10-6ae空又-1ome<lmae[g,l） 4 (20i+0i)·(0i+0i)=3+3c0s&,120i+01=√5+4cosa, 10i+0i1=√2+2cosa. 又20A+0和向量0A+0的夹角为0， c0s20= [(2Oi+0)·(oA+0) (3+3c08a)2 10A+0i1120A+0i1 (5+4cos a)(2+2cos a) 9(1+cos a)9 1- 1 2(5+4cos a)8 4cos a+5 记=号(5)，显然)在=ae[，1）上单闲 递增，所以当x=cosa= 时，(m0)m=f(）-8 第二章真题演练 黑题 真题体验 1.B解析：方法一：以A店，A!为基向量，可知A1=A1=2,A, 市=0，则武=成+成=2+动，励=耐+市=+，所以 武.动(2应ò）小(2ò）4+-1+ 4=3. 方法二：如图，以点A为坐标原点建立平面直 角坐标系，则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得 Ed=(1,2),励=(-1,2)，所以E武.E励=-1+ 4=3. 方法三：由题意可得ED=EC=√5，CD=2.在 A △CDE中，由余弦定理可得osLDEC=DEB+CB3-DC2.5+5-4 2DE·CE2xW5×5 },所以武.励=励cms∠DBC=5x5x；-3放选B 参考答案 2.B解析：因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b= (1,-1),则1a+b1=52+3=√34，la-b1=√12+(-1)下=2，(a+ b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,所以cos(a+b,a-b）= (a+b)·(a-b)2/17 1a+b1la-b134x27故选B. 3.B解析：因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a2=b2,即1a|=1b1, 可知(a+b)·(a-b)=0等价于1al=1bl. 若a=b或a=b,可得1al=lb1,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性成立； 若(a+b)·(a-b)=0,即Ial=1b1,无法得出a=b或a=-b, 例如a=(1,0),b=(0,1),满足Ial=1b1,但a≠b且a≠-b,可知充分 性不成立 综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条 件.故选B. 4.D解析：因为101=101=√2,1A1=2,由A=0成-0i平方可得， o.0i=0,所以0,0=7 2C+A=2(0i-0心)+0-0i=0i+0成-20元，10元1=√32+4=5， 所以12CA+AB12=1012+10B12+410元12-4(01+02)·0元=2+2+ 4×25-4(0i+0i).0t=104-4(0i+0).0元 又1(0+0).0t1≤10i+0110元1=10，即-10≤(0i+0)· 0d≤10，所以12CA+AB12e[64,144],即12C+A1∈[8,12]. 5.√2解析：a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+ 1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则1a|=√2. 6右+子-15解析如图， 因为d号动，所以店-花号(d-动，所以成号动号花 3 因为B为极边的中点，所以店=。r号正-。 60 36 又为1=5，A51c8.所以-（仁a+子广-高c+ 合+号=5成.防=（日+号）小(a-=石 2 之6子5=0，所以c43a:b=4w,所以e2+4ab=180, 所以.成（名+号）小(++名4…b 子6=7(2+2ab-w2)=b(e+2ab-2-6ab) 1 12（-a2-4a…b)=-15. 7.A解析：由题意得csA=AB+AC-BC.(6)2+(1+5)2-2 2AB·AC 2×√6×(1+√5) 又0°<AK180,所以A=45 21 8.B解析：因为(a+c)(sinA-inC)=b(sinA-sinB),所以由正弦定理 得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,则a2+b2-c2=ab,故 csc=a2+62-c261] 2b品2又因为0c<,所以C=号放透B 9.2解析：如图所示，记AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理 可得22+b2-2×2×b×c0860°=6. 因为b>0,所以b=1+√5， 黑白题041