第2章 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形 白题基础过关 1.D解析：由题意，知△ADC为等边三角形，则∠ADB=120°，AC=2, 由余弦定理，得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB,即AB=27, AD AB 由正弦定理，得 mBn∠A0B则imB=AD·sin2A2,放 AB 选D. 2.66 3 解析：如图，在△ABD中，由余弦定理 得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA,即196= 100+BD2-10BD,解得BD=-6(舍去)或BD=16. AD⊥CD,∠BDA=60°，∴.∠BDC=30°.又 ∠BCD=120°，∴.∠DBC=30°，∴.BC=CD,在△BCD 中，BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos∠BCD=3BC2= 162,.BC=3.故答案为63 3 3.(1)证明：在△AcD中，由正弦定理得2C)%,即AD sinD=AC·sin∠ACD. 因为AB∥CD,所以∠ACD=∠CAB,所以AD·sinD=AC·sin∠CAB. 布△C中，由正欢定里得a-m2C,即AC,血LCB。 =_BC BC·sinB,所以AD·sinD=BC·sinB. 又AD·sinD=2CD·sinB,所以BC·sinB=2CD·sinB,即 BC=2CD. (2)解：由(1)知CD=2BC=1 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD· mLA0c-=241P-2x2xIx(号）=7，故4C=7, 所以cosLCAB=cos LACD= CD2+AC2-AD212+7-2227 2CD·AC2x1x万7 在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB, 即2=7+MB:-2w7x4Bx29,整理可得AB-4MB+3=0,解得AB-1 或3.又因为四边形ABCD为梯形，所以AB=3. 4.A解析：因为在△M8C中，a=2,c=3,B=石，所以△ABC的面积为 2 acsin B=1 1 2×2xW3xsinπ-3 62 5.B解析：依题意，S=子店花1·血4，店，花=1· 成m4,测，成aA=25分1成， sinA,故anA=√3，而0°<A<180°，所以A=60°. 8D解折：因为C= 4b=3,所以ab=4.又c2=a2+ b2-2 abcos C=(a+b)2-2ab-ab=25-3ab=25-12=13,所以c=√/13. 7A解折：因为S=子(2+e2-2)=号0n又由余弦定理+ 2-02e2ms4,所以号×2 eA=子咖4，所以子。 1 3Cos A= 4 2sinA,则anA=sinA_3.8 23 cos A 1 2 8.45解析：因为a+b=8,所以8=a+b≥2√ab→ab≤16（当且仅 当a=b=4时取“=”). 由余弦定理得csC=2+62-c_（a+b0)2-2-2ad_24 1≥24-1= 2ab 2ab ab 16 分放n6s号威以s=分nmGs宁16 2 =4√5（当且仅 当a=b=4时取“=”). 必修第二册·BS 黑题 应用提优 1.B解析：B= 4,a=22,b=25,由余弦定理得0sB= T 2-62,即②（22）2+2-(25)2 ,解得c=6或c=-2(舍去).又 2 2×25xc B= √2 4,.sin B= 由三角形的面积公式可得}仙= 2acsin B. 即h=acsin B_65 b 5 2.D解析：因为△ABE,△BCF与△CAD是三个全等的三角形，则 ∠AEB=∠BFC=∠CDA,即得∠DEF=∠DFE=∠FDE=6O°，故 ∠ac-1wn又架提-器设6=0.则B FC=3x在△BFC中，由余弦定理得cs120=3x)2+(5x)2-49 2×3x×5x 都得1，则F=2,所以△DBF的面积为2=原故选n 1 3.A解析：设AB=PC=2W3,因为∠APB=120°，所以在△ABP中，由余 弦定理得AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos∠APB,即12=3AP2,解 得AP=BP=2. 又AP⊥PC,则∠BPC=150°，在△BPC中，由余弦定理得BC2=BP2+ PC2-2BP·PCeos.∠BPC,即BC2=4+12-2×2×2W3cos150°=28，解得 BC=2√7.在Rt△MPC中，AC2=AP2+PC2=4+12=16,解得AC=4,故 BC_2W7_√7 AC421 4.B 解析：由题设0。 AB DE BE BD sin asin LADB'sin B=sin BDE=sin BED' EC BC sin y sin∠BEC' AD=DE=EC=m.sin L ADB=sin BDE,sin BEC=sin /BED, 所以ADsin.∠ADB=ABsin a,DEsin L BDE=BEsin B, BEsin B 即sina= ,ECsin∠BEC=BCsin y,DEsin∠BED=BDsin B, AB 即siny=BDsin B BC 所以，sinB-AB·BCsin B AB·BC sin asin y BE·BDsin2BBE·BDsin B 又∠ABC= 2,则SAc=3SAnE,即号AB·BC=3 1 2 -BE· 2 BDsin B,放，sinB =3 sin asin y 5.54 7 解析：由余弦定理得BC= 3 √AB2+AC2-2AB·AC·cosLBAC=A/25+4-2x5×2 4=4,由 角平分线定理得船D5 子==。，所以一7比三4 7,Cos B= AB2+BC2-AC225+14-4=14 2AB·BC2x5×√44， 所以AD=√AB2+BD2-2AB·BDcos B 1/25*5a -2x5x514x▣.5v4 7 7 4 7 6.解：(1)由AB=√2，BC=1,∠ACD= 2,4C=CD,可得AD=V2CD. 由题意可得ABXCD+BCxAD≥ACXBD,即ABXCD+BC×√2CD≥CDX BD,即W2+√2≥BD,当且仅当A,B,C,D四点共圆时等号成立，即BD 的最大值为22. (2)连接BD,因为四点共圆时四边形的面积最大，AB=2,BC=6,AD= CD=4,所以A+C=T,即cosC=-cosA,sinA=sin C. 黑白题032第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形 白题 基础过关 限时：25min 题组1几何中的边角计算问题 题组2三角形中的面积问题 1.·如图，在△ABC中，点D在BC边上， 4.·(2025·湖南邵阳高一月考)△ABC内 ∠ADC=60°，CD=AD=2,BD=4,则sinB的值 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,c= 为 存，B=看则△AnC的面积为 () B 4 .2 Bv今 6 14 D.v27 14 C.√3 D.23 2.*在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD= 5.*(2025·安徽芜湖高一期中)在△ABC 10,AB=14,∠BDA=60°，∠BCD=120°，则BC 中，若其面积为S,且店，AC=2 的长为 3S,则角A 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD 的大小为 sinD=2CD·sinB. A.30° B.60° (1)求证：BC=2CD; C.120° D.150° (2)若AD=BC=2,∠ADC=120°，求AB的 6.*(2025·江苏常州高一期末)已知△ABC 长度 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C= 60°，a+b=5,SAARC=√3，则边c的值为() A.√29 B.33 C.√19 D.√13 7.*(2025·山西阳泉高一期中)记△ABC中 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 △ABC的面积S=名(6+c2-a),则anA= 3 2 b c号 8.*(2025·江西吉安高一月考)设△ABC的 三边a,b,c满足关系a+b=2c=8,则△ABC面 积的最大值是 必修第二册·BS黑白题054 黑题 应用提优 限时：30min 1.*(2025·广东广州高一期中)已知△ABC5.整(2025·江西景德镇一中高一期末)在 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B= △ABC中，∠BAC的平分线为AD,AD与BC 4 3 交于点D,cos∠BAC= ,AB=5,AC=2, a=22,b=25,则AC边上的高h=( 则AD= B.65 c. D.76 6.禁(2025·江苏无锡高一期中)古希腊数学 5 6 8 家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角 2.如图，△ABC为正三角形，△ABE,△BCF 度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大 与△CMD是三个全等的三角形，若5=0 EF DE 发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和 不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共 CF 3 FD2,BC=7,则△DEF的面积为 ( 圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边 长，四点共圆时四边形的面积最大根据上述 A.2 B.4 C.23 D.3 材料，解决以下问题， 如图，在凸四边形ABCD中. ()若AB=万，BC=1,∠ACD=2,AC=CD(图 ①)，求线段BD长度的最大值； (第2题) (第3题) (2)若AB=2,BC=6,AD=CD=4(图②)，求四 3.*(2025·浙江温州高一月考)如图，P为 边形ABCD面积取得最大值时角A的大 △ABC内一点，AP⊥PC,AB=PC,AP=BP, 小，并求出四边形ABCD面积的最大值； (3)在满足(2)的条件下，若点P是△ABD外 ∠APB=120°，则BC 接圆上异于B,D的点，求PB+PD的最 大值. A. 7 2 B.√2 D.0 2 4.*(2025·广东深圳高一期中)如图，在 △4BC中，∠ABC=,D,E分别是AC上的三 ② 等分点，记∠ABD=a,∠DBE=B,∠EBC=Y, 则、sinB sin asin y A.33 B.3 C.23 D.2 第二章黑白题055