全书综合检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

全书综合检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.*(2025·辽宁鞍山高二期末)已知单调递 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 增数列{an}的通项公式为an=3”+入(-2)+1， 要求的 则实数入的取值范围为 1.*(2025·陕西西安高二月考)下列求导正 11 B.（22 确的是 ( A.(cos 4x)'=sin 4x B.(e2)'=e2 c.(-g C.(x2-2)'=2x-2 D.(ln2)'=0 7.**(2025·江苏盐城高二月考)若过点(a,b) 2.·(2025·陕西渭南高二期末)已知等差数 可以作曲线y=lnx的两条切线，则() 列{an}中，a2=4,a=12,则S6等于（ A.e>0>a B.In a>0>b A.48 B.49 C.e>a>0 D.In a>6>0 C.55 D.54 8.#(2025·江苏无锡高二月考)若定义在R 3.(2025·天津西青区高二期末)已知函数 上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足 f(x)=(x2-a)e2“在区间[-1,2]上单调递增， f'(x)>f(x)+9e,f(3)=27e3,则不等式 则a的取值范围为 f(x >xe的解集是 9 A.(-∞，0] B.(x,4] A.(3,+) B.（-∞，3) C.(-3,+∞) D.(-∞，-3) C.(-,6] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 4.*(2025·福建龙岩高二月考)若等比数列 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 5为a {a,}的前n项和为S,且a2a3=2a1, 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 与2a,的等差中项，则S4= 9.*(2025·江西赣州高二月考)设{a,}是 A.29 B.33 各项为正数的等比数列，q是其公比，T是其 C.31 D.30 前n项的积，且T。<T,T,=T>T,则下列结 5.*(2025·辽宁朝阳高二月考)在数列{an} 论正确的是 中，已知a1=1且a+1+an=2n,则其前29项 A.9>1 和S的值为 ( B.as=1 A.56 B.365 C.Tio>To C.421 D.666 D.T,与Ts均为T,的最大值 全书综合检测黑白题79 10.*(2025·广东广州高二期中)已知函数 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 f(x)=ax3+br2+cx+1(a≠0)在x=1处取到极 文字说明、证明过程或演算步骤 大值1，则以下结论正确的是 15.*(13分)(2025·四川泸州高二月考)已 A.3a+2b+c=0 知数列{an}是公差不为0的等差数列，a,= B.b=-2a 1,a2是a1和a4的等比中项 C.a>0 (1)求数列{an}的通项公式； D.九：)的极小值点为号 (2)设数列{bn}满足bn=2”+2an,求数列 {bn}的前n项和Sn 11.#(2025·福建福州高二月考)已知数列 {an}满足a+1=a2-2an+2,则下列说法正确 的是 J A.当a=2时，1<a.≤4(n≥2) B.若数列{an}为常数列，则an=2 C.若数列{an}为递增数列，则a1>2 D.当a1=3时，0n=22+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.*(2025·四川绵阳高二月考)已知数列 {an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n+1,则 a,= 13.**(2025·湖南长沙高二期末)函数y= f(x),x∈(-2,7)的图象如图所示，设y= fx)的导函数为y='(x),则(x0的解 f(x) 集为 y=fix) 14.(2025·山东淄博高二期末)已知数列 man,n为奇数， {an}满足a1=1,且a1= 其 an,n为偶数， 中m>0,neN°，则a202s= 选择性必修第二册·BS黑白题80 16.*(15分)(2025·山东淄博高二期中)某17.*(15分)(2025·吉林白城高二期末) 工厂生产某产品的固定成本为400万元，每 设Sn为等差数列{an}的前n项和，其中a1= 生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产 1,且=aneN'). 量不是0万箱时，p()=50+150:当产 a (1)求常数入的值，并写出{an}的通项公式： 量不小于60万箱时，p(x)=201x+6400 (2)记么，数列6，的前a项和为7，若 1860,若每箱产品的售价为200元，通过市 场分析，该厂生产的产品可以全部销售完， 对任意的a学(：eN),都有子I<行 (1)求销售利润y(万元)关于产量x(万箱) 求常数k的最小值. 的函数关系式 (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所 获得利润最大？ 全书综合检测黑白题81 18.整(17分)(2025·江苏镇江高二月考)已19.禁(17分)(2025·山西太原高二月考)对 知)n子 于函数fx),规定∫'(x)=[fx)]'f2(x)= [f'(x)]',…f(x)=[fa-(x)]',f(x)叫 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y=x 作函数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含 垂直，求实数a的值； xo的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且 (2)若函数y=f(x)存在两个不同的极值点 在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对 ,2,求证x)+x)>2 3 闭区间[a,b]上任意一点x,f(x)=f(xo)+ f2(o) f'(x)(x-x)+ 2！ (x-x0)2+…+ f((xo) ·(x-x)”+Rm(x),该公式称为函 n! 数f(x)在x=x。处的n阶泰勒展开式， Rn(x)是此泰勒展开式的n阶余项.已知函 数f(x)=ln(x+1).(n!=n×(n-1)×(n-2)× …×3×2×1) (1)写出函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展 开式(R(m(x)用R3(x)表示即可)； (2)设函数f(x)在x=0处的3阶余项为 g(x),求证：对任意的x∈(-1,1)， g(x)≤0； (3)求证：(1+2)1+)(1+)… 1+2)ke(neN)为 选择性必修第二册·BS黑白题82g(x)=C,C为常数，由g(x)=八四=C得)=C,故答 案可以为f(x)=(答案不唯一) 全书综合检测 1.D解析：对于选项A:由余弦函数的导数可得(cos4x)'= -4sin4x,故A错误；对于选项B:由复合函数求导可得 (e2)'=e2·(2x)'=2e2,故B错误；对于选项C:因为 (x2-2)'=(x2)'-(2)'=2x,所以C错误：对于选项D:因为 n2为常数，所以(ln2)'=0,故D正确. 2.A解析：等差数列{an}中，a2=4,a5=12,所以S。= 6(a1+a6 2 -=3(a2+a5)=48. 3.B解析：f'(x)=e“(2x2+2x-2a),由题意得f'(x)≥0在 [-1,2]上恒成立，即2x2+2x-2a≥0→a≤x2+x在x∈ [-1,2]上恒成立，则a≤(x2+x)x∈[-1,2]，当x=2 时+：取得最小值-，放a≤- 1 4.D解析：设等比数列的公比为q,由a2a3=2a,=a1a4→ a,=2,由子为a与2a,的等差中项，得a:+24,=4 5 所以2=9=g=g=7=a,9=2a,=16,故8= 1 1 aa a1·(1-q) =30. 1-g 5.C解析：Sg=a,+a2+a3+a4+…+a,+a2s+a29=a1+(a2+a3）+ （a4+a3)+…+(a26+a27)+(a28+a2y)=1+2×2+2×4+…+ 2×26+2×28=1+2×(2+4+6…+26+28)=421. 6.A解析：已知a1>an恒成立，即3*1+入(-2)+2>3"+ 入(-2)+1恒成立，n为奇数时，31-入·2*2>3"+入·2+1， 3<()八，(3)广的最小值是所以3A<A2n 3 1 为偏数时3+M…2>3”-A…2,-31<()八，()月 的小值是？所以-3以<号所以-< 7.C解析：设切点坐标为1，a)(>0)y=切线斜 率=}在点(1，h0处的切线方程为y=(x-)+ +n-1.切线过点(a,b)b=4+ln1-1.过点 In t=I (a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，.令g()=:+lnt- 1,则y=b与g()有两个不同交点，g(0)=-g+上-0 2t2 (t>0),当a≤0时，g'(t)>0,g(t)在(0，+∞)上单调递增， 不合题意；当a>0时，若te(0,a),则g'(t)<0;若te(a,+o), 则g'(t)>0,∴.g(t)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调 递增，.g(t)mm=g(a)=1+lna-1=lna,∴.b>lna,即e°>a. 又a>0,.e>a>0. 8.A解析：因为”()>)+9e,所以'（)-)-9>0，所 以[-]'>0，令g)-八四-9，则函数g在R上 单调递增.因为f3)=27,所以g(3)=八3》-27=0，原不等 式等价于八)-9>0，即g()>g(3),所以>3，所以不等 e 选择性必修第二册·BS 式xe的解集是(3，+如)。 9 _T=1,所以 g.BD解析：由T<I,得a>1,由T,=T,得a,, =q<1,又g>0,所以0<q<1,故A错误，B正确：因为a,} 是各项为正数的等比数列，9∈(0,1)，有a,>a2>…>a,>g= b,>a>,所以7-a,44,an=(a,)2=G<1,所以 To<T6,故C错误：T<T2<<T,=Tg>T,>To>…,则T,与T 均为T。的最大值，故D正确 10.ABD解析：函数f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0)，求导得 f'(x)=3r2+2hx+e,由0)=0，得3a+2b+c=0,解得 f1)=1, (a+b+c=0, 6=-2a,则f'(x)=3ar2-4ax+a=a(3x-1)(x-l),当a>0 Ic=a, 时，对<<1有(x)<0,对>1有'(x)>0,所以x=1是 f代x)的极小值点，不符合题意；当a<0时，由f'(x)<0,得 x<写或l:/'()>0,得}<<1，因此x=号是x)的 极小值点，x=1是f(x)的极大值点，符合题意，ABD正确， C错误. ,AD解析对于A当a时，2，令b,a,.则bD 公.4-故0d,≤a≥2》.即1，≤子≥2)AE确： 对于B,若数列{an}为常数列，令an=t,则t=2-21+2,解得 t=1或t=2,∴.a=1或an=2,B不正确：对于C,令bn=a, 1,则b1=b,若数列{an}为递增数列，则数列{bn为递增 数列，则bn1-bn=b-bn>0,解得bn<0或bn>1.当b,<-1 时，b2=b>1,且bn1=b2,∴.b2<b<…<bn<…,b,<b2,此时数 列{b,}为递增数列，即数列{an}为递增数列；当-1≤b,<0 时，0<b2≤1，且bn+1=b,∴.b2≥b3≥…≥bn≥…，b1<b2,此 时数列{bn}不为递增数列，即数列{an}不为递增数列；当 b,>1时，bn+1=b员，∴.b1<b2<b3<…<bn<…,此时数列{bn}为 递增数列，即数列an}为递增数列.综上，当b,<-1或b,> 1,即a1<0或a1>2时，数列1a}为递增数列，C不正确；对 于D,令bn=an-1,则bn+1=b,b,=2,两边同时取以2为底 的对数，得log2bn+1=2log2bn,logb1=1,∴.数列{log2b}是 首项为1，公比为2的等比数列，.logb。=2-1,即bn= 22-1 a.=22+1,D正确故选AD. 12. 4n-1,n≥2解标：当n≥2时，a,=S,-S.1=2n2+n+1- 4,n=1, [2(n-1)2+(n-1)+1]=4n-1,当n=1时，a,=S,=4不满 .∫4，n=1, 足上式，则a,={4n-1,n≥2 13.(1,4)U(6,7)解析：由函数y=f(x)的图象可知，(x) 在区间(4,7)上单调递减，在区间(-2,4)上单调递增，即 当x∈(4,7)时，f'(x)<0;当xe(-2,4)时，f'(x)>0.因 为'( >0可化为)>0，或<0，解得1<<4或 f(x) f'(x)>0f'(x)<0, 6<<7,所以不等式（)0的解集为(1,4)U(6,7). f(x) 14.2102解析：a2=m,a3=2,a4=2m,a5=4,a6=4m,a,=8,对 于奇数项，a,=2°，a,=2,a=22,a,=23,所以a-1=21， 对于偶数项，a2=2°·m,a4=2·m,a6=22·m,所以 a24=21·m,所以a2s=210o13-1=2102 15.解：(1)设数列an的公差为d,则a1=1,a2=1+d,a4=1+ 3d,又a2是a1和a4的等比中项，所以(1+d)2=1+3d,解得 d=1或d=0(舍去)，所以an=a,+n-1=n(n∈N*). 黑白题52 (2)由(1)可得bn=2"+2n,所以Sn=b1+b2+b3+…+bn= (2+2)+(22+4)+(23+6)+…+(2"+2n),所以S。=2+ 2+2+…+2+2(1+2+3+…+m）,所以3.-212）+2× 1-2 (n+1)n,所以S.=2-2+2+n 16.解：(1)由题意可知，销售收人为200x万元，当产量不足 60万箱，即0<x<60时，y=200x-p(x)-400= 400.当产量不小于60万箱，即x≥60时，y=200x-p(x)- 400=1460-x+ 6400 1503+50r-400,0<r<60, 综上可得y= 6400) 1460-（x+x ,x≥60. 150+50r-400,0<<60. 1 (2)设f(x)= 当0<x<60时， 1460-（x+x 64001 ,x≥60， 1 f'(x)=50x+50)(x-50),则当0<<50时f"(x)>0,当 50<x<60时f'(x)<0,可知f(x)在(0,50)上单调递增，在 (50,60)上单调递减，则x)≤f50)=3800 3 当x≥60时， 由基本不等式可知1460-（x+6400 ≤1460- 64130.当且仅当=60，即=80时取等 2x· 号.又130>3800，所以当产量为80万箱时，所获利润最 3 大，为1300万元. 1以.解由a,-1及之Aa得=大4=1中因为数 1 列a是等差数列.所以子=2+片解得A=行所以 1 a2=2,所以公差d=1,所以a,=1+(n-1)=n. (2)知6学会所=兮号+号 123 ①， 宁号+分①-2，号 111 12n+3 3+3+3++ 3n3+1 1 1-3 30=22.3’ 所儿子出 47 3+2n1 4·3n4 ,得(2n+3）<1. 3” 设d=n(2n+3 3” ,则d1=（n+1)(2n+5 3a+1 .因为d1-d。= -4n-2n+5<0,所以d<d,即数列d.为递减数列.又 31+1 4=3>1,4=4 5 =g>1,d,=1,所以当n≥4时，恒有d.<1, 故kmn=4. 18.（1)解：)=-ah2的定义城为(0，+)，且 f'(x)=1-0-ax,因为曲线f代x)在x=1处的切线与直线 y=x垂直，所以f'(1)=1-2a=-1,解得a=1. 参考答案黑 (2)证明：由题意可得f'(x)=1- --ax=_ax'-xta (0,+∞)，因为函数f代x)有两个极值点x1,x,(x,<x2),即 ax2-x+a=0在(0，+0)上有两个不等实根x1,x2(x,<x2), 1 则x,+x2= 。=1,由题意得 解得 4=(-1)2-4a2>0,1 x1x2=1>0, 0a<分则f)+f)=-an号+-an- 2=(xt)-a(n+n)-受（(+)=(+) )+2-241}号（信-2）a 云令go)=a云其中0ka<兮所以g0a=1 2a2-1 2号) 1 2a2 2a2 因为0<a<7,所以g'(a)< 0,故eo)在(0，)上单调递谈，所以se)>(兮) }1即8o小故)>得证 1 19.(1)解：由题意，函数fx)=ln(x+1),且f(1)=ln2,则 x天三1，，f飞)三2·f《无=《x+1)2《一 1 -4f(x)= 了(1=所以西数在= 2 处的3阶泰勒展开式为f代x)=f(1)+f'(1)(x-1)+ (1)(x-1)2,∫(1)(x-1) 2 3！ +R,(x)=ln2+1 2 -02+R()=n2+4(-6d+21-16)+ 8 24 R3(x). (2)证明：由(1)可知，f(0)=0,∫'(0)=1，∫2(0)=-1， (0=2(到(s所以面 -6 数fx)在x-0处的3阶泰勒展开式为f(x)-f(0)+ fo0r,02R0=-号+号 R,（,其e-"6是于0与：之的 2！ 3！ 含数所o/2D周克：c为 4！ 常数项，且g(-x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数.因为 (e+1,当xe(-1,0)时g()>0,所以g(在 g'(x)=-x3 (-1,0)单调递增，当x∈(0,1)时，g(x)<0,所以g(x)在 (0,1)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0,故对任意的x∈ (-1,1),g(x)≤0. (3)证明：由(2)可知，函数f代x)在x=0处的n阶泰勒展开 式为a(+1=4(-1r石，所以 x2.x34 h(1x令则n(安l小水所以h(分)片 g如层gj-igke 白题53