微专题03 能成立（有解）求参数范围5大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

微专题03 能成立（有解）求参数范围 题型一：能成立（有解）求参数常规题型 2 题型二：能成立（有解）求参整数解型 3 题型三：任意存在的双变量综合求参型 3 题型四：能成立（有解）双函数乘积型 5 题型五：能成立（有解）双参数变量型 6 【题型方法指导】 题型一：能成立（有解）求参数常规题型 方法原理 1能成立模型 （1）若在上能成立在上的最小值 （2）若在上能成立在上的最大值 题型二：能成立（有解）求参整数解型 方法原理 1数形结合（小题使用解答题常规处理） （1）画出函数图像直线和曲线各自作图 （2）结合题干的整数解个数确定最后一个零点的位置从而解出答案简单举例如下图 绕定点转动 图像定 直线曲线 若 (1)2个整数解则解 直线必须介于2和3之间（红线） (2)3个整数解则解 直线必须介于3和4之间（黑线） 题型三：任意存在的双变量综合求参型 方法原理 1双变量综合模型一般地已知函数 （1）若总有成立故 （2）若有成立故 （3）若有成立故 （4）若有成立故 （5）若有成立故值域值域 （6）若有成立故值域值域 题型一：能成立（有解）求参数常规题型 1．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可知，解得，代入并检验即可； （2）法1：将原命题否定可得在恒成立，探求成立的必要条件并证明即可； 法2：将不等式变形为有解的问题，构造函数，并求出在上的最大值为，可得结论； 法3：构造函数并求导，得出的最小值并使其小于零，结合不等式性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 因为是极值点，所以，即，， 此时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以是极小值点， 综上，. （2）法1： 研究命题的否定，即，， 所以，解得（成立的必要条件）， 下面证明：时，在恒成立. 因为， 令，则， 所以在递减，在递增， 所以，即证. 所以，使得，则. 法2： 由题意，有解， 令，所以， 设， 因为，所以在上单调递减，且. 所以，；，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 所以. 法3： 由题意，在有解， 令，则， ①当时，则，满足题意； ②当时，因为存在使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值. 因为，所以. 令，所以， 所以在上单调递减，且， 所以的解为. 因为，所以； 综上，. 2．（2025高三·全国·专题练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分参得到有解，构造函数，求导确定单调性求得最小值，即可求解. 【详解】当时，不等式显然不成立，当时，可得有解， 令，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 4．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过同构，令得到，通过确定单调性，得到，问题转化成，在有解，进而可求解. 【详解】由题意可得： ，即， 令，即存在使得， 构造，， 由，可得，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以，即存在，使得， 参变分离得到， 令， 易得当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为，当时，， 所以的值域为：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 5．（2025·浙江·三模）已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，进而转化为，然后构造函数，分离参数利用导函数求出最值即可 【详解】由题知，，， 若，则存在， 使得，即存在，使得， 即，即， 令，易知函数在上单调递增， 所以，即，即， 由题意，只需， 令，则， 令，则；，则； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，所以实数a的最大值为． 故答案为： 题型二：能成立（有解）求参整数解型 6．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用导数刻画函数的图象，结合过原点与特殊点处的直线的斜率可求参数的取值范围. 【详解】， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 且时，恒成立，故的图象如图所示， 因为，，故， 又，因为,所以, 因为有且仅有一个整数，使得点在直线上方，故， 故答案为：. 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数 (1)求出函数在上的最值 (2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可； 【详解】（1）因为，，所以， 令，令， 因为函数，在上单调递减， 所以在上单调递减，又， 所以方程得解为， ，的变化情况如下表所示． x e + + 0 单调递增 单调递减 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，， 所以，所以为的最小值. （2）因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值，， 所以，时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1， 所以，所以 所以a的取值范围为. 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出的导数，判断单调性， 可作出其图象，换元将原问题转化为不等式的解集中有且只有三个整数，数形结合，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，；当时，；    令，则不等式即为， 故，即，即， 则不等式的解集中有且只有三个整数， 即为不等式的解集中有且只有三个整数， 由于，且， 结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4， 需有，即， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 9．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造函数的导数来研究原函数的性质，再利用数形结合来研究不等式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以， 即（为常数）， 又，所以，即. ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又，当时，，当时，， 且当时，，当时，， 所以作出的大致图象如图所示. 令，易知的图象恒过点， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，易知，数形结合可知， 若存在唯一的整数，使得，则 即，得， 故选：B. 10．（24-25高三上·福建龙岩·月考）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】构造，，求导，研究的单调性，的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，数形结合得到2和1为符合要求的整数，从而得到. 【详解】，设，， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，，， 的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，如下：    要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2为一个符合要求的整数， 当经过点时，，解得， 故，此时，1为另一个符合要求的整数， 故， 故答案为： 题型三：任意存在的双变量综合求参型 11．（2026·吉林通化·模拟预测）已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用导数求出，分类讨论求，从而得解. 【详解】，，使得，所以， ，， 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，． ，，， 当时，，所以在上单调递增，， 所以当时，，所以； 当时，； 当时，，所以． 综上所述，，即实数a的取值范围是． 12．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将问题转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将问题转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 14．（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 15．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数区间符号，进而确定单调区间； （3）问题化为在，成立，利用导数分别求出两函数在给定区间内的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，得， 则曲线在点处的切线斜率为且， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题设且， 当时在上单调递减； 当时，令， 当时在区间上单调递减， 当时在上单调递增， 综上， 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； （3）由题设，对于，，使得， 所以在，成立， 由（2）知，当时，则在上单调递增，则， 由，，则在上单调递增，则， 只需. 题型四：能成立（有解）双函数乘积型 16．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 17．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即可. 【详解】恒成立，即恒成立， ，设， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故， 当时，且， 由的单调性知，在上单调递减，上单调递增， ， 此时若存在正实数，，使恒成立， 即存在正实数，使，故. 当时，故恒成立，即恒成立， 因为，故此时不存在正实数满足条件. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于将不等式恒成立转化为正实数一直在两个函数值之间，即，然后结合两个函数的单调性求解即可. 题型五：能成立（有解）双参数变量型 18．（24-25高三上·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】首先不等式转化为，恒成立，转化为求函数的最值，并求得，再讨论的正负，转化为，转化为的最大值，即可求解. 【详解】，则， 所以不等式恒成立，即，恒成立， ，，所以 设， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取值最大值， 所以，即， 当时，， 当时，， 设，，，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题转化为2次最值，一次是参变分离为，，转化为求函数的最值，第二次是转化为，转化为求函数的最值. 19．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 20．（23-24高二下·江苏·月考）已知函数，若不等式恒成立，则的最小值为_____； 【答案】 【分析】求出，分类讨论可得出函数的最大值,从而得到，然后构造函数求导得出函数最小值即可. 【详解】函数，其中为自然对数的底数 则， 当时，，在 上为增函数， 又当 时，所以是不可能恒成立的. 当时，由，得，此时函数单调递增. 由，得，此时函数单调递减. 所以 由不等式恒成立，即恒成立. 即恒成立， 所以 设，则 设，则 由得， ，此时函数单调递增， 由得， ，此时函数单调递减， 所以 又当时，，,当时，. 所以当 时，，单调递减. 当 时，，单调递增. 所以 所以的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：构造函数解决问题，先分类讨论再利用函数导数分析函数的单调区间求函数的最值即可. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 能成立（有解）求参数范围 题型一：能成立（有解）求参数常规题型 2 题型二：能成立（有解）求参整数解型 3 题型三：任意存在的双变量综合求参型 3 题型四：能成立（有解）双函数乘积型 5 题型五：能成立（有解）双参数变量型 6 【题型方法指导】 题型一：能成立（有解）求参数常规题型 方法原理 1能成立模型 （1）若在上能成立在上的最小值 （2）若在上能成立在上的最大值 题型二：能成立（有解）求参整数解型 方法原理 1数形结合（小题使用解答题常规处理） （1）画出函数图像直线和曲线各自作图 （2）结合题干的整数解个数确定最后一个零点的位置从而解出答案简单举例如下图 绕定点转动 图像定 直线曲线 若 (1)2个整数解则解 直线必须介于2和3之间（红线） (2)3个整数解则解 直线必须介于3和4之间（黑线） 题型三：任意存在的双变量综合求参型 方法原理 1双变量综合模型一般地已知函数 （1）若总有成立故 （2）若有成立故 （3）若有成立故 （4）若有成立故 （5）若有成立故值域值域 （6）若有成立故值域值域 题型一：能成立（有解）求参数常规题型 1．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若是的极小值点，求； (2)若存在，使，求的取值范围. 2．（2025高三·全国·专题练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 4．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·三模）已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为________． 题型二：能成立（有解）求参整数解型 6．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数 (1)求出函数在上的最值 (2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 9．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·福建龙岩·月考）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是_______． 题型三：任意存在的双变量综合求参型 11．（2026·吉林通化·模拟预测）已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 14．（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 15．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 题型四：能成立（有解）双函数乘积型 16．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 17．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：能成立（有解）双参数变量型 18．（24-25高三上·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为______． 19．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·江苏·月考）已知函数，若不等式恒成立，则的最小值为_____； 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $