强化课 平面向量数量积的应用 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

一、选择题 1．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，AC交BD于点O，则·＝(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 解析：选C.由题意知在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2， 得·＝·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝×(4－16)＝－6.故选C. 2．已知a，b是平面向量，满足|a|＝4，|b|≤1，且|3b－a|≤2，则cos〈a，b〉的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：选B.因为a，b是平面向量，满足|a|＝4，|b|≤1，且|3b－a|≤2， 所以|3b－a|2＝9b2＋a2－2×3b·a≤4，所以a·b≥2＋，所以cos〈a，b〉＝≥＝，因为|b|≤1，所以当|b|＝1时，cos〈a，b〉有最小值.故选B. 3．如图，正方形ABCD的边长为2，圆A的半径为1，点P在圆A上运动，则·的取值范围是(　　) A．[2，6] B．[2，6] C．[4－2，4＋2] D．[2，2] 解析：选C.设与的夹角为θ，0≤θ≤π，则·＝(＋)·＝·＋·＝2×2cos 45°＋1×2cos θ＝4＋2cos θ，因为－1≤cos θ≤1，所以4－2≤·≤4＋2.故选C. 4．在△ABC中，||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则·的最小值是　(　　) A．－ B．－1 C．－2 D．－4 解析：选B.设＝λ(0≤λ≤1)，＝＋＝－(1－λ)＋，·＝[－(1－λ)＋]·(λ)＝－λ(1－λ)　　　2＋λ·＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos 60°＝9λ2－6λ，由二次函数性质知，当λ＝时，9λ2－6λ取最小值，最小值为－1，故·的最小值是－1. 5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，且AB＝6，AD＝3.若线段CD上存在唯一的点E满足 ·＝4，则线段CD长度的取值范围是(　　) A．[1，2) B．[1，5) C．[1，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：选B.如图所示，以A为坐标原点，和的方向分别为x轴和y轴的正方向建立平面直角坐标系． 则A(0，0)，B(6，0)，设DE的长为x，则E(x，3)， 则＝(x，3)，＝(x－6，3)， 所以·＝x(x－6)＋9＝4， 解得x＝1或x＝5，由题意知点E存在于线段CD上且唯一，可知线段CD长度的取值范围是[1，5)．故选B. 6．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，c为任意向量，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－3 D．－ 解析：选B.设向量a，b的夹角为θ.由|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，得cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.在平面直角坐标系中，取a＝(2，0)，b＝(－1，1)，满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2.设c＝(x，y)，则a－c＝(2－x，－y)，b－c＝(－1－x，1－y)，所以(a－c)·(b－c)＝(2－x)(－1－x)＋(－y)(1－y)＝x2－x－2＋y2－y＝＋－，所以当x＝y＝时，(a－c)·(b－c)取得最小值，为－. 7.在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，∠ABC＝，AD＝CD＝2，若点E为边AB上的动点，则·的最小值为(　　) A. B. C．12 D．6 解析：选A.因为AB⊥AD，则以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图，过点C作CG⊥AB于点G，作CF⊥AD于点F，因为BC⊥CD，∠ABC＝， 则∠ADC＝，即∠FDC＝， 于是有DF＝1，CF＝，CG＝AF＝AD＋DF＝3，则BG＝＝，而AG＝CF＝，则有AB＝2，C(，3)，D(0，2)，设E(x，0)，0≤x≤2，＝(－x，3)，＝(－x，2)，·＝x(x－)＋6＝＋，当x＝时，(·)min＝，所以·的最小值为.故选A. 8．(多选)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.设在方向上的投影向量为λ，则下列结论正确的是(　　) A．λ的值为 B．λ的值为 C．||＝ D．||＝ 解析：选BD.在方向上的投影向量为||·cos∠BAC·＝2××＝，所以λ＝，所以A不正确，B正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，||2＝2＝(＋)2＝(4＋2·＋9)＝×(13＋2×2×3×)＝， 所以||＝，所以C不正确，D正确．故选BD. 9．(多选)如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，＝λ＋μ，则下列结论正确的是(　　) A．点P在线段BC上时，·为定值 B．点P在线段CD上时，·为定值 C．λ＋μ的最大值为2 D．使λ＋2μ＝的P点轨迹的长度为 解析：选AC.以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(0，2)，＝(x，y)，·＝2x，当点P在线段BC上时，x＝2，·＝2x＝2×2＝4，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，·＝2x不为定值，故B错误；由＝λ＋μ得，(x，y)＝λ(2，0)＋μ(0，2)＝(2λ，2μ)，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝(x＋y)，故当x＝y＝2时，即当点P与点C重合时，λ＋μ取得最大值2，故C正确；由λ＋2μ＝得，＋y＝，直线＋y＝交x轴于点E(1，0)，交y轴于点F(0，)，所以使λ＋2μ＝的P点轨迹为线段EF，且EF＝＝，故D错误． 10．(多选)设e1，e2均为单位向量，对任意的实数t有≤|e1＋te2|恒成立，则(　　) A．e1与e2的夹角为 B.＝ C．|e2－te1|的最小值为 D．|e2＋t(e1－e2)|的最小值为 解析：选BD.对于A，设e1，e2的夹角为θ，≤|e1＋te2|，两边平方可得＋cos θ≤t2＋2tcos θ＋1，即t2＋2cos θ×t－－cos θ≥0对任意t恒成立，故可得Δ＝4cos2θ＋4cos θ＋1≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，则2cos θ＋1＝0，即cos θ＝－，又θ∈[0，π]，故θ＝，故A错误；对于B，＝＝，故B正确；对于C，|e2－te1|＝＝＝≥，当且仅当t＝－时取等号，故C错误；对于D，|e2＋t(e1－e2)|＝＝，令y＝3t2－3t＋1，当且仅当t＝时，y取得最小值，故|e2＋t(e1－e2)|的最小值为，故D正确．故选BD. 二、填空题 11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b≥2，则a与b夹角的取值范围是____________． 解析：因为|a|＝1，|b|＝4，且a·b≥2，则有a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4cos〈a，b〉≥2，因此cos〈a，b〉≥，而0≤〈a，b〉≤π，余弦函数y＝cos x 在[0，π]上单调递减，即有0≤〈a，b〉≤，所以a与b夹角的取值范围是. 答案： 12．在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知·＝－1，则线段CE的长为________． 解析：因为点E是线段BC上的一点， 所以·＝(＋)·＝·＋·＝－1，所以||||cos 120°＋||||·cos 0°＝2×2×＋||×2＝－1， 解得||＝，即线段BE的长为，所以CE＝2－＝. 答案： 13．若△PAB是边长为6的等边三角形，点C满足＝x＋y，且2x＋3y＝4(其中x>0，y>0)，则||的最小值为________． 解析：依题意2x＋3y＝4(其中x>0，y>0)，则y＝，||＝＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以当x＝－＝，y＝＝时，||取得最小值为＝. 答案： 14．若向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为________． 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.因为|a|＝|b|＝1，所以OA＝OB＝1.又a·b＝－，所以|a||b|·cos∠AOB＝－，所以cos∠AOB＝－，又0°≤∠AOB≤180°，所以∠AOB＝120°.又〈a－c，b－c〉＝60°，而120°＋60°＝180°，所以O，A，C，B四点共圆．所以当OC为圆的直径时，|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°，所以Rt△AOC≌Rt△BOC，所以∠ACO＝∠BCO＝30°，所以OA＝OC，所以|c|＝OC＝2OA＝2|a|＝2. 答案：2 三、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)，B(5，1)，P(2，1)，点M是直线OP上的一个动点．求： (1)|－|的值； (2)·的最小值． 解：(1)因为A(3，3)，B(5，1)，P(2，1)，所以＝(3，0)，＝(1，2)，所以－＝(2，－2)， 所以|－|＝＝2. (2)由题意可得＝(2，1)，因为点M是直线OP上的一个动点，所以设＝λ，λ∈R， 所以M(2λ，λ)，·＝(3－2λ，3－λ)·(5－2λ，1－λ)＝(3－2λ)·(5－2λ)＋(3－λ)·(1－λ)＝5λ2－20λ＋18＝5(λ－2)2－2， 所以当λ＝2时，·取得最小值－2. 16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量r＝(，1)，A(1，0)，B(cos θ，t)． (1)若r∥，且||＝2||，求向量的坐标； (2)若r⊥，求y＝cos2θ＋6cos θ＋t2的取值范围. 解：(1)因为r＝(，1)，A(1，0)，B(cos θ，t)， 所以＝(cos θ－1，t)，＝(1，0)， 所以||＝，||＝1， 因为||＝2||， 所以＝2，① 又因为r∥，所以cos θ－1＝t，② 由①②得，t＝±1. 当t＝1时，cos θ＝＋1(舍去)， 当t＝－1时，cos θ＝1－， 所以B(1－，－1)，所以＝(1－，－1)． (2)由题知，＝(cos θ－1，t)，因为r⊥，所以r·＝0，即(cos θ－1)＋t＝0. 所以t＝(1－cos θ)， 所以y＝cos2θ＋6cos θ＋t2＝cos2θ＋6cos θ＋[(1－cos θ)]2＝4cos2θ＋3， 又因为cos θ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]， 所以4cos2θ＋3∈[3，7]，所以y＝cos2θ＋6cos θ＋t2的取值范围为[3，7]． 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在边BC上且BD＝DC.已知边c＝2，A＝且2csin Acos B＝asin A－bsin B＋bsin C. (1)求边b的长度； (2)若点E，F分别为线段AB，线段AC上的动点，线段EF交AD于G且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求·的最小值． 解：(1)因为2csin Acos B＝asin A－bsin B＋bsin C， 由正弦定理得2accos B＝a2－b2＋bc， 由余弦定理得2ac·＝a2－b2＋bc， 所以c2＝bc，故b＝c＝2. (2)设＝x，＝y，＝λ， ＝μ，所以－＝μ(－)， 即＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)x＋μy， 又因为D为BC的中点，所以＝(＋)＝λ＝λ(1－μ)x＋λμy， 即解得λ＝，① 又S△AEF＝S△ABC，所以AE·AF·sin A＝×AB·AC·sin A， 即xAB·yAC＝AB·AC， 即xy＝，② 由①②得λ＝x＋y， ·＝·(－) ＝·(＋)·(y－x) ＝ ＝ ＝3， 又且等号不同时取得， 即≤x≤1.当x＝1时，(·)min＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $