第2章 平面向量及其应用 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二章 章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.5.(2025·天津和平区高一期中)在△ABC 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 中，若osA二，则△ABC的形状是 ( 目要求的 cos C a A.等腰直角三角形B.直角三角形 1.·(2025·重庆西南大学附中高一期中) C.等腰或直角三角形D.等边三角形 △ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对 6.**(2025·浙江嘉兴高一期中)壕股塔是嘉 边，a:b:c=4:5:6,则最小角的余弦值为 兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高， ( 他在山下A处测得塔尖P的仰角约为45°，再沿 A. c日 0.6 9 倾斜角为15°的斜坡向上走90m到达B处，测 8 得塔尖P的仰角为75°，塔底Q的仰角为45°，那 2.*(2025·江苏苏州高一月考)若向量a,b 么壕股塔的高约为 ( ) 满足|al=2,Ib1=2,a·b=2,则Ia-b1= A.45√2m B.45√3m ( C.45m D.25(√2+√6)m A.√2 B.2 C.23 D.4 7.*(2025·江西赣州高一期中)如图，不共线 3.·(2025·重庆江北区高一月考)设a与b 且不垂直的单位向量e1,e2的夹角为0，以点0 成 为原点，e1,e,的正方向分别为x轴、y轴建立坐 都是非零向量.下列四个条件中，使 标系，该坐标系称为0一斜坐标系.若OP=xe1+ 立的充分条件是 ye2,则称(x,y)为0P在0-斜坐标系中的坐标 A.Ial=Ib1且a∥b B.a=-b C.a=2b D.a∥b 若om0=子，向量ab在0一斜坐标系中的坐 4.*（2025·湖南衡阳高一期末)如图，E,F分 标分别为(1,1)，(2，-1)，则a·b= 别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点， B.5 D. 分别连接BE,CF,并延长交于点O,连接OA, 3 0D,则0D= ( B.-0A+2 OB (第7题) (第8题) C.-20A+0B D.0A-208 8.静(2025·河南南阳高一月考)如图所示，在 同一平面内，点P在两平行直线1,2的同侧， 且点P到直线l1,2的距离分别为1,3，点M,N 分别在直线l1,2上，PM+P1=8,则PM.PN 的最大值为 ( (第4题) (第6题) A.15 B.13 C.12 D.10 第二章黑白题065 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 12.*(2025·广东深圳高一月考)已知单位 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 向量a,b满足|a-b1=1al,则a与b的夹角 得0分 的大小为 9.*(2025·安徽滁州高一期中)已知向量a= 13.**(2025·四川成都高一月考)在平行四 (1,3),b=(2,-4),则下列选项正确的是( 边形ABCD中，DA=DB,E是平行四边 A.{a,b}能作为平面内所有向量的一组基 形ABCD内（包括边界）一点， D正.DA B.(a+b)⊥a IDAI C.1a+2b1=10 D.a,b的夹角为3m D成.丽若D证=xi+yD成，则当x+y=1时， 1DBI 10.(2025·云南昆明高一月考)锐角三角 AB AE 形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, 14.幸(2025·江苏宿迁高一期中)如图，已知 bc,已知sim(A-石）=cusB,6=2,c=3,则 6 在△ABC中，AB=3,AC=2√2，BC=√5，D是 线段AC上的动点，E,F是线段AB上的动点 (F在E的右侧)，且四边形DEFG是正方 LG=写 形，当EF= 时，线段CG长度最小 B.a=√2+√3 C.sin= 6 D.△MBC的面积为32+3 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 11.装（2025·广东东莞高一月考)对任意 文字说明、证明过程或演算步骤 两个非零的平面向量x和B,定义：。B= 15.*（13分)(2025·四川南充高一期中)已 知a=(1,1),b=(0,-2). B,若平面向量a,b满足1a≥1b1>0,a (1)若3a-b与3a+b的夹角为90°，求k β·B 的值 与6的夹角0=0， ,且a。b和b。a都在 (2)求向量a在向量b上投影的数量， 集合mz,ae 中.给出以下命题，其 中一定正确的是 A.当m=1时，则a。b+b。a=2 B当m=2时，则abe行1，，2 C.当m=3时，则a。b的取值最多有7个 D.当m=2024时，则a。b的取值最多有 (20242-1431)个 必修第二册·BS黑白题066 16.*★(15分)(2025·湖北襄阳高一月考)设17.*(15分)(2025·山东济宁高一期中)已 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 知村庄B在村庄A的东北方向上，且村庄A, 已知bsin C+√3 ccos B=√3a. B之间的距离是(3√3-3)km,村庄C在村 (1)求C的大小； 庄A的北偏西75°方向上，且村庄A,C之间 (2)若AB=2W3,且ab=8,求AB边上中线 的距离是6km,先要在村庄B的北偏东30° CT的长 方向上建立一个农贸市场D,使农贸市场D 到村庄C的距离是到村庄B的距离的√万倍 (1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并 说明理由 (2)求农贸市场D到村庄B,C的距离之和. 第二章黑白题067 18.整(17分)(2025·江西赣州高一期中)如19.熱(17分)(2025·江苏南京高一月考)如 图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB, 图，A,B是单位圆（圆心为O)上两动点，C是 BC,AC上，且AE,BF,CD交于点M. 劣弧AB(含端点)上的动点.记0元=入OA+ (1)已知4而=2A花. uOB(入，均为实数). (1)若0是△ABC所在平面内任意一 ()若0到弦4B的旋高是2 点证明，0丽-0i+号丽， （1)当点C恰好运动到劣弧AB的中点 ()若A=)Ad,C=xCd,求x的值 时，求AC.C的值； (ⅱ)求入+w的取值范围 (2)若AD=aDB,BE=bE元，C=cFA,证明： abc=1. (2)若130-0i1≤2，记向量20+0B和向 量0A+0B的夹角为6，求cos20的最小值. 必修第二册·BS黑白题0681A心=IA=6时取等号. (3)CA+CB=2CD,(CA+CB)2=CA2+2CA CB+CB2=4CD2=12. 令b=1Ci1,a=1Cl,则b2+2 abcosLACB+-a2=b2+ab+a2=12≥3ab, ∴ab≤4，当且仅当b=a=2时等号成立，则△ABC的面积S= 2 absin LACB≤v3. 1 综上，△ABC面积的最大值为√3. 8.ABC解析：A选项：H为垂心，为高线的交点，则A应，B武=0，选 项A正确B选项：.武=市，花-市，店=子花2- 分=2-8=24，选项B正确，C选项花.成-兮（花 (花-)=子(d2-2)=16,选项C正确；D选项，市.成 立.A花-立.店=2·A心-2·1A1=8,选项D错误 9AC解析：对于A,因为=A(店+花）】 mld,m=n1花，设 点D为BC的中点，所以市=入（应+衣）=2升办，所以直 mlABI mlABI 线AP一定经过三角形ABC的重心，故A正确； 对于B,当m=n=1时，市（本，花） '，因为 B -为与AB方向 IABI 相同的单位向量， 为与花方向相同的单位向量，所以店 IACI lABI 花平分∠BAC,即直线AP一定经过三角形ABC的内心，放B IAC 错误； 对于C,当m=cosB,n=cosC时，A巾=A A店 A花 【1A1 cos B IA元1cosC 所以正.B元=A (店.B武，A花.B武 IABIcos B IACI cos C -lAB1cosB·1BC1.IAC1cosC·IBC1 =A(-1BC1+1BC1)=0, IABI cos B IACIcos C 所以A市⊥B武，所以直线AP一定经过三角形ABC的垂心，故C正确： IABI sin B IACIsin C 由正弦定理有 有克即有n前=nd, 结合A选项分析可知直线AP一定经过三角形ABC的重心，故 D错误 10.D解桥：在y=m(子受)中，结合题图，令y=0,得x=2, 点A的坐标为(2,0)；令y=1,得x=3,点B的坐标为(3,1). .0A=(2,0),0=(3,1),.0i+0=(5,1),A店=(1,1)， (0A+0)·A=(5,1)·(1,1)=6. 11.3 解断期形0以的面积S=宁=子看怎得a=于 所以0=1，∠40r=号-号石04=号所以0.0- o.oiw40e号x1s君-吾 专题探究2余弦定理、正弦定理的应用 黑题 专题强化 1.B解折：之c=6-aC,由余改定理得了=6-2 2ab -,化 参考答案 商得e=om4:条分又在Ac中 0A<m,A-号：△MBc的外接圆直径为5a- 4w3 =2 2.A解析：由已知2iC。-,则在△ABC中，由正弦定理可得 sin A+sin B c 22则22-a-,即2=(2-8) atb c 又由余弦定理可知cosC=a2+b2-c22a2+)b2 4+3北，所以 46+4a c0sG=4+3弘≥，当且仅当品=弘，即a=36时等号成立，叉 C∈(0，m),所以C≤T即角C的最大值为 61 6 3.ACD解折：因为=号，由正孩定理可得8=？血A血C,所 区(）：}曲曲C,即血A·血ce枚A正确 由余弦定理得2=a2+c2-2ac0sB,即62=a2+c2-ac,又62=9。 4ac,所 以9 c=a2+c2-ac,即a2+c2=13 =4ac,故B错误； 因为a24忙-c,由正孩定理可得A+2C=号aA血C,所以 血c一写吕故c正确： 因为sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC=√(sinA+sinC)7= V际面02如G-√侣2写-故D正晚 4号（停6）解折6e1.a(a-1=21放a(a-6)=-= 型om6-票又ac有角三角 形，ce(0,号)放c=骨由正弦定理得6c即品A ,所以c=2sinB √3 T A=8-G=Be(0,受)解得Be(后号)又因为△MBC 为角三角形，所以Be(0,受)，综上Be(石受）： 苏以血8e()小，281,2).e(停5所 以c (停) 5解：(1)因为nB-ds咖A=2s(1-出)，所以onB 由正孜定理得a6-a=ac(1-分)，整理得62+2-2=kc 2+c2-a21 由余弦定理得cosA= 2bc =2,又Ae(0,m）,所以A= 3 (2设△MC内切圆的半径为r,则S=宁o血4：子(a60),所以 _bcsin A_√3bc r= a+b+c2(2+b+c) 黑白题037 又2+2-4=bc,所以(6+c)2-4=3c,则r=22+6o √3bc 3[(b+c)2-4]-3(6+c+2)(b+c-2). 6(2+b+c) 6(2+b+c) 6(6+c-2. 由(6+e)2-4=3bc≤3.（b+e)2,得+：≤4，当且仅当b=6=2时取等 4 号，质以，-怎(2》≤行用△46C内切圆半径的最大值为号 6.D解析：由BD+CD=0,可得D为BC中点. 因为2∠CAD+∠BAD=180°，故∠BAC+∠CAD=180° 在△ABC中，由正弦定理得。B '加∠ACBsin L BAC①.在△ACD中， BC AD CD 由正弦定理得2ACD乙C4D②，两式相除可得D物=2. 设A0=,AB=2x,AC=,BC=22,而+29-22+2y=0, 2·x·2y2·x·2y 可得2-子，则sLA8 4x2+8y2-y213W5 2:2·224故选D. 7.ACD解析：连接AC,在△ABC中，可得AC2=AB2+BC2-2AB· BC·cosB=4+32-2×2×4W2c0sB,在△ACD中，可得AC2=AD2+ DC2-2AD·DC·cosD=20+16-2×25×4cosD,可得36- 16W2cosB=36-16W5cosD,即V2cosB=√5cosD.因为B+D=180°，可 得cosB=-cosD,可得cosB=0,又因为B为三角形的内角，所以B= 90°，所以B=D=90°，所以A正确； 由Saam=Sac+5am=4B.Bc+分4D.DC-=分X2x4E+ 1 分2544+45，所以B不正确： 在直角△ABC中，可得AC=√AB2+BC=√22+(42)2=6，所以 C正确； 四边形ABCD的周长为1=AB+BC+AD+DC=2+4W2+2V5+4=6+ 42+25,所以D正确. a分 ·解析：如图所示，在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+ BD2-2AB·BDcos B①，在△ABC中，由余弦定理可得4AD2= AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=AB2+16BD2-8AB·BDcos B②，联 立①2，消元可得B=2BD,所以化02在△m中，由正3弦 BD AB 定理可得 sin∠BAD sin∠ADB ③，在△ACD中，由正弦定理可得 CD AC sin L CAD sin LADC ④，④：③可得nLBAD.CD.AC si血LCAD`BD=ABAC= √2AB. 4C=2AB,BC=24B,由余弦定理可得csB=AB+BC2-AC_3 4 2AB·BC 9.解：(1)如图，连接BD.在△BAD中，因为AD=AB=2,AB⊥AD,所以 BD=2,∠ABD= 在因边形ABCD中，由∠ABE=,∠C=子，得B∥CD,所以 ∠BDC=LABD=T 41 mCLH0c,所以22.B 在△BCD中，由正弦定理得BD:,BC 一，解 E=号c2答，所以△4E的面积为5号： 得BC=43 必修第二册·BS BE·sin∠ABC= x2x25 1 2 3 21 D B (2)由题可知，在△BCD中，cD=BD=2万，则∠cBD=LC=号，所以 △BCD为等边三角形. BE=2BC=反，LABE=∠CBD+LABD= 12 在△ABE中，由余弦定理知AE=√AB2+BE2-2AB·BEcos ZABE= V24(P-2x2xw27g√4+22x2w6 =3+1. 4 AB 10.解：(1)设外接圆半径为R,则R=4,由正弦定理可得 sin ZACB= n∠A052R=8,即m∠4CB=令-由题意可知P为AAC的 6 垂心，即AP⊥BC,所以∠PAC= 2-∠ACB,所以eos∠PAC= sin∠ACB=3 A (2)设∠CAB=0,∠CBA=a,∠ACB=B,由于AC:AB:BC=6:5: 4,不妨设AC=6,AB=5,BC=4由余弦定理可得cs9-62+52- 2x6x5= 3 4,cos a= 42+52-621 2x4x58,0sB=42女x-6因为P是垂心，则 T LPAC-2-B.LPCA-- -，∠PB= 2a,如图， PC 则∠APC=T-∠CPD=T-∠EBC=T-∠ABC,所以 in() PA AC AC 血(） sin LAPG sin ZABC=2R=8. PB AB AB 同理可得 sin (） sin LAPB sin ZACB=2R=8, 所Pc==aaa助=（月令名）号 11.AD解析：如图，连接A1B2 0 B, B 依题意，44=25号=5（海里），而44=5海里，LA4,=60, 则△A1A2B2是正三角形，所以∠A2A1B2=60°，41B2=5海里. 在△A1B1B2中，∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°，A1B1=5V2海里， 黑白题038 由余弦定理得B1B2=√A1B+A1B3-2A1B1·A1B2cos45°= √2 √(52)°+52-2x52x5x =5(海里)， 则有A1B吃+B,B盼=A1B,所以∠A1B2B1=90°，所以LA1B,B2=45°， 所以乙船的行驶速度是多=25（海里/时），故A正确，B不正确。 60 延长B1B2与A1A2交于点0，因为LA1B2B1=90°，即A1B2⊥0B1, LA241B2=60°，所以易得0A1=10海里，0B2=55海里，0B1= 53+1)海里，甲船从出发到点0用时=0=名（小时），乙船 出发到点0用时5（少.+（小时），，即甲船完到达 25 点O,所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确. 12.解：(1)在△D0E中，由余弦定理得ED2=0D2+0E2-20D·0E· cos∠E0D=4+1-2×2×cos0=5-4co30. 在△C0E中，由余弦定理得EC2=OC2+0E2-2·0C·OE· cos∠E0C=4+1-2×2×cos(T-0)=5+4c0s0, ∴.EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0e[0,T], :.将管道总长（即线段EC+ED)表示为变量0的函数为f(0)= √5+4cos0+W5-4c0s0,0∈[0，π]. (2)由(1)可得[f0)]2=(V5+4s8+√5-4c0s0)2=10+ 2√/5+4c0s0,√5-4c080=10+2W25-16cos20. :0∈[0，π]，.0≤cos20≤1， [/(0)]2=10+2V25-16©os20≤10+2W25=20(百米)， 当且仅当cos20=0,即0=T时取等号. 2 f(0)=√5+4c0s0+v√5-4c0s0>0,∴f0)≤√20=2w5(百米). .管道总长的最大值为25百米. 第二章章末检测 1.B解析：可设a=4,b=5,c=6,所以a<b<c,所以A<B<C,又cosA= -5。氵所以最水角的余孩汽务子 2bc 2.B解析：1a1=2,1b1=2,a·b=2,.|a-b12=(a-b)2=a2+ b2-2a·b=lal2+1b12-2a·b=4+4-4=4,∴.1a-b1=2. 3.C解析：对于A,向量a与b满足1al=1b1且a∥b,若向量a与b反 向，则后品故A不符合愿意： b 对于B,由a=-6,则合故B不符合题意 对于C,由a=2b,则向量a与b同响，所以。b1,故C符合题意， 对于D,向量a与b满足a/6,若向量a与6反向，则日历，故 D不符合题意 4.C解析：由题意知，0心=0币+D元=0i+A店=0币+0i-O,由△0EF △oac,8-咒影时厮u成：成a成：d在0n 巾0亦}0*+}o成，即o成号·号i+号励go成+ 号成，时(ir0i-动=。应市.整理得亦-20成 5.C解析：C=。,可得acos A=ccoG,由余弦定理可得a 2bc C=c.24-c2 b2+c2-a2 2b,整理可得62(a2-c2)=(a2-2)(a2+c2),即 (a2-c2)(a2+c2-b2)=0,所以a2-c2=0或a2+c2-b2=0,即a=c 或a2+c2=b2,所以△ABC的形状是等腰或直角三角形. 6.A解析：如图，∠PAD=∠DPA=45°，∠BAD=15°，∠QBC=45° ∠PBC=75°，所以∠PAB=30°，∠BPC=15°，∠PBQ=30°，得 ∠PQB=135°. 参考答案 在△ABP中，AB=BP=90.在△PQB中，由正弦定理得 BP sin LPOB 2日潮得P sin 1350 =45√2，所以壕股 塔的高为45√2m. 0 M' M p (第6题) (第8题) 7.A解析：由题意知，1611=16=1，侧(e,白)=-子，所以 e·e:=了，又向量a,b在0一斜坐标系中的坐标分别为(1,1)， 2 (2,-1),所以a=e1+e2,b=2e1-e2,所以a·b=（e1+e2)· (2=2406=2号1号 1 8.A解析：如图所示，连接MN,取MwN中点为点O,则PM+P=2Pd. 因为1PM+P1=8,所以Pd1=4,所以P成.P成=(Pi+0)·(Pi+ =i-mi=16}i 由图可知，当MN1时，1M1最小，作PW⊥k2交b1于点M,由题 意可知，PM'=1,PN'=3,所以MNmin=3-1=2, 即成.成=16}m2≤16-}×2=15，综上可得，成，的 最大值为15. 9.ABD解析：由a=(1,3),b=(2,-4),可得3×2-(-4)×1=10≠0，所 以a,b不共线，所以{a,b}能作为平面内所有向量的一组基，故 A正确； 由a=(1,3),b=(2,-4),所以a+b=(1,3)+(2,-4)=(3,-1),所以 (a+b)·a=(3,-1)·(1,3)=0,所以(a+b)1a,故B正确； a+2b=(1,3)+2(2,-4)=(5,-5),所以1a+2b1=√52+(-5)7= 52,故C错误； a·b -10 √2 @s〈a,b)二abF而252，故a,b的夹角为，放D 正确， 10.AD解折：因为血(4-石)-asB且△MBC为锐角三角形，所 女A下+B=2→A+B=< 6 3 根据三角形的内角和定理，得C=牙，放A正确， 由余弦定理得2=a2+82-2aos号-a2+2-a山，即9=g24-2a整 理得2-2a-5=0,又>0，所以a-2++20-1+6,故B错误： 2 根据正弦定理得。 sinAsin G sin A=asin C (6x 2 c 3 3(1+6),故C错误； 6 国为5ac=分mG=(1+6)x2x.516. 1 乃+3迈，故D正确 2 1.ACD解折：设ab=a:b-1as0-①，b0a=4 62s 1b1 m a2 黑白题039