第2章 5.2 向量数量积的坐标表示&5.3 利用数量积计算长度与角度-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.2向量数量积的坐标表示⊕ 白题 基础过美 题组1数量积的坐标运算 1.*(2025·浙江杭州高一月考)在△ABC 中，A(2,1),B(0,4),C(5,6),则AB·AC= A.7 B.8 C.9 D.10 2.*(2025·广东广州高一月考)若a= (1,2),b=(x,3),且a·b=4,则x=( A.-2 2 D.10 3.*(2025·吉林长春高一月 考)已知向量a,b,c在正方形 网格中的位置如图所示.若网 格纸上小正方形的边长为1， 则(a+b)·c= ;a·b= 题组2向量长度的计算 4.·(2025·福建莆田高一月考)已知向量 AB=(1,1),BC=(-2,1),则1AC1=() A.5 B.5 C.3 D.3 5.*(多选)(2025·河北石家庄高一月考)已 知向量a,b满足1a1=1,1b1=2,它们的夹角 为写则下列向量中，与向益a-b的模相等的 向量有 A.a B.b-2a C2 D.3b-a 6.*·(2025·江西九江高一月考)已知向量 a=(-2.1).=(分-2小则6在a上的投影 向量为 ( A.(2,-1) c.(5 D.(-2,1) 必修第二册·BS 电 ,3利用数量积计算长度与角度 子错题本 限时：25min 7.*(2025·江西南昌高一期中)已知a= (3,-4),则a方向上的单位向量的坐 标为 题组3向量夹角的计算 8.*(2025·福建泉州高一月考)若a= (2,0),b=(-1,1),则c0sa,b〉=（) B.-2 C.2 9.*(2025·江西九江高一期中)已知平面向 量a=(入，2)，b=(1,入+1)，若a⊥b,则入= () 2 A.1 B.-2 0.3 10.*(2025·江西景德镇一中高一期末)已 知AB=(2,3),AC=(-1,k).若AB,AC的夹角 为钝角，则k的范围为 题组4向量法求点到直线的距离 11.*已知A(1,1),B(-3,4),P(-1,-2),直 线1经过A,B两点，我们把向量AB以及与它 平行的非零向量都称为直线的方向向量， 把与直线1垂直的向量称为直线1的法向量， 则向量PA在直线L的法向量上的投影向量的 模就是点P到直线的距离 (1)求直线1的一个法向量； (2)运用上述方法，求点P到直线1的距离. 黑白题046 黑题 应用提优 1.*（多选)(2025·江西南昌高一期中)已知 向量a=(1,-2),b=(-1,m),则 () A若a与6垂直，则m=习 B.若a∥b,则a·b的值为-5 C.若m=2,则1a-b1=25 D.若m=-2,则a与b的夹角为60° 2.*(2024·江西九江高一期末)已知4，b满 足Ial=|b1=√5，a·b=-3,则cos〈a,a+b〉= ( 4.25 5 B 5 C.、25 5 D.、 5 3.*(2025·江苏无锡高一期中）已知a= (1,2),b=(m,m-1),且a·b=-|al·1b1, 则m= ( A.3 B.-1 C.3或1 D.3或-1 4.*(2025·陕西商洛高一期中)“七巧板”是 我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方 魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如 图所示.其中正方形ABCD的边长为4，点E, O,N分别是线段AB,AC,OC的中点，则ED· BN= ( A.-20 B.-14 C.14 D.20 5.*(2025·江西萍乡高一期中)人脸识别是 利用计算机检测样本之间的相似度来识别身 第二章 限时：45min 份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常 用方法.假设平面内有两个点A(x1,y1),B(x2, y2),0为坐标原点，定义余弦相似度为cos(A, B)=c0s〈OA,OB〉，余弦距离为1-c0s(A,B). 已知点1(？)，0，-1)，则A,B两点的 余弦距离为 1 B.、3 2+√3 C. 2-√3 2 D. 2 6.**(2025·辽宁辽阳高一月考)已知向量 a=(1,0),且m·a=2,n·a=-3,则lm-nl的 最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 7.*(2025·广东广州高一期中)已知向量 a=(-3,4),b=(1,0),若向量c满足〈a,c〉= (b,c〉，则c可以是 A.a+5b B.5a+b C.3a+4b D.4a+3b 8.*（2025·北京东城区高一期末)在矩 形ABCD中，∠ACB=30°，AB=1,AC,BD交于 点O,P,Q分别为边AB,边CD上的点，且关 于点O中心对称.S为矩形ABCD所在平面内 的动点，满足OS=入OA+(1-入)OD(0≤X≤ 1),则SP·SO的取值范围是 () 别 B.【2o] c.o,2] 9.*(2025·江苏宿迁高一月考)己知点 A(-4,0)、B(2,-1)、C(-1,3),则点C到直 线AB的距离为 黑白题047 10.*(2025·陕西咸阳高一期中)如图所示， 直角梯形ABCD中，AB∥DC,AB⊥BC, AB=2CD=6,BC=4,点E是线段BC上的动 点，若ED·E=14,则满足条件的点E的个 数是 11.*(2025·江苏徐州高一月考)在边长为2 的正方形ABCD中，M,N分别是边BC,CD 上的两个动点，且BM+DN=MN,则AM·AN 的最小值是 12.#(2025·江苏无锡高一期中)如图，已 知N是直角边长为2的等腰Rt△ABC所在 平面内一点，M是BC的中点，D是AM的 中点 (1)当A=2N乙时，求BD.B的值； (2)当1A1=1时，求B示.CV的取值范围。 必修第二册·BS 13.(2025·福建福州高一期中)设0，A,B 是平面上任意三点，定义向量的运算： RT(0A,OB)=0A·0B,其中OA由向量OA 以点0为旋转中心顺时针旋转】得到，当0 为零向量时，规定OA'也是零向量 (1)若0A=(2,1),0B=(-1,1),求RT(0A, OB),RT(OB,OA); (2)若a,b为不共线的向量，满足xa+yb= c(x,y∈R),请解答下面的问题， RT(c,b) (i)证明：x= RT(a,b)' (ii)[RT(a,b)c+RT(b,c)a+RT(c, a)b]·a的值. 压轴挑战 禁（多选）(2025·辽宁沈阳高一期中)在直 角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB= 2CD=2,AD=√3，动点P从顶点A出发，以每秒 1个单位长度的速度在梯形的边上沿着A→B →C→D的路线运动到点D处则停止，当运动 时间为x秒时，令f(x)=PC.PD,则 A.f(x)的定义域为[0,5] B.f1)=2 C.f(x)的最大值为5 D.f(x)有5个单调区间 黑白题048(D成-E)=D应-E2.因为△ABC是边长为2的正三角形，所以EA=1, 所以Di.D元=D-1,易知，当D,0,E三点共线时DE取得最大值，此 时0E=0D=1,所以DA·DC的最大值为DE2-1=22-1=3. 5.2向量数量积的坐标表示+ 5.3利用数量积计算长度与角度 白题基础过关 1.C解析：A(2,1),B(0,4),C(5,6),.A店=(-2,3)，A元=(3,5)， .A.At=-2×3+3x5=9. 2.A解析：因为a=(1,2),b=(x,3),且a·b=4,所以a·b=1×x+2× 3=x+6=4,所以x=-2. 3.03解析：以a,b交点为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示， 「y 则a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),∴.a+b=(4,0),∴.(a+b)·c=4× 0+0×1=0,a·b=2×2+1×(-1)=3. 4.B解析：A花=A店+B武=(1,1)+(-2,1)=(-1,2)，1A元1= √(-1)2+22=√5. 5.AC解析：因为a1=1,b1=2a,b的夹角为写，所以a·b=1x2× 2=1,1a-b1=√a2-2a·b+b=V1-2x1+4=3. 对于A,l3al=√31al=3,A正确； 对于B,1b-2al=V√2-4a·b+4a2=√4-4+4=2，B不正确； 对于c,}（6+2a)=}a64=4r44=5, C正确； 对于D,13h-a=√9奶2-6a·b+a2=√36-6+1=√31，D不正确. 6.A解析：向量6在a上的投影向量为冷aa·6=-2×号1× 3-2,0 （-2)=-3-2=-5,1a=V(-2)2+17=5,则4·b。 (2,-1). (；) 解析：由已知a=(3,-4),则1a=√32+(-4)7=5， 则a方向上的单位向量为写=（行，号） 8.A解析：cs(a,b)=a·b -2 √2 1alIb1√2x√-1)2+12 2 9.C解析：因为a1b,所以A+2(A+1)=0,即A=-2 3 106<号且≠-号解折：若成，成的夹角为能角，则店.衣<0，且 与花不平行，即-2430，且子夸求得<号且子 11.解：(1)设直线l的法向量n=(x,y).由题知直线！的一个方向向量 为AB=(-4,3).由直线1的法向量n与直线l垂直，得AB·n=0,所 以-4x+3y=0,取x=3,y=4,则直线1的一个法向量n=(3,4)(满 足-4x+3y=0即可). 参考答案 (2)因为向量Pi在法向量n上的投影向量m=P1cos(P,n)” 所以1m1=可：n又因为成=(2,3)，n=(3,4,所以1m1= 6+12=18,即点P到直线1的距离为18 55 黑题应用提优 1.BC解析：因为向量a=(1,-2),b=(-1,m), 对于A,若a与b垂直，可得a·b=-1-2m=0,解得m=- 2,所以A 不正确： 对于B,若a/6,可得=号解得m=2,即6=(-1,2，则ab=1X (-1)-2×2=-5,所以B正确： 对于C,若m=2,可得b=(-1,2),则a-b=(2,-4),所以|a-b1= √/22+(-4)2=25，所以C正确； 对于D,若m=-2,可得6=(-1，-2)，则cos(a,b)=a:b=-1+4 lallb15×√5 子，此时a.6≠60，所以D结灵 2.B解析：a·（a+b)=a2+a·b=5-3=2,1a+b1= Va+2a…b+b2=V5-6+5=2,cs(a,a+b)=a（a+b） Ial·Ia+b1 2=5 5x25 故选B. 3.B解析：由题意知，a·b=Ial·1b1·cos(a·b〉=-1al·Ib1, 则cos(a·b〉=-1，即(a·b〉=T,所以a∥b,所以1×(m-1)-2m=0, 解得m=-1. 4.C解析：以A为原点，以AB,AD所在的直线分别为x轴和y轴建立 平面直角坐标系，如图所示， B 因为正方形ABCD的边长为4，且点E,O,N分别是线段AB,AC,OC 的中点，可得E(2,0),D(0,4),B(4,0),N(3,3),则E=(-2,4), B成=(-1,3)，所以E.B=(-2)×(-1)+4×3=14. 5.C解析：根据题意，0= (分9）成=0-10，则m(a B)=cos(0A,0B)=_ i.0品 1Ox2,所以A,B两点的余弦距 2√5 离为1o4剧=1(）2 6.C解析：设m=(x1,y1),n=(为2，y2),由m·a=2→x1=2;由n·a= -3=2=-3,所以m-n=（5,当1-y2),所以1m-n1= √52+(y1-y2)2≥5（当y1=2时取“=”）. 7.A解析：设c=(x,y).又a=(-3,4),b=(1,0), a·c 所以cosa,e)=lallel32+4p1c51c,os〈b,c)= b·c =。因为(a,e)=(,e),所以m(a,e）=m(a,e),即 -3x+4y_x 51c1=c所以=2对于A,c=a+5b=(-3,4)+5(1,0)=(2。 4),满足文=号，放A正确；对于B,c=5a+b=5(-3,4)+(1,0)归 （-14,20),不满足三=了，放B不正确；对于C,6=3+4=3(-3, 黑白题027 41,0)=(-5,1四，不满足宁宁数C不正确：对于D8=: 3动=4(-3,4)+3(1,0)=(-9,16)，不满足号，放D不正跪 8.A解析：建立如图所示坐标系，由题意得A(0,0),B(1,0), c1.0,).0(分)则i=(分，9)，励 (9) B x 设P(p,0),则Q(1-p,N5),0=A0i+(1-A)0i(0≤A≤1)，0= (分）w(分）(2a)小so 5-3),S=(p,(A-1)5),Sd=(1-p,5A), .Sd=p·(1-p)+(a-1)5·5=p-p2+32-3入， 对于pe[0,1,P-2的最小值是0，最大值是4，对于Ae[0,1, 3弘2-3以的最小值是-子，最大值是0，所以成.戒的取值范围为 [] 9.2137 解析：设n⊥A店，由题可知A店=(6，-1)，B武=(-3,4)，设n= 37 (x,y),因为n1A店，所以n·A店=6x-y=0,令x=1得y=6,n=(1,6) 点G到直线版的离=文·乳2可 10.1解析：以点B为坐标原点，AB,BC所在直线分别为x,y轴建立如 图所示的平面直角坐标系，则A(-6,0),D(-3,4),设点E(0,t),其 中0≤t≤4，则EA=(-6,-t),Ei=(-3,4-t),则E.EA=18- t(4-t)=14,整理得t2-4+4=0,解得t=2,所以满足条件的点E只 有1个. 11.82-8解析：由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐 标系，设点M(2,m),N(n,2),其中m,n>0,则向量AM=(2,m), A=(n,2),所以A.A=(2,m)·(n,2)=2m+2n. 又由BM+DN=MN,则m+n=√(2-m)2+(n-2)Z,整理得 2(mt+n)+m-4=a又由2(m*a)+m-4≤2(m+a)+(0）厂-4， 设1=m+n>0,整理得2+8-16≥0，解得1≥-4+42，所以AM· A市=2m+2n≥-8+82，所以4立.A的最小值为82-8. y 12.解：(1)由题意，以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，所40.2)，B0.0),c2.0),1.0).D(}1） 必修第二册·BS =2成，可得N(手号)，所以励=（合，1）耐（告 24 B M (2)B.C=(BM+M)(Ci+M)=(BM+M)(-B+M)= M-B办=M产-1.当1A1=1时，N点在以A为圆心，1为半径的 圆上，所以1M12=(1MA1+1)2=(√22+1+1)2=(5+1)2=6+ 25,1M12n=(1MA1-1)2=(V2+1下-1)2=(5-1)2=6-2w5, 所以B.C的取值范围为[5-25,5+25]. 13.(0)解：已知0i-(2,),将可以点0为旋转中心顺时针旋转号得 到0根据向量旋转的性质，若Oi=(x,y),则旋转后的0=(y, -x),所以04=(1，-2). 那么R7(0i,0)=0.0=(1,-2)·(-1,1)=1×(-1)+(-2)× 1=-1-2=-3. 已知0成=(-1,1)，将成以点0为旋转中心顺时针旋转受得到 0,则0=(1,1)，所以RT(0成，0i)=0.0i=(1,1)·(2, 1)=1×2+1×1=2+1=3. (2)(i)证明：已知xa+yb=c,两边同时与b进行RT运算，即RT(xa+ yb,b)=RT(c,b).根据RT运算的分配律（可由向量数量积的分配 律推导)可得xRT(a,b)+yRT(b,b)=RT(c,b).因为RT(b,b)=b' b,设b=(m,n),则b'=(n,-m),b'·b=mn-mn=0,所以xRT(a, b)=RT(c,b).又因为a,b不共线，RT(a,b)≠0，则x=Tc,2 RT(a,b) (i)解：由(i)同理可得yRT0,aR7(a,b) RT(c,a)RT(a,c) 当a,b不共线时，则c= G)gr RT(a,b)c=RT(c,b)a+RT(a,c)b=-RT(b,c)a-RT(c,a)b, 所以[RT(a,b)c+RT(b,c)a+RT(c,a)b]·a=0. 压轴挑战 AC解析：由题意可得BC=2,所以点P所走的总路程为2+2+1=5，所 以x∈[0,5]，故A正确； 以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立如图①所示的平 面直角坐标系，其中∠ABC=60°， 则A(0,0),B(2,0),C(1,3),D(0,√3)，设P(m,),则P=(1-m, 3-n),Pi=(-m,5-),所以P元.Pi=-(1-m)m+(3-n)(3- n)=m2+n2-m-2W3n+3. 如图②所示，①当x∈[0,2]时，m=x,n=0,所以(x)=x2-x+3∈ [5],即=3，放B结溪 ②当e(2,利时m=2-(分1)3之a号(-2)所以 (）广-2-(-）小-3-2*3-*8e 黑白题028 [0,5)； ③当x∈(4,5]时，m=5-x,n=V5,所以f(x)=(5-x)2-(5-x)=x2- 9+20e[4,0] 综上)e[5],放c正确；且)在区间[0，]上单调通 减，在区间 (},2]上单调通增，在区间(2，号]上单调递减，在区间 (?,5]上单调造增，共4个单调区间，故D错误 §5 阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：由题意可知n=-m,由(q-m)⊥(q-n)得出(g-m)上 (q+m),(9-m）·(q+m)=0,即g2=m2,因此，|g1=1m1= √/32+0=3.故选C. 2.B解析：因为a·(a-b)=0,所以a2-a·b=0,即1a2=a·b①.又 因为la-b1=31al,所以(a-b)2=31a12,即a2-2a·b+b2=31a12, 将①代人得1=21a1,设a与B夹角为，所以os0:合高 al12ia分因为0≤0≤180，所以0=60 1a12 四重难点拨 求向量的模或利用向量的模求参数时，多采用将模平方的操作，利 用a2=1a12实现向量运算与实数运算的转化. 3.C解析：因为1可=5,0成1=25，且0,0的夹角为牙，所以应 在成上的投影向量为：0.O成.(0成-0励· 10212 1012 .成 10成12-0.成.0成 、（28)2-5253.0成=0成 10成12 (25)2 4.D解桥：市=市-衣=子店-花，应=+破=破+子武=+ 子成-蓟=戒则成成(}成-成)小(}应。 号成）石+号庙.花-号话.花子=名*2 子×P=0枚选D 5.ABC解析：取BC中点为O,连接OA,以O为原点，分别以OC,OA所 在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图。 1Y4 则B(-2,0),C(2,0),P(x,y),B=(x+2,y),武=(4,0)，因为 AB=AC=22,所以两圆的半径均为√2，圆心分别是(-1,1)和(1,1)， 所以-2-1≤x≤1+W2,所以B.BC=4x+8∈[4-42,12+42]，所 以前.BC的值可能是1,4,8. 6.A解析：设a与b的夹角为0,1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4有以 下3种可能： ①2a2+2b2=21a12+21b12=101al2;②4a·b=4|a|×21 al cos0= 81a12cos0:③a2+b2+2a·b=51a12+41a12cos0. 易知8最小，则81a1Paw0=451al2,解得ca0=由0e[0,m] 得0=6 参考答案 7.AC解析：对于A,ab=0,所以a1b,所以0=受，所以a*b= 1al1b1sin0=√2×√2×1=2，故A正确； 对于B,因为sin0≤1，所以a*b=|al1b1sin0≤1al1b1,故B错误： 对于C,若a*b=0,则sin0=0,所以0=0或0=T,所以a∥b,故 C正确； 对于D,若c=-b,则a*(b+c)=0,a*b+a*(-b)=|al1b|sin0+ lallb1sin(T-0)=21a|Iblsin0,故D错误. 8.AC解析：对于A,将0币绕原点0旋转-30°，30°，60°到0P,0P2 0P的位置，则0P与0P的夹角为90°，0P·0P=0,故A正确； 对于B,因为∠POP1=∠POP2,IOP1I=IOP2I,可得△POP1≌ △POP2,则IPP1I=IPP2I,故B错误； 对于C,因为0,0P)=(0P,0P)=60°，10=10P1=10P)1= 10P1=5,故由向量数量积的定义，可得O币.0P=0P.0P= ,放C正确： 对于D,若点P1坐标为 -11+25）,则10P1= 2 2 / √/17+25 2 ≠5=101，故D错误. 9.B解析：因为单位向量ab,所以由a2 2-)b≤1a*b1平方得1+ 1 a·b≤1w2+2a·b=02+24ab+a·b-4≥0 又因为对任意的4∈R,上式关于4的一元二次不等式恒成立，则满 足4=4(a·b)2-4a·b+1≤0曰(2a·b-1)2≤0， 此时只能满足a·b=2,即a·b=cos(a,b〉=2，因为(a,b)∈ [0,],所以(a,b)=3 T 10.5解析：因为a=(1,2),b=(-1,0),则a+入b=(1-入，2).又a⊥ (a+λb),所以a·(a+入b)=1-A+4=0,解得=5. 11.√万解析：由12a-b1=7,可得12a-b12=4a2-4a·b+b2=7,即 41a12-4a·b+1b12=7.又由1a+b1=13a-b1,可得1a+b12=13a b12,即(a+b)2=(3a-b)2,整理得a2+2a·b+b2=9a2-6a·b+b2, 即a2-a·b=0,即1a12=a·b,联立方程组 41a2-4a·b+1b12=7,可得1b12=7,所以川b1=7. lal2=a·b, 12.(1)证明：由A(0,0),B(1,2),D(4,-2),则A店=(1,2)，A= (4,-2).又AB·A=1×4+2×(-2)=0,即AB⊥Ai,则AB⊥AD. (2)解：A范1A币，四边形ABCD为矩形.D元=A 设点C坐标为(x,),则店=(1,2)，D元=(x-4,y+2)心y+2=2 ∫x-4=1, 解得=5故点C坐标为(5,0). ly=0, 由于A花=(5,0)，Bd=(3,-4),故A元.Bi=15+0=15. 又1d=5,励1=5，设花与动的夹角为6，则c0=花-动 IA花1IB励 153 25-5 13.解：(1)因为市=4应，市=成，庇=2D成，则亦=亦-应=号成- 市①，=动+成=动+}店②， 由0x34@,可得(3+)应=3成+成，化简即得， 成 又0x兮2x分可符（立日）市：兮成号成化简即 2 黑白题029