(5)从位移、速度、力到向量，位移的合成到向量的加减法、从速度的倍数到向量的数乘，平面向量基本定理及坐标表示，从力的做功到向量的数量积

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的加减法运算 易 0.80 向量平行的坐标表 选择题 5 易 0.75 示，求向量的模长 向量垂直的坐标运 3 选择题 易 0.72 算与充要性的综合 利用平面向量基本 4 选择题 5 中 0.55 定理求参 利用向量判断四边 5 选择题 5 中 0.45 形形状 6 选择题 5 求向量模长的最值 中 0.35 7 平面向量的相关 选择题 6 易 0.75 概念 向量的线性运算、数 8 选择题 量积的综合（数学文 L L 中 0.45 化题) 9 填空题 由三点共线求参 易 0.71 求投影向量的长度， 10 填空题 5 中 0.35 求数量积的最值 11 解答题 13 确定几种特殊向量 中 0.60 求向量夹角的余弦 12 解答题 15 值，由向量夹角为钝 中 0.45 角求参 平面向量数量积与 13 解答题 20 中 0.40 三角函数的综合 叁考答案及解析 一、选择题 2.B【解析】因为a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,所 1.D【解析】由题意可得MA-(BA-CM)+BC 以1×t=2×(-2),解得t=-4,故b=（-2,-4), MA+CM+Ai+BC=CA+AC=0.故选D. a+b=(-1,-2),|a+b=√(-1)+(-2)r= ·17· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 √5.故选B =2Aò，Dò=0，B正确：对于C,B方=B配+E方= 3.A【解析】因为a=(3,2),b=(-1,x),由(a十b)⊥ (a-b),得(a十b)·(a-b)=a2-b2=(32+22)-(1 合i+Ei=合（成+i)+i=-是成+ 十x)=0,解得x=士23，显然当x=2√时，有(a十 是Ei,C正确：对于D,A0·B前=Aò· b)⊥(a-b)成立，所以“x=23”是“(a+b)⊥(a b)”的充分不必要条件.故选A (-2成+2)=-A0.+号A动，前 4.D【解析】如图，设E是AC的中点，由于O是 △ABC的重心，所以ò-号成-号(A立-A成 =-号XXE=-1,D正确，故选BCD. 3 三、填空题 号×（号花-应）=-号店+号花.则x十y 9.-1【解析】因为BD=BC+CD=2a-b,A,B,D三 点共线，所以存在实数入，使得AB=入BD,即 号+号=合故选D 以-1一1 10.√5一2【解析】由题意可得|CP|·cos∠PCB= CB=√，即向量CP在CB方向上的投影数量为 √3.如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴 建立平面直角坐标系，设P(x,0)(0≤x≤2)，则 A(0,0),B(2,0),C(2,√3)，D(0,√3)，故CP= (x-2,-√)，PD=(-x,√)，则Cp·PD=-x2 5.A【解析】因为AD=Ai+BC+CD=(a十2b)+ 十2x-3=-(x-1)2-2,则当x=1∈[0,2]时，C2 (-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b,所以AD= ·PD取得最大值为-2. 2BC,所以AD∥BC且|AD≠|BC1,所以四边形 ABCD为梯形.故选A. D C 6.C【解析】连接AB,OC,如下图所示： A B x 四、解答题 11.解：(1)由相等向量的定义知，与a相等的向量有 B DO,EF.CB (4分) 因为AC⊥BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB (2)由相反向量的定义知，b的相反向量有OE,CD, 的中点，所以MA+MB=2MO,所以|MA+Mi+ AF,BO. (8分) 2M花1=|2Mò+2(Mò+OC)|=14Mò+2OC1≤ (3)由向量模长的定义知，与c的模相等的向量有 41M01+21O元1=4×2+2×1=10，当且仅当M,0, C0,OF,F0,OE,Eδ，OD,D0,OB,B0,OA,A0. C共线且M而，O元同向时，等号成立，因此 AB,BA,AF,FA,FE,E市，Ei,DE,DC,CD,CB, |MA+MB+2MC|的最大值为10.故选C. BC. (13分) 二、选择题 12.解：(1)由题得a·b=|a1 bcos3匹=3X22× 7.AB【解析】对于A,由向量加法的三角形法则知 4 |a十b|≤|a+|b|,A正确：对于B,由向量的数量 (-9)=-6 (2分) 积公式知，|(a·a)a|=a2a=a13,B正确：对 于C,由向量减法的运算性质得|a-bl≥|a| |a+b|=√(a+b)'=√Ta+b'+2(a·b) |b|,C错误：对于D,向量不能比较大小，D错误.故 =√/9+8-12=√5. (4分) 选AB. 则cos(a,a十b)=a(a+b}=a十a,p= 8.BCD【解析】对于A,A0=号AC=之×2HG aa+b aa+b 9-6_5 HG,A错误；对于B,AO·(G式+G)=Aò·2G市 (7分) 3X√55 ·18· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· (2)由题得，(ka十2b)·(3a+4b)=3k|a+ 8|b|2+(4k+6)a·b=27k+64-6(4k+6)=3k 所以cos0= a·b x1x2十y1y2 Tab (7分) √i十y听√x+y +28, (9分) /1- x1x2十y1y2 2 因为ka十2b与3a十4b的夹角为钝角， sin 0- √x+y所√+y喝 所以(ka十2b)·(3a十4b)<0, √(x1y2-x2y)3 从而3k+28<0,即k<-2s Ly-y (12分) 3 +听√++√+ 若ka十2b与3a十4b共线， 所以a☒b=|a||b|sin0=|xy2-x2y1|,(10分) 则令=子，即k=号，此时它们共线，夹角不为钝 又AB=(-3,1),BC=(1,2), 所以AB☒BC=|-3×2-1×11=7. (12分) 角， (14分) (3)由(2)得a⑧b=1ab|sin8=|x1y2-x2y1|, 所以k的取值范围是(-∞，一琴)。 (15分) 故a⑧b= 1 4 1一+ 4 cos a sin a cosa sin'a' 13.解：(1)由已知a=(2,1),得a=√5， (14分) 设a与b的夹角为0， 又1 4 则a·b=|a|b1cos8=25cos0=4, cos a'sin a 解得c0s0 2 /1 +4 cos'a++sin'a) cosa'sin'a/ 又0≤≤π， =5+sin'a+4cos'a cos'a sina 所以sin0=方' (4分) ≥5+2√cosa sina×4cosa sin'a =9,当且仅当sine= 所以a⑧b=|a|b|sin0=2W5×2=2. cos'a (5分) 4cosc,即tana=厄时等号成立， (19分) sin'a (2)设a=(x1,y),b=(y2), 所以a☒b的最小值是9. (20分) 则|a=√+y,|bl=√十， ·19·高一同步周测卷/数学必修第二册 (五)从位移、速度、力到向量，位移的合成到向量的加减法、从速度的倍数 到向量的数乘，平面向量基本定理及坐标表示，从力的做功到向量的数量积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.MA-(BA-CM)+BC= A.2 MC B.2 CB C.2 BC D.0 2.已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则a十b= A.2 B.√5 C.√/10 D.5 3.已知向量a=(3,2),b=(-1,x),则“x=2√3”是“(a十b)⊥(a-b)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知△ABC的重心为O,若BO=cAB+yAC,则x十y= A号 B分 c号 5.在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的 形状是 A.梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形 6.如图，A,B,C三点在半径为1的圆O上运动，且ACLBC,M是圆O外一点，OM= 2,则MA+MB+2MC的最大值是 A.5 B.8 C.10 D.12 B 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题正确的是 A.任意两个向量a和b,有a十b≤a+|b B.(a·a)a=a3 C.任意两个向量a和b,有a-b≤a-b D.若向量a,b满足a>b,且a与b同向，则a>b 8.如图是《易·系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的 源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD,EFGH,其中O为这两个正 方形的中心，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，若正方形ABCD的边长为 2,则 书洛 G -00-00-0-0-0 E A.Aò=2HG B.AO.(G元+GB)=0 C.BH--7EF+EH D.AO·Bi=-1 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.设a,b是两个不共线的向量，且AB=2a十b,BC=a十b,CD=a-2b.若A,B,D三 点共线，则实数p= 10.在矩形ABCD中，AB=2,BC=√3，点P在边AB上，则向量CP在CB方向上的投影 数量为 ,CP·PD的最大值是 .(本题第一空2分，第二空3分) 高一同步周测卷五 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA=a,OB=b,OC=c.在以A,B,C,D, E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与a相等的向量有哪些？ E (2)b的相反向量有哪些？ (3)与c的模相等的向量有哪些？ 12.(本小题满分15分) 已知向量a与b的夹角为9=3平，且aF3,b=2瓦. (1)求a与a十b的夹角的余弦值； (2)若ka十2b与3a十4b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“☒”：m☒n=m n sin0. (1)已知向量a,b满足a=(2,1),b=2,a·b=4,求a☒b的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1),B(一1,2)，C(0,4),求ABBC的值； (3)已知向量a= (na品。&（品。。eo,登）求ab的最小位 cos a'sin a' 一同步周测卷五 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)