第1章 三角函数 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

地面 地而 2 18(()解：因为8<受所以-1<血n(小k 又血（于-a）=esa,所以m<esa (解：因为-牙<9<受+a<受所以-1sBsn(任+扣)k1 又m(受+a）=emsa,所以n Bom (2)证明：)+（号①，受）（号 ②， ①+②可得-<2f)<m,①-②可得-<2g(x)<m,即-2<x)< 结合①式，当0≤)<？时，有-7<g()<7-)≤分，所 以n(g✉到)（到）=oU),得证 结合②式有- <()-到受，当<<0时，有< ge受)受则m(g()<m(到）osU》. 综上所述，有im(g(x)<cos(f(x). 19.(1)解：sim0.5≈0.5-0,5 ≈0.48. 6 （2)()证明：由题意，得血x>-引，所以血兰>1 x 6>1- -=1 6 云房当eo）时5故咖0 (i)解：对于函数f(x)=-2sinx,有-2≤f(x)≤2，-2≤a<b≤2， ①诺6≥号则[0，子]c[a,],故最小值为-2，于是a=2。 所[三，号]ca,d],所以)最大值为2放6=2 此时fx)的定义域为[-2,2]，值域为[-2,2]，符合题意 ②诺6c受，当a≤受时，同理可得a=-2.62,舍去， 当a>2时x)在[a,b]上单调递减， 所82c于是at-3am 若b>-a,即a+b>0,则sinb>sin(-a), 故sinb+sina>0,-(sina+sinb)<0,与a+b=-2(sina+sinb)矛盾； 若bc-a,同理，矛盾；当b=-a时，即 2=sin b, 由(i)知当xe（ 因为b [o) ,所以b=0,从而，a=0,从而a=b,矛盾. 综上所述(x)有唯一的“封闭区间”[-2,2]. 第一章真题演练 黑题 真题体验 1.A解析：由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0”的充分条 件；又当x=π时，sin2x=sin2m=0,可知sin2x=0≠x=0,故“x=0” 参考答案 不是“sin2x=0”的必要条件. 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件. 2B解折：根据正切函数的性质，=2(k-号)的对称中心横坐标 满足号-受eZ,即y=2(号)的对疼中心鬼（号受 0）keZ,即a=号经keZ又c>0,则长=0时a最小，最小值是 号即a=号 T 3.B解析：由题意可知，x1为x)的最小值点，x2为八x)的最大值点， 则-号-号即T,且o>0,所以e积2故选B 4,A解析：设f(x)的最小正周期为T,根据题意有 +2k, 12w+0=2 m,kEZ, 个 3 wtp=mn, 由正弦函数的对称性可知号-音-2)”(aez),即子 312 4 2nT+T .ω=4n+2. 欢在[]上单测猫则子-()日 @ 下+2k, 70<≤2u=2,则 2 m,kEZ o=mT-3, pe(-m,)k=0,m=1时，p=写)=sm(2x+写)， 当e[0,受]时，2子e[于智]由正孩函数的单调性可知 4π√3 f(x)min=sin 3=2 5.C解析：因为函数y=sinx的最小正周期为T=2r,函数y=2sin3x- π）的最小正周期为T=27,所以在x∈[0,2m]上，函数y=2sn3x- 6 石)有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如 图所示： y↑y=2sin(3.x-石 27 2 TX 3 由图可知，两函数图象有6个交点.故选C 6.BC解析：A选项，令)=血2x=0,解得：=俨，keZ,即为)的 零点，令g(e)=m(2:）=0,解得=经+gkeZ,即为8()的 零点，显然(x),g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)r=g(x)ma=l,B选项正确； C选项，根据周期公式()，g(x)的周期均为 2 =T,C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，(x)的图象的对称轴满足2x=km+2 x二km,T,kZ,g(x)的图象的对称轴满足2x-4=m+2→x 受+号ke乙，显然)8（的图象的对称轴不同，D选项错误故 选BC. 黑白题017 7.-2解析：由题意B=a+m+2km,ke乙，从而cosB=cos(a+T+ 2m)=-osa因为ae[石，号]，所以casa的取值范周是 [分]B的取位花阿是【号号]，当且仅当。 3 即日=行2，e乙时，心B取得最大值，且最大值为-宁故答案 为号 8受（答案不唯-）石（答案不唯一）解析：因为血(a+B) T sin(a-B),cos(ax+B)≠cos(a-B),所以a+B,a-B的终边关于y轴对 称，且不与了轴重合，放a9+a=+2m,keZ且a8≠受m,1e Z,即a=牙+m,ke乙，放取a=父B=石可满足题设要求 9.[2,3)解析：因为0≤x≤2π，所以0≤x≤2wm,令f(x)=COs x-1= 0,则cosx=1有3个根，令t=ox,则cost=1有3个根，作出y=cost 的大致图象如图， 2@T 6π y=cost 第二章 平面 §1从位移、速度、力到向量 1.1位移、速度、力与向量的概念+ 1.2向量的基本关系 白题 基础过关 1.C解析：由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量 四易错提醒 向量由大小与方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，方向是几 何特征. 2.A解析：向量不能比较大小，故说法①②③都不正确 3.ABD解析：对于A,零向量的模等于0，故A错误； 对于B,零向量有方向，其方向是任意的，故B错误： 对于C,根据单位向量的定义可知C正确； 对于D,零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故 D错误 4.C解析：因为101=2，所以点4在以点0为圆心2为半径的圆上， 故点A构成的图形是一个圆 5.8解析：如图，以B点为起点作向量，共8个 6.C解析：对于A:单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单 位向量不一定相等，故A错误： 对于B:零向量与它的相反向量相等，故B错误： 对于C:模为0的向量为零向量，零向量与任一非零意向量共线，故 C正确； 对于D:模相等的两个共线向量可能是相同的向量，也可能是相反向 量，故D错误. 7.BCD解析：对于A:若1al=Ib1,只能得到a与b的模相等，但是方 向有可能不相同，故A错误； 对于B:若a=-b,则a与b是相反向量，则a∥b,故B正确； 对于C:若a∥b,b∥c,且b≠0，则a∥c,故C正确； 对于D:若a=b,b=c,则a=b=c,即a=c,故D正确 必修第二册·BS 其中te[0,2wr],结合余弦函数y=cost的图象性质可得4r≤2wT< 6m,故2≤w<3,故答案为[2,3). 105解折：设A(方），B(,7)）,由141-云可得 =5π+2km,keZ, 1=石由如=，可知=名2或 由题图可知，p-(omp)名8号即4) 所以w=4,所财（号）小=血(+p)-0, 所以g=,eZ,即e=ra,keZ, 所以动=血（红弩h)血(a子+r）,keZ。 又因为o)<0,所以=血(4-号=） 所以)：血(4n子） 符合题意 2 故答案为 向量及其应用 8.6解析：根据题意，可得所有共线非零向量有A店，A心，B,B武，C】 C,共6个 9.C解析：Ad与Cd的夹角为∠ADC=120°. 10.D解析：因为△MBC为等腰直角三角形，∠A=受，所以∠B=子， 故向量与B心的夹角为3 黑题 应用提优 1.A解析：对于A,摩擦力和重力都既有大小，也有方向，所以摩擦力、 重力都是向量，A正确； 对于B,x轴、y轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C,温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D,身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误 2.BD解析：A选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误； B选项，因为A与B武共线，且有公共点B,所以A,B,C三点在同一条 直线上，所以B正确； C选项，当a∥b且方向相反时，即使Ial=Ib1,也不能得到a=b,所 以Ial=IbI且a∥b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件，所 以C错误； D选项，A,B,C,D是不共线的四点，AB=D元，即模相等且方向相同， 即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确. 四易错提醒 两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线 重合或平行。 3.B解析：由题意可知，A与A元不共线，A错；因为D,E分别是AB,AC 的中点，所以DE∥BC,故D成与C共线，B对：因为CD与AE不平行， 所以C与AE不相等，C错；因为AD=D=-BD,所以D错. 4.A解析：因为10A=1O1=10心1，即点0到A,B,C的距离相等，所 以点O是△ABC的外心.故选A. 5.D解析：由Ad=O元，Bd=Oi,1AC1=1B1,知四边形ABCD的对角 线相互平分且相等，所以四边形ABCD为矩形故选D. 黑白题018第一章真题演练 黑题 真题体验 限时：30min 1.*（2025·天津)设x∈R,则“x=0”是6.*（多选）(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数 “sin2x=0”的 ( fx)=sin2x和g(x)=sin(（2x-牙），下列说法 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 中正确的有 C.充要条件 A.f(x)与g(x)有相同的零点 D.既不充分也不必要条件 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 2.**(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0) C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 是函数)=2am(x-写)的图象的-个对称中 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 7.*(2024·北京)在平面直角坐标系x0y 心，则a的最小值为 ( 中，角与角B均以Ox为始边，它们的终边 A君 B. c D 4T 关于原点对称若a∈[石，霄]，则csB的最 3.*（2024·北京)设函数f(x)=sin wx(ω> 0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且1x1-x21的最 大值为 8.*(2025·北京)已知a,B∈[0,2π]，且 小值为)，则u= ( sin(a+B)=sin(a-B),cos(a+B)cos(a-B). A.1 B.2 C.3 D.4 写出满足条件的一组α，B的值：α= 4.**(2025·天津)f(x)=sin(wx+p)(ω>0， B= -T<m),在[-设]上单调递增，且 9.*（2023·新课标全国I)已知 函数f(x)=COS Wx--1(ω>0)在区间 为它的一条对称轴 (3,0)是它的一个对 [0,2π]上有且仅有3个零点，则w的取值范 围是 称中心，当xe[0,7]时，x)的最小值为 10.*(2023·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)= A.3 sn(am+p),如图，A,B是直线y=号与曲线y= 2 2 C.1 D.0 )的两个交点，若1B1=石，则 5.*（2024·新课标全国I)当x∈[0,2π] f(π)= 时，曲线y=sinx与y=2sinm(3x-石)的交点个 数为 A.3 B.4 C.6 D.8 第-章黑白题029 第二章 平面向量及其应用 §1从位移、速度、力到向量 1.1 位移、速度、力与向量的概念⊕1.2 向量的基本关系 白题 基础过关 限时：25min 题组1向量的概念与几何表示 题组2 相等向量、相反向量与共线向量 1.·(2025·安徽蚌埠高一月考)下列各量中 6.·(2025·江苏宿迁高一期中)下列命题正 是向量的为 ( 确的是 A.时间B.体积 C.重力 D.密度 A.单位向量均相等 2.下列说法正确的个数是 ( B.任一向量与它的相反向量不相等 ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小； C.模为0的向量与任一向量平行 ②方向不同的向量不能比较大小，但同向的向 D.模相等的两个共线向量是相同的向量 量可以比较大小；③向量的大小与方向有关 7.*(多选)(2025·广东东莞高一月考)关于 A.0 B.1 C.2 D.3 非零向量a,b,下列命题中正确的是()》 3.*(多选)(2025·广东东莞高一月考)下列 A.若1al=1b1,则a=b 说法不正确的是 ( B.若a=-b,则a∥b A.向量的模是一个正实数 C.若a∥b,b∥c,则a∥c B.零向量没有方向 D.若a=b,b=,则a=c C.单位向量的模等于1个单位长度 8.*(2024·江西九江高一月考)如图，B是 D.零向量就是实数0 线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和 4.*已知点0固定，且1OA1=2,则点A构成 终点，则最多可以写出 个共线非零 的图形是 向量 A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定 A 5.中国象棋规定：马走“日”，象走“田”.如 题组3向量的夹角 图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中 9.★ 已知直角梯形ABCD中，AB⊥BC, 每个小方格都是单位正方形)中，若马在A ∠DCB=60°，则AD与CD的夹角为（) 处，可跳到A,处，也可跳到A2处，用向量AA, A.30° B.60° AA表示马走了“一步”.若马在B处，则以B C.120° D.150° 为起点表示马走了“一步”的向量共 10.*(2024·陕西西安高一期中)在等腰 有 个 △4C中，∠A=7,则向量丽与BC的夹角为 A. T 2 B.T 2π C. 4 必修第二册·BS黑白题030