第1章 专题探究3 数列的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

专题探究3 数 黑题 专题强化 题组1数列中的新定义、新情境问题 1.*(2025·陕西渭南高二期末)天坛的圜丘 坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层 中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天 心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环 依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最 后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已 知每层环数相同，且下层比中层多729块，则 中下两层共有扇面形石板 A.2699块 B.3474块 C.3402块 D.2997块 2.(2025·山东菏泽高二月考)《九章算术》 中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生 日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思 是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高 一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每 天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于 蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需 要经过的时间最少为 A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 3.(2025·陕西西安高二月考) 某个软件公司对软件进行升级，将 频讲解 序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列A*= (a2-a1,a3-a2,a4-a3,…）,A*中的第n项为 a+1-a,若(A*）*的所有项都是3，且a4=11, a5=18,则a1= 题组2数列与函数、不等式的综合问题 4.*(2025·安徽安庆高二期中)函数f(x)= (3-a)x-3,x≤7， a-6,x>7, 若数列an}满足an=f(n),， n∈N“,且{an}是递增数列，则实数a的取值 选择性必修第二册·BS 列的综合应用 子错题本 限时：35min 范围是 A.1g3) R(只) C.(1,3) D.（2,3) 5.(2025·天津津南区高二期末)已知数列 an}满足a1=1,an=an+1-3·4"-1,neN°，则 数列{an}的通项公式an= ,若数列 {an}对任意的neN*,k(an+4-n)≥2n-5恒 成立，则实数k的最小值为 6.(2025·山东淄博高二期中)已知数列 {an}为等差数列，a2=3,a4=3a5,数列{bn}的 前n项和为Sn,且满足2Sn=3bn-1. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn=(an+1)·bn,数列{cn}的前n项和 为Tn,且Tn-n·3"<(-1)"·m对neN 恒成立，求实数m的取值范围. 黑白题36 第一章 (时间：120分钭 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.*(2025·江西南昌高二期中)已知数列 1-1则该数到的第10项为 .、25 297 33 2 C.、g 299 D.、25 296 2.*(2025·江西宜春高二月考)已知数列 ,1满足a三2，若a则a09 B.2 C.1 D.-1 3.*(2025·河南南阳高二期末)已知等差数 列{an}前9项的和等于前4项的和，若a= -a3,则k= A.11 B.13 C.15 D.17 4.*(2025·辽宁沈阳高二期末)已知等比数 列{an}的前n项和为Sn,若a3+S3=2,。+S6= 6+5,则a+a5三 ao+all A.g B.1 6 1 1 C.21 0. 5.*(2025·山东省实验中学高二期末)“杨 辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西 方的“帕斯卡三角形”早了300多年如图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为 图中虚线上的数1,3,6,10，…构成的数列 {an}的第n项，则a1oo的值为 () 第一章 章末检测 电子错题本 总分：150分) 11 12 1331 14641 15101051 +44+✉ A.5049B.5050C.5051D.5101 6.*(2025·安徽合肥高二期中)已知数列 {a,}满足4，=10,01一0=2，则”的最小值为 n 11 16 .2 6.3 27 C. D.2/10-1 4 7.*(2025·河北衡水高二月考)设首项为1 的数列{an}满足amn+amn=2am+2an(（m> n,m,n∈N),则a22s的个位数为 () A.0 B.2 C.3 D.5 8.装(2025·黑龙江绥化高二期中)已知数列 {an}满足a1=1,a2n=a2n-1+(-1)”,a2+1=a2n+ 3"(n∈N),则数列{an}的前2025项的和为 （) A.31012-2025 B.31012-2027 C.3103-2025 D.31013-2027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9.*(2025·云南昆明高二月考)公差为d的 等差数列{a}与公比为g的等比数列{bn} 首项相同且为正数，则 A.若d<0,则{an}为递减数列 B.若0<q<1,则{bn}为递减数列 C.若g>1>b0,则色}为递增数列 D.若q>1>d>0,则{anbn}为递增数列 黑白题3712.解：（1)设等比数列{an}的公比为q,由题意可得 (3a2=a1+2a3,(3a19=a1+2a19, a=d,则4aa=d8 则 2因为数列{an} a 是道减的等比数列，解得1=9=分，所以0=9 (分）广，因为61=26.-2n+1,所以61-2(n+1)-1= 2(b.-2n-1),因为b1=3,则b1-2×1-1=0,所以bn-2n-1= 0,故bn=2n+1. (2当a为奇数时，6，合4含则A 3 3,7,4n-5.4n-1 +114n-,所以4A。=23+25大… 232+…+ 2+22+1,两 个等式作若可得=号宁 44n-1_3 22-22*=2 ×() 14 君化微稻人曾 0.22:当n为偶数时，c.=b.b2=(2n+1)(2n+5) 11 1 =1 11 1 1(1-1 13i7…t4n+14n+5)=4（54n+5,故T=A,+ a44 专题探究3数列的综合应用 黑题 专题强化 1.D解析：设第n环天心石块数为an,上层共有n环，Sn为 {an}的前n项和，则{an}是首项为9，公差为9的等差数列， a=949(a-1=9,=号(+n),上层中层，下层的块数 分别为S,S2n-S.,Sn-S2a,由下层比中层多729块，得 5。-5.=及-8.+72四，即？(92+3n）-号(4n+2m）= ?(4n2+2m)2(a+n+729,解得n=9,所以中下两层共 有第面形石板。号(2四+切)吕（心49）=297（块）. 2.A解析：由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一 天的一半，所以蒲生长长度构成首项为a1=3,公比为91= 的等比数列，其前A现和为8 =6-6× 1 (行）八又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍。 则莞生长长度构成首项为b,=1,公比为92=2的等比数列， 其前n项和为.-112）=2”-1，由题意得7，>S, 1-2 即2-1b6-6x(分广，则27，令1=2，则≥2+ 7,解得t>6,即2">6，又22=4<6,23=8>6，所以需要经过的 时间最少为3天 3.8解析：由题意得A=(a1,a2,a3,a4,a5,…),A*=(a2-a1, 参考答案 a3-a2,a4-a3,a5-a4,…）,(A*）*=(a3-2a2+a1,a4-2a3+ a2,a5-2a4+a3,…).:(A*）*的所有项都是3，.a3-2a2+ a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4+a3=3,由a5-2a4+a3=3得 18-22+a3=3,解得a3=7,由a4-2a+a2=3得11-14+a2=3, 解得a2=6,由a3-2a2+a1=3得7-12+a1=3,解得a1=8. 4.D解析：由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且 (3-a>0, f(8)>f7),即a>1, 解得2<a<3,故实数a的 (a8-6>(3-a)×7-3, 取值范围是(2,3). 5.4-4+n64 1 解析：a,=a+1-3·4-1→a*1-a,=3·4“+1. 当n≥2，neN时，an=(an-an-)+(an-1-aa-2)++(a2 a1)+a1=(3·4-1+1)+(3·4-2+1)+…+(3×4+1)+1=3× 4(1-4）+n-1+1=4-4+n.k(a,+4-n)≥2n-5→k(4-4+ 1-4 4-n)≥2-5≥年设62要年46 4+1 2-1,当n=1,2时6>站海当n3eN 时，bn+1<bn<bn-1<<b<b3,因此b3是数列{bn}的最大项， 要想数列{an}对任意的n∈N,k(an+4-n)≥2n-5恒成 立，只需k≥6,64 1 6.解：(1)等差数列a,}中，设公差为d,则=3，→ (a14=3a5 a12宁-aa1 ∫a1+d=3, (neN).数列{bn}的前n项和为Sn,且2Sn=3b。-1①，当 n=1时，61=1，当n≥2时，2S-1=3bn-1-1②，①-②得b.= 3bn-1(n≥2)，故数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数 列，所以bn=3-(neN) (2)数列{cn}中，c.=(an+1)·b。=2n·3-.则Tn=2×3°+ 4×3+…+(2n-2)·3-2+2n·3-1,所以3T,=2×3+4×32+ …+(2n-2)·3-1+2n·3,故-2T。=2+2×(3+32+…+ 3)-2n·3”=(1-2n）·3”-1,所以T=2m-1）3+1因 2 为(-1)·m>T-n…3"=13 Γ22 对neN·恒成立.当n为奇 13” 3”1 数时，(-1)”·m=m>22→m<22→m< 信)号1，夷时（小a 13”13） 132 = 22m>（2222 =-4,综上，实数m的取 值范围为(-4,1). 第一章章末检测 1.A解析：该数列的通项公式为a,=(-1)"2是，所以am= (-1)10+110025 29=27 2A标油且分则品皮 121=2, 高古la分房以wa 11 黑白题23