第1章 8 三角函数的简单应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§8三角函 白题 基础过关 题组1三角函数模型在物理中的应用 1.*苏教教材变式（2025·河北衡水高一月 考)一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点 的位置如图，经过)周期后，乙点位置与哪个 点相同 ( A.甲 B.戊 C.丙 D.丁 2.*(2024·江西师大附中高一期中)将塑料 瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上， 就做成了一个简易单摆在漏斗下方纸板的中 间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上 细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀 速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲 线，它就是简谐运动的图象.它表示了漏斗对 平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标) 变化的情况.如图①所示，已知一根长为1cm 的线一端固定（固定处长度不计），另一端悬 一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移 s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式 是s=2as2停1，其中g=980m/g,m=3, 函数图象如图②所示，则估计线的长度应当是 (精确到0.1cm) ( 0.10.3 0.50.7/ 0.20.4 0.6 0.8t/s ① ② A.15.4cm B.16.4cm C.17.4cm D.18.4cm 必修第二册·BS 数的简单应用 错题本 限时：40min 3.*(2025·山东聊城高一期中)电流I(A) 随时间t(s)变化的关系式是I=5sin(100mt+ 写)，则当1=300时，电流1为 题组2三角函数模型在生活中的应用 4.*(2024·江西萍乡高一期末)如图所示是 一个主体高为1.5m的螺旋形旋转滑梯.某游 客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动 轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应 的方程为y=Asin(ox+p)(A>0,w>0)(x,y的 单位：m),若该游客在整个运动过程中相位的 变化量为片，则。的值为 () A. 5 B.11 13 C.2T D.6 5.*(2025·江西南昌高一月考)由于潮汐， 某港口一天24h的海水水位H(单位：m)随 时间t(单位：h,0≤t<24)的变化近似满足关 系式m=A+Bn(侣)〔0).若-天 中最高水位为14m,最低水位为6m,则该港 口一天内水位不小于8m的时长为（) A.12h B.14h C.16h D.18h 6.*（多选)(2025·辽宁大连高一月考)如图 ①是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨 道.建立平面直角坐标系如图②，h(单位：m) 表示在时间t(单位：s)时，过山车（看作质点） 黑白题022 离地面的高度.轨道最高点P距离地面50m. 最低点Q距离地面10m.入口处M距离地 面20m.当t=4s时，过山车到达最高点P,t= 10s时，过山车到达最低点Q.设h(t)= Asin(a+p)+B(A>0,@>0,1p1<),下列结 论正确的是 h/m 10 地平面/s ® A.函数h(t)的最小正周期为12 Be君 C.t=26s时，过山车距离地面是40m D.一个周期内过山车距离地面高于20m的 时间是4s 7.*(2025·陕西榆林高一期末)已知某地区 某天的温度（单位：℃）随时间t(单位：h)的变 化近似满足函数关系f()=28+Asn(日+ 3(40),=[0,24),且这天的最大温装为 8℃，则A= ;若温度不低于30℃需 要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 题组3三角函数模型的建立及应用 8.*(2025·山东枣庄高一月考)A是轮子 (半径为0.5m)外边沿上的一点，若轮子从图 中位置(A恰为轮子和地面的切，点)向左匀速 无滑动滚动，当滚动的水平距离为xm(x≥0) 时，点A距离地面的高度为h(x),若h(x)= h(x2)=0.5,x2>x1≥0，则x2-x1的最小 值为 第一章黑 *北师教材变式(2025·江西景德镇一中高 一期中)蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜 都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密 度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收 集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊 虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心， 某些月份数据丢失，保留的月份t(1≤t≤12) 及每月对应的蚁虫密度值y的数据如下表： 5 8 11 42 82 42 2 (1)从y=a+b(a>0,且a≠1)，y=Asin(ot+ o)+b(A>0,@>0,-T<o<T),y=log t(a> 0,且a≠1)中选择一个合适的函数模型， 并给出理由. (2)在(1)的基础上，求出蚊虫密度y关于月 份t的拟合模型的解析式 (3)今年养殖场新引进的某种动物容易感染 疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62 时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的 蚊虫密度符合(2)中的函数模型，估计养 殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ 白题023 黑题 应用提优 1.(多选)(2024·湖北恩施高三期中)车流 量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆 数（单位：辆/min).上班高峰期某十字路口的 车流量由函数F(t)=50+4sin 2(0≤1≤20) 给出，t的单位是min,则下列时间段中车流量 是递增的是 ( A.[0,3] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20 2.时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植 物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关 研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃 起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时， 时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开 闭一次.已知某景区一天内5~17h的气温T (单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式 T=20-10sin (?),则该录区这天时钟花 从开始开放到开始闭合约经历(sin 3π ≈0.8 10 A.1.4h B.2.4h C.3.2h D.5.6h 3.**某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房 价作了统计与预测：发现每个季度的平均单 价y(单位：元/平方米)与第x季度之间近似 满足关系式：y=500sin(wx+p)+9500(w>0) 已知第一、二季度的平均单价如下表所示： 二 y 10000 9500 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( A.10000 B.9500 C.9000 D.8500 必修第二册·BS黑 限时：45min （多选)(2025·江苏无锡高一月考)如 图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时 相对于平衡位置的高度h厘米由关系式 h(t)=Asin(ot+p)确定，其中A>0,ω>0，Ipl< π.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回 到最低点，则下列说法中错误的是( ) A.A()=Asin() LLL☑ B1=9秒与1-了秒时小球相对 w h>0 h=0 于平衡位置的高度之比 h<0 为2：1 C.当0<t<t。时，若小球有且只有三次到达最 高点，则t∈[5,7] D.当0<t1<t2<2时，若t1,t2时刻小球相对于 平衡位置的高度相同，则sinπ=1 t1+t2 声音是由物体的振动产生的能引起听觉 的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数 学模型是函数h(t)=Asin(wt).技术人员获 取了某种声波，其数学模型记为y=H(t),部 分图象如图所示，图象经过点(1,0)，(3,0)， (5,0).对该声波进行逆向分析，发现它是由两 种不同的纯音合成的，满足函数H(t)= 9 sin(2m)+10sin(wmt)(0<w<8),其中 心 白题0242026个根，则至少存在2026个keZ使得x=k知∈[a,b]. 因为函数)=恤(or+号)(o>0)的最小正周期为放6-a 至少包含2025个周朔，即6-a≥2025×日 又在所有满足上述条件的[a,b]中，b-a的最小值不小于2025，则 2025xT≥2025，得0<w≤T,所以w的取值范围为(0，m]. 压轴挑战 A解桥：当1≤≤102时，2总5e(0,受），由正切函数性质可知， 此时x单调递增，则集合A至少有1012个元素，即为am2025 2π 2T 1012π am2025an2025,…,am2025tam2025tan2025…+1am2025 当1013≤k≤2023时，由于正切函数图象关于(kT,0)(k∈Z)对称 则an2025 a,05=-m2025 n1012m=-an2025,am2025 1014T 四205m,则当k增加时，元素x与前面的重复 当k=2024时，元素x等于0： 当k≥2025时，运用正切函数的周期性可知，元素x开始重复出现 则集合A的元素有1013个.故选A §8三角函数的简单应用 白题基础过关 1.D解析：因为最小值和最大值之间的横坐标相差2周期，而乙在最 低点，所以经过号周期后，乙点与丁点位置相同， 20解折：由=22气4，得120 π由函数的图象可 2 知函数的周期为0,4，所以π=0.4，即1=0.16g=016x980 g 32 N 17.4(cm).故选C. 36 2 解新：当如时1=5m(o0动）-5行5 1 4.D解析：由旋转滑梯高为1.5m知，投影到轴截面上后，游客对应在 横轴上移动的距离是1.5m,当x=0时，初相为p,且游客一直滑到底 部，则最后的相位为1.5ω+p,故在整个运动过程中，相位的变化量为 13 .13 1.50tpp=4m,所以u=6m.故选D. 5.C解折：由题知84解得合0所以0=10+46（臣 A-B=6, B=4, 令)≥8，即m(5-）≥-宁因为0≤1<24，所以-≤ 骨行由正孩溪数图象与性质可得8≤品<解得 1233 6≤t≤22，所以该港口一天内水位不小于8m的时长为22-6= 16(h). 64C解析：由题意可知，周期T满足了=10-4=6，得T=12,故 A正确； 所2后=2，得。=后又800餐得4=0,8=0，所以 Ao0=20m(石p）+30 参考答案 又4(0)=20，即20np+30=20,得血g=-7,因为1p1<分，所以 9=-石，故B错误： 所以h(t)=20sin 石+石)+30，则A26)=20s(石×26石）片 30=40,故C正确； 由h(t)>20,得20sin 石g）+30>20,即m(日-）7 则石2<<2，e.解得12k<8+12k,eZ,所 以一个周期内过山车距离地面高于20m的时间是(8+12k)-12k 8(s),故D错误 746解析：对)=28+（受+要）4>0)，其最小正周期T 2细=16<24，故这天的最大温差即为f()的最大值与最小值的差。 8 又A>0,故(A+28)-(-A+28)=2A=8,解得A=4; 令f(t)≥30，即4sin 子小80血(*子小 T43 又e024冷a日子[） 则3 3 6 6 π，解得te 6 [0]~[兰罗]则一天中发要降显的时长为号+（图 兰)=6. 息号解析：由题意可知，轮子的半径为r=05,则轮子滚动一周的水 平距离为2r=π(m), 如图所示，设轮子滚动了xm后到达点A',即A=x,所以LAOA'= 元=2x,过点A'作A'C垂直于地面，过点0作0B1A'C, 则C=AB+BC=子(2x）+号22,所以（） 1 1 2 11 22c0s2x, 由h(e-2之s2a=05,可得ms24=0,所以2x=号+，6eZ。 11 解得子宁6e2 令=受号6e乙=牙+智6e么所以与 (k2-k1) 2 ,k1,k2e乙，且k1<k2,所以当k2k1=1时，可得x2名1取最 小值为2 T 9.解：(1)当x=2与x=8时，y=42,而y=a+b(a>0,且a≠1)与y=logt (a>0,且a≠1)均为单调函数，所以y=Asin(wt+p)+b(A>0,o> 0,-T<p<T)适合. (2)由5月份较虫最多，1月份最少，得号=1-5=6，所以T=12= 二得@=行，由4+6=2，A+6=2,得A=40,6=2,所以y= 40n(石e）2,将(5,2)代入得血(g+e）-1,后+ 黑白题013 p=2hm+受，eZ,即p=2m号keZ又-T<e<m,所以e=号， 故y=40n(名号）+420≤≤12，ez. (3)令40n(g-号）+42≥62(0≤≤12，ez),得血（名t 号）≥}，即2m+石≤石-骨≤2m+4eZ,得12+3≤≤ TTT 5π 12k+7,k∈Z. 又0≤t≤12，t∈Z,故t=3,4,5,6,7,即养殖场应准备在3,4,5,6,7月 采取灭蚊措施 四重难点拨 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问 题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三 角函数的有关知识解决问题 黑题应用提优 1kAc解折：对于A,当1e0,3]时，e[,],由复合函数单调 性可知此时车流量函数F(e)=50+4sin2单调递增，符合题意； 对于B当e[5,01时，7[3小，而当行e[婴]时， 由复合函数单调性可知此时车流量函数F()=50+4si血乞单调递 减，不符合题意； 对于C,当e[10,15时，分=[，]由复合函数单调性可知此 时车流量函数P(0=50+4in一单调递增，符合E意 对TD,当：e[15,20时，号e[,o]雨当号e[贸，1o]时， 由复合函数单调性可知此时车流量函数F()=50+4sn乞单调递 减，不符合题意.故选AC 2B解折：设时开始开放，名时开始闭合，则20-10m(尽 8）=20又4=[5,171，解得4=9,20-10（日8）=28，所 5 所以日日-所以与号所号24放选思 12 3c舞指：由题意，起，0n和50分别代人y 500sin(x+p)+9500(o>0),得sin(ω+p)=1,sin(2w+p)=0. 因为o>0,设u+p=2k1m+7(1∈N,2w+p=2k,m+m(k∈N, k2≥k1)或2ω+p=2k3T(k3∈N,k3>k1). 则@=2(-)+受或w=2(-k)-受(4，，与eN, 6≥6与>)，所以3a+p=2(2,-)+7或30+p=2(26 k1)m-7(k1,k,keN,与≥1,6>站1)，所以in(3w+p)=-1,所以 y=500sin(3w+p)+9500=9000,故此楼盘在第三季度的平均单价大 约是9000元/平方米. 4.ACD解析：由题可知小球运动的周期T=2秒.又o>0,所以2T=2, 解得ω=T,当t=0秒时，Asin=-A,即sinp=-1,|p|<T,所以p=- 牙，则a(e)=4n(t受）=-Ams,故A错误， 因为4(9)=-4om9m=Ah(3）-4s多=子，所以4=9秒 .5 必修第二册·BS A 与1：？秒时小球相对于平衡位置的高度之比为 =2:1,故 B正确； 若0<t<0,则0<Tt<πo.又当0<t<o时，小球有且只有三次到达最高 点，所以5π<to≤7m,解得5<t0≤7，即t0∈(5,7]，故C错误； 3 因为h()=-Acos,令=子2=子，则h(1)=-Acos开- -空1,6)=-4-受A,满足04，，<2且h,时刻小球相 42 对于平衡位置的高度相同，此时十 =sinT=0,故D错误 9 5.3解折：由函数(e)=i血(2mt)+0in(amt)(0<w<8),因为 (停）可得（号）小品m(×号）所 5 3k 子=km,ke乙，即w=5,keZ 又由函数H(t)的图象过点(1,0)，可得H(1)=sin(2π)+ 10in(wm)=0,即sin(um)=0,可得om=km,k1∈Z,即u=k,k1∈ 9 Z,即ω∈Z 因为0<w<8,所以ω为3的倍数，所以w=3或ω=6， 9 当w=6时，可得Ht)=si血(2m)+10sin(6md),则H(+1)=sin[2(+ .9 1)m]+sin[6(t+1)m]=sin(2mt)+10in(6mt)=H(t),此时1是函 数H(t)的一个周期，不符合图象； 当0=3时，可得H)=血(2m)+品血(3，则1+2) 9 sim[2(+2)m]+10sin[6(+2)m]=sin(2m)+10sin(6m)=H(),此 时2是函数H(t)的一个周期，符合函数y=H(t)的图象，所以ω=3. 第一章章末检测 1.C解析：因为-2025°=-45°-11×180°，所以集合A={a|a= -2025°+k·180°，k∈Z}中的最大负角a为-45°. 2.D解析：设扇形的半径为1，则由弧长公式可得π=π×1，解得 A r=2,所以扇形的面积S= 24 3.D解折：因为=(g-a）-m[空-(g-a）]-血( 2 3 ）又因为血()号所以m(g）号 4.A解析：因为f代-x)=(e-e*)cos(-x)=-(e*-ex)cosx=-f代x),且 定义域为R,所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，C错误：观 察A,B,D项图象的差异，主要在于函数值的正负， 当x>0时，y=e-e*单调递增，且ylx=0=0,所以当x>0时，e*-e*>0, 而当0<x≤2 时，1>cs≥0，当2<x≤m时，-1≤c0x<0,所以当 0<:≤2时)≥0，当分<x≤m时x)<0,可得B,D错误 5.D解析：因为角。的终边与单位圆交于点A(?子），所 以na=了，osa=了，设点P,s为角B的终边与单位圆的交点， 4 则B=a+2024×年，所以s血B=sm(a+2024×牙）=血(a+ 506:)加血a=子所以点P心的纵坐标为 4 黑白题014