第1章 专题探究1 数列通项公式的求解-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

专题探究1数列通项公式的求解 黑题 专题强化 限时：45min 题组1累加法 A.45-15 B.215-29 1.*(2025·江西南昌高二月考) C.215-15 D.45-29 已知数列{an}满足a1=0,a2=1.若 7.禁(2025·江苏南京高二月考)已知数列 数列{an+a+1}是公比为2的等比数列，则 {an}满足a1=3,a+1=an+2√an+1+1,则a10= a2025= ( ( 22023+1 22024+1 A. B. A.80 B.100 C.120 D.143 3 3 C.2-1 2204-1 8.*(2025·河南南阳高二期中)已知数列{an} D. 3 3 中，01=2，且an+1= 2则a, 2an 2.*(2025·辽宁沈阳高二月考)在数列{an} 中，a1=l,对任意m,n∈N,amn=am+an+ 9.*已知数列{an}满足an+1=2an十 视频讲解 2mn,则an= 4·3-1,a1=-1,则数列{an}的 · 题组2累乘法 通项公式为 3.★(2025·黑龙江哈尔滨高二月 10.*已知数列{an}满足：a1=1,a2=4,4an+1 考)在数列{an}中，若a2=2,an= 3an-at2=0,则an= (n+2)(a1-aa),则a226= 题组4利用an与Sn关系求解 B.1014C.2025 D.2026 11.*(2025·江西萍乡高二期中)已知数列 A.1013 {an}的前n项和为Sn,且3Sn=2an+1,则a2= 4.已知数列1a.满足a1=1,a=32'an1 1an+2 () A.1 B.2 C.-1 D.-2 4an1,则a, ) An 12.*(2025·安徽合肥高二期中）已知正项 A.212 B.2-10 C.29 D.2-8 数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=3, 题组3构造辅助数列求解 a元t1-an1=2Sn,则a10= () 5.★(2025·河北石家庄高二月考)已知数列 A.10 B.11 C.12 D.13 a,满足e=子a+4,且a,=1,则1a,的 13.*已知数列{an}的首项为1，记其前n项 通项公式为 和为Sn,Sn an(n+1) 2 .求an Aa=12-() C.a,=12-Ix(）”D.a=8+(经) 6.*(2025·福建龙岩高二月考)》 在数列{an}中，已知a1=3,且 an+1=4an+6n-5(n∈N*),则a15= 第-章黑白题33 专题探究2数列求和 黑题 专题强化 限时：50min 题组1公式法 题组3裂项相消法 1.*(2025·江苏苏州高二期中)已知递增等 5.*(2025·山东淄博高二月考)已知数列 差数列{an}中，a6=18且a2是a1,a4的等比 {an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3(an-1). 中项，则它的第4项到第11项的和为( (1)求数列{a,}的通项公式； A.180 B.198 C.189 D.168 2.*(2025·河北廊坊高二期中)设等比数列 (2)已知c, 1-2n n(n+1) ·an,求数列{cn}的前 {an}的公比为q,前n项和为Sn.令bn=Sn-1, n项和Tn 数列{bn}的前n项和为Tn (1)若2a1a2+a3=0,2S2=T2,9>0,求{an}的 通项公式； 2若为等比，-求4 6.*★(2025·湖北武汉高二期中)已知递增数 列{an}满足a1=1,点(an,an+1)在函数f(x)= 4x+9的图象上 （1)证明：数列{log2(an+3)}是等差数列； an+3 ,求数列{bn}的前 题组2：倒序相加法 (2)若b.=(a+4)(a1+4 3.“已知函数x)=则f(兮)f(日)+…+ n项和Tn f2)1)2)+f8)9) 4.**(2025·广东珠海高二月考) 已知正数数列{an}是公比不等于1 讲解 的等比数列，且a1a22s=1,试用推导等差数列 前n项和的方法探求：若f(x)= 1+x2,则 f(a1)+f(a2)+…+f(a22s)= 选择性必修第二册·BS黑白题34猜想a.二+62++6 ④ (1+b)*1 下面用数学归纳法证明④式成立： b ()）当n=1时，a,1+当n=1时，④式成立： (i)假设n=k时，④式成立，即a= b+b2++b0 (1+b)*1, 当n=k+1时，由③式，得a1=1+ba:+1+6)m1+b b b b+b2+…+bbb+b2+…+b+1 （1+b)(1+6)(1+6)T当n=+1时，④式 也成立， 由(i)(ii)可知，对于n∈N,④式都成立， b+b2+.…+b 06=1. 即通项公式为a, (1+b)*1 b-b+1 (1-6)(1+6)(6≠1). 专题探究1数列通项公式的求解 黑题专题强化 1.D解析：由已知a,+a2=1,数列{an+a+1}是公比为2的等 比数列，所以an+a+1=2-,n≥2时，0-1+an=2-2,两式相减 得a1-an-1=2-2,所以a2s=a1+(a3-a1)+(a5-a3）+…+ (a2s02)=0+2+2+…+22m=1-4102220-1 1-4 3 2.n2解析：令m=1,则a+1=a1+a,+2n,即an1-an=2n+l,故 a,-0-1=2(n-l)+1,am-1-am-2=2(n-2)+1,…,a2-a1=3,累 加得an-a1=3+5+7+…+[2(n-1)+1],故an=1+3+5+…+ [2(n-1）+1]=-n1+2n-D=2 2 3.B解析：在an=(n+2)(a*1-an)中，取n=1,可得a1= 3 3(a,-a),代人a=2,解得a,=2,又由a,=(n+2)(a1 a.)可得1=n+3 3 得于是a··.2·a17× an-1 an-2 *故22 =1014. 2 4D保=12二会数刘发}类音 ,32*44 为。过公比为4的等比数列，： 为、1 2 =2,4-1,1 a,2a8心4=2故选D. 21 5.C解析：设a1tx=了(a,+r),即a1=3a了，所以 1 ,x=4,解得x=-12,所以a-12=二(a.二12)，所以 a,12是首项为a,12=-1,公比为号的等比数列，所以 4-12=-1x(号)广所以a,=12-1x(号)户 6.D解析：因为a1=4an+6n-5(n∈N),所以a1+2n+1= a+1+2(n+1)-1=4(an+2n-1),所以数列{an+2n-1是以 a,+2×1-1=4为首项，公比g=4的等比数列，所以an+2n 1=4·4-1=4,所以an=4"-(2n-1),所以a5=45-29. 7.C解析：因为an1=an+2√an+I+1,所以a1+1= （√an+I)+2√an+1+1,即an+1+1=(√an+1+1)2,等式两 参考答案 边开方可得√an,+I=√an+I+1,即√a+1+I-√an+I=1, 所以数列{√an+I}是首项为a,+1=2,公差为1的等差数 列，所以√/an+I=2+(n-1)×1=n+1,所以a。=n2+2n,所以 a1o=102+20=120. 2 2a 8. 解折：由4+2可得。 _an+2 a,2一，即1-1-1 ，a+1a。2} 又4，=2所以数到日}是以为时项为公差的等去 数列所宁a-.时号所以a号 2 an 2 9.a.=4x31-5x21解析：设a1+入·3”=2(a.+入·3)， 整理得a*1=2an-入·3-1，可得入=-4，即a+1-4×3=2(a, 4×3-1),且a1-4×31=-5≠0，则数列{an-4·3-1}是首项 为-5，公比为2的等比数列，所以an-4×3-1=-5×2-1,即 0n=4×34-1-5×2-1 .3”1解析：依题意a,=1,a=4,41-3a。-02=0,a+2 10. 2 a1=3(a1-a),所以数列{a1-a,}是首项a2-a1=3,公 比为3的等比数列，所以a+1-an=3,所以an=a,+(a2 a)+(a-0)++(a,-01)=1+3+32++3-1=1-3 1-3= 24=1也满足，所以，=3” 3"-1 2故答案为3”-1 21 11.D解析：当n=1时，3S,=2a1+1,又S,=a1,则a1=1.当 n=2时，3S2=2a2+1,又S2=a1+a2,所以3(a2+a1)=2a2+1, 解得a2=-2. 12.B解析：因为正项数列{an}的前n项和为S.,且满足a,= 3,a1-an1=2Sn,当n=1时，则有a-a2=2S1=6,即a a2-6=0,解得a2=-2(舍)或a2=3;当n≥2且neN*时， 由a-a+1=2S。可得a-a,=2S-1,上述两个等式作差得 a2+1-a-an+1+a,=2an,整理得(a1+an)(a+1-an-1)=0, 由题意可知a+1+an>0,所以a+1-an=1,且a2-a1=0不满 足a+1-a,=1,所以，数列an}从第二项开始为以1为公差 的等差数列，故a0=a2+8=3+8=11. 13.解：由已知得2Sn=(n+1)a①，所以2S+1=(n+2)a1②， ②-①得2a1=(n+2)a1-(n+1)0.,所以8=0，故数列 n+l n {0}为常数列，则2-2=1，所以a,=n n 1 专题探究2数列求和 黑题 专题强化 1.A解析：设递增等差数列{an}的公差为d,则d>0,a。= 18=a,+5d, 18且a2是a1,a4的等比中项，. 解 (a,+d)2=a1(a,+3d), 得a,=d=3,.第4项到第11项的和为S1-S,=11a,+ "0）-(3,32)s=-8,+52=6=1s0,即 数列{a,}的第4项到第11项的和为180. 2.解：(1)因为2=a9,a3=a192,所以2aq+a92=a19(2a1+ q)=0,所以2a1+g=0,所以g=-2a1,又2S2=T2,所以2(a1+ a2)=b1+b2=S,-1+(S2-1)=2a,+a2-2,所以a2=a19=-2.又 因为g=-2a1,所以-2a=-2.因为q>0,解得q=2,a1=-1.所 以a,=ag-1=-2-1. (2)因为bn为等比数列，bn=S。-1,所以b=b,·b,即 黑白题21