第1章 3.1 弧度概念&3.2 弧度与角度的换算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

正文参 第一章 §1 周期变化 白题基础过关 1.D解析：对于A,每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是 周期现象：对于B,分针每小时转一圈.是周期现象：对于C,天体的运 行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象；对于D,某 同学每天做数学作业的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复 次，因此不是周期现象，故选D. 四方法总结 要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现 象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象。 2.C解析：因为C选项中x∈[-2,2]之间的图象在前后都没有重复出 现，所以C选项的函数图象不具有周期性，故选C 3.A解析：每七天循环一次，2025=7×289+2，故2025天后的那一天 是星期五 4.B解析：由题知天干以10为周期，地支以12为周期，2025年是乙 已年，而2049-2025=24=2×10+4=2×12，地支恰好经过两个周期， 天干经过两个周期多4年，所以2049年的天干为己，地支为巳 5.B解析：若y=f(x)是周期函数，设周期为T,则f代(x+T)=f代x),则 ff(x+T))=f(f代x))也是周期函数，故①正确；若y=f(f代x))是周期 函数，设周期为T,则ff(x+T)=f(x),f(x+T)=f八x)不一定成 立，故②错误.故选B. 6.AD解析：对于A,由f(x)=f八x-2)可知f(x)的周期为2，故A正确： 对于B,由f(x+2)=f(x-2)得f(x+4)=f代x),故f(x)的周期为4，故 B错误； 对于C,由f(-x)=f代x+2)得f代x)关于x=1对称，故C错误： 对于D/(x-1)=f(x+1)→f八x)=(x+2),故f(x)的周期为2，故 D正确. 7.B解析：由周期函数定义f八x+T)=f八x),得f(2(x+2))=f(2x),即 f2x+4)=f(2x).令2x=z,则f八+4)=f八z),所以y=f八x)的周期T=4. 又y=f(x+2)是由y=(x)向左平移2个单位长度得到的，不改变其 周期，所以函数y=(x+2)的周期也是4. 8② 解析：由题意，函数)的周期为1(3)(？+1) 行)受 9.0解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.令x-3=1, 则x+2=t+5.因为f代x+2)=f(x-3),所以f代t+5)=f代t),所以f(x)是周 期为5的周期函数，故f(2025)=f(405×5)=f(0)=0. §2任意角 2.1角的概念推广中2.2象限角及其表示 白题基础过关 1.ACD解析：A中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角】 故A错误： B中，始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确； C中，钝角大于-100°，而-100°的角是第三象限角，故C错误； D中，零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 D错误 2.B解析：对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其他角，比如-300°的 角，所以A选项错误： 对于B选项，锐角小于90°，故B选项正确： 对于C选项，锐角是第一象限角，故BCA,C选项错误： 对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误 3.120°-90°解析：将时钟拨慢20分钟，则分针逆时针转动 60+ 360°=120°，故分针转过的角是120°：时针从6时走到9时，是顺时 参考答案 考答案 三角函数 3 针转的，所以时针转过的角是-2×360°=-90 4.C解析：-1600°=-360°×5+200°，其中200°的终边在第三象限，故 -1600°的终边在第三象限. 四方法总结 判断角0的终边在第几象限，可以将其写成0=k·360°+α(0°≤α≤ 360),k∈Z的形式，则角α与角0的终边所在象限相同. 5.C解析：因为-465°=-2×360°+255°，故与-465°角终边相同的角的 集合可表示为{αla=255°+k·360°，k∈Z引，C项正确，而A,B,D项 中的角都与-465°角的终边不同. 6.B解析：集合{1k·180°≤≤k·180°+45°，k∈Z中 当k为偶数时，此集合与α0°≤α≤45}表示终边相同的角，位于第 一象限： 当k为奇数时，此集合与α1180°≤a≤225}表示终边相同的角，位 于第三象限， 所以集合{α1k·180°≤≤k·180°+45°，k∈Z中角表示的范围为 选项B中阴影部分. 7.D解析：因为大小为30°的角的终边与大小为150°的角的终边关于 y轴对称，所以a=k·360°+150°(k∈Z). 8.ala=k·180°-45°，k∈Z}解析：直线y=-x是第二、第四象限角 平分线，所以终边在直线y=-x上，则角α的取值集合是{αIα=k· 180°-45°，k∈Z. 四重难点拨 在写终边相同的角的公式时，需要关注k·360°+a,k·180°+α(k∈ Z)的不同含义，k·360°+a表示角α的终边旋转一整图，k· 180°+a表示角a的终边旋转半圈. 9.C解析：因为号与120°角终边相同，所以号=120°+·360(ke Z),则0=240°+k·720°(k∈Z),所以0是第三象限角. 10.ABC解析：因为角a的终边在第一象限，所以k·360°<a<k· 360+90,6∈Z,即k.120<g<k·120430,keZ 当k=0时，0°<g<30°，则终边在第一象限：当k=1时，120°<8< 3 3 150,则终边在第二象限：当6=2时，240°<号<270.则终边在第 三象限，当k=3时，360°<<390°，则终边在第一象限 §3弧度制 3.1弧度概念+3.2弧度与角度的换算 白题 基础过关 1.ABC解析：根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的 两种不同的度量单位，所以A正确：由圆周角的定义知，1度的角是 周角的动1弧度的角是周角的。，所以B正确：根据弧度的定义 知，180°一定等于π弧度，所以C正确：无论是用角度制还是用弧度 制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值 有关，故D不正确.故选ABC. 2.B解析：由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针 旋转π弧度 6 3.CD解标：对于A.因为=x180=1530,故A错误： 6T 7 7 对于B,122×180°=-105，故B正确： 对于C,10=10x3故c正确： 黑白题001 对于D,85=-853×局19故D正确 3.B解析：因为相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所 4.(l(2)-75解折：（因为1P=两叫，所以120 以当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，小轮此时转动 20 1 24m 12H(2因为11W所以-侣：行 (周)，即小轮转动的角度为号×2m- 5 5 4.B解析：不妨设正方形EFGH的边长为a,则AB=a+2a+5a=16,解 180°=-759 T 得a=2,所以图中要波那契螺旋线的长度为7x(a+n+2a+3a+5a) 5.8<ac0解析：因为B=石×180=30,0=2x180 6ma=12m. ≈2×57.3°= 6π T 114.6°，所以B<a<0. 5行解折：220=m5,2030化为流度为- 180T=8 6.D解析：2025°用弧度制可表示为12m3π，所以与2025°角的终边 4 6.①③解析：因为-+2·2π=4T,所以D正确，令k=0,可得 4 ②正确：令k=-1.可得③正确.故答案为①②③. 相同的角构成的集合为{aa=-年+2km,keZ 7.73 7.C解析：因为-m<-2<- 所以角心是第三象限角 解析：莱洛三角形的周长为子，可得弧长=风=元=名 8.7行解折：由角a(0ca<2m)的终边与角？，的终边重合，可得a 17 则等边三角形的边长AB=BC=AC= 6=2分别以点A,B,C为圆 17 17 7 -+2km(keZ.又0<a<2,当k=3时，a=-m+2x3m=子， 3 心，圆孤4，BC,4C所对的扇形面积均为×石×云 1 符合. 9.B解析：因为扇形的半径为2，圆心角为牙，故该扇形的面积为S 如图，过点C作CD⊥AB于点D,则在等边△ABC 4,所以△ABC的面积S=】xL1x3 中，D= 2x2x4 3 10.BC解析：设扇形的半径为R,因为扇形的弧长l=2π，面积S=14T, 16 所以莱洛三角形的面积是3×24 2× 得S=14m=2×2mR,得R=14,B正确：则扇形的圆心角= R 3-3 168 行牙，c正瑰 8.解：(1)由k=4n,4n+1,4n+2,4n+3(n∈Z),可知在给定的角的集合 四重难点拨 中终边不相同的角共有四种. 1.应用弧度制解决问题的方法： (2令-60≤k:90+45°≤360，得-号≤k≤子又6eZ,放= (1)利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，要注意角的单位必须 -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,所以在给定的角的集合中，在-360°~360 是弧度： 范围内的角共有8个。 (2)求扇形面积的最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题， (3)给定的角的集合中，第三象限角为B1B=k·360°+225°，k∈Z}. 利用配方法使问题得到解决 2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、瓢长三个量中的任 9.解：(1)S= R2 =4 cm2...x=L=2R+aR=2R+8 R2 意两个量. 8 R=2R+ §1-§3阶段综合 R 8 黑题 阶段强化 由基本不等式可得2R+是2,2R,。=8,当且仅当2R=尽即 1.ABD解析：对于A,终边经过点(a,a)(a≠0)的角的终边在第 一和 8 R=2时等号成立.此时a=2-2 第三象限的角平分线上，放角的集合是{aa=年+e, ,当a=2rad时，L最小，最小值为8cm 故A正确； 对于B,圆的一条弦长等于半径，即弦、半径围成的三角形是等边三 (2):L=2R+af=10cme-10-23 R 角形，则圆心角为号故B正确： 对于C,因为：是第三象限角，即26m+m<a<2km+3 三即a=2时.空 25 2 ,keZ,所 以<氵+行eZ当长为奇数时，受是第四象限角：当 六当a=2ad时，S最大，最大值为 4 cm2 为偶数时，号是第二象限角；4hm+2m<2x<4m+3m,keZ,所以2a的 10.解：由已知，在扇形ABA,中，圆心角恰为2，弧长1=分·AB= 终边位置在第一或第二象限或y轴非负半轴上，故C错误： 对于D,M={x|x=30°+k·60°，k∈Z={x|x=(2k+1)·30°，k∈ ·5可=面积子·子6分子4=元 1π 2 Z},N={yly=60°+k·30°，k∈Z}={yly=(2+k)·30°，k∈Z},易 知MCN,故D正确. 在扇形A,4:中，圆心角也为号派长=于·4，C=受1：受 2.C解析：在-180°~180°间阴影部分区域的两条边界终边表示的角 分别为-45°，120°，所以阴影部分的区域在-180°~180间的范围是 4 -45°≤≤120°，所以终边在阴影部分（含边界）的角的集合为{x -45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z. 在形6D叫，中，圆心角为年号石：号延长么=号·D 必修第二册·BS黑白题002§3弧度制 3.1弧度概念④3.2弧度与角度的换算 白题 基础过关 限时：25min 题组1弧度制概念的理解 A. T =- +2kT,kEZ 1.·(多选)(2024·广东深圳高一期末)下列 a a 说法中正确的是 ( ) B.a= 3 4+2km,kEZ A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B.1度的角是周角的，，1弧度的角是周角 C.aa=-T+2km,keZ 360 的1 D.aa--2km,kcZ 3π C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 7.*(2025·安徽蚌埠高一月考)若角α=-2， D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，角 则它是 () 的大小均与圆的半径长短有关 A.第一象限角 B.第二象限角 2.*(2025·广东佛山高一期中)小明出国旅游， C.第三象限角 D.第四象限角 当地时间比北京时间晚一个小时，他需要将表 8.*(2025·河北沧州高一月考)已知角α 的时针旋转，则转过的角的弧度数是( (0<a<2r)的终边与角-名的察边重合， A写 B君 c. D. 6 则= 题组2弧度与角度的换算 题组4弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 3.·(多选)(2025·陕西西安高一月考)将下 9.·(2025·江西上饶高一月考)已知扇形的 列角度与弧度进行互化正确的是 ( A11 半径为2，圆心角为写，则该扇形的面积为 m=15300 B.、7 12 =-105° ( ) c108 D.-855°=-19 4 A 4.*(1)将11230'化为弧度是 10.*(多选)(2025·江西南昌高一月考)若 （②将 rad化为角度是 一个扇形的弧长为2π，面积为14π，则 5”已知角a=35°，角8=石角0=2ad,则 A该扇形的圆心角为器 角α，角B,角0间的大小关系为 B.该扇形的半径为14 题组3弧度制下终边相同的角的公式的应用 6.*(2025·湖南邵阳高一期末)用弧度制表示 C该扇形的圆心角为 与2025角的终边相同的角的集合为( D.该扇形的半径为7 第-章黑白题003 §1-§3阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*(多选)下列结论中正确的是 ( ）4.*(2025·江西上饶高一月考)斐波那契螺 A.终边经过点(a,a)(a≠0)的角的集合 旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它 是@a=+t,eZ 的画法是：以斐波那契数1,1,2,3,5,8，…为 边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正 B.圆的一条弦长等于半径，则这条弦对的圆 方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧 所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图， 心角是” 矩形ABCD是由若干符合上述特点的正方形 拼接而成，其中AB=16,则图中的斐波那契螺 C若a是第三象限角，则？是第二象限角，2a 旋线的长度为 () 为第一或第二象限角 A.11π B.12m C.15π D.16m D.M={xlx=30°+k·60°，k∈Z},N={yly= 60+k·30°，k∈Z},则MCN 2.*(2025·江西赣州高一月考)如图，终边 在阴影部分（含边界）的角的集合是( (第4题) (第7题) 5.**(2025·陕西渭南高一月考)角度20230'化 成弧度为 6,设与-1终边相同的角的突合为M,则 下列命题中正确的有 .(填序号)》 A.{axl-45°≤a≤120°} ①M=aa=2km+,k∈2 B.{a|120°≤a≤315} ②M中最小正角是5π C.{axl-45+k·360°≤a≤120+h·360°，k∈Z D.{ax|120°+h·360°≤a≤315+k·360°，k∈Z} ③M中最大负角是-3平 3.**(2025·湖北武汉高一期末)已知相互啮 7.*★(2025·山东济宁高一月考)数学中处处 合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当 存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感， 大轮转动一周时，小轮转动的角度（孤度）是 莱洛三角形的画法如下：先画等边三角 ( 形ABC,再分别以点A,B,C为圆心，线段AB 12π 24m 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所 A. B. 5 D.48m 示).若莱洛三角形的周长为，则其面 36π C. 5 5 积是 必修第二册·BS黑白题004