第1章 3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第一章　三角函数 §3　弧度制 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　弧度概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 解析　根据1 rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．对照选项，知A，B，C正确，D错误． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [易错分析]　角度制与弧度制不能混用． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 8．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合(如图所示)． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 解析　在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选AC. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 二、填空题 6．弧度数为2的角的终边落在第________象限． 解析　根据弧度与角度的关系可知1 rad≈57.3°，所以2 rad≈114.6°，则弧度数为2的角的终边落在第二象限． 二 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 7．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形的圆心角为________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 三、解答题 9．已知α＝2000°. (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 10．已知某扇形的周长为12，半径为r. (1)若扇形的圆心角α＝30°，求该扇形的半径； (2)当扇形半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 　　　　　　　　　　　　　 R 2．一场数学科目的考试需要两个小时，则时针走了________弧度． 解析　钟表的指针所转的角都是负角．时针顺时针方向每小时走30°，两小时走60°，故用弧度制表示为60×eq \f(π,180)＝eq \f(π,3)，所以时针走了－eq \f(π,3)弧度． －eq \f(π,3) [规律方法]　时针每分钟转0.5°＝eq \f(π,360) rad，分针每分钟转6°＝eq \f(π,30) rad，秒针每分钟转360°＝2π rad，都是顺时针方向，都需要带负号． 知识点二　角度与弧度的换算 3．[多选]下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是eq \f(3π,8) B．－eq \f(10π,3)化成角度是－600° C．－140°化成弧度是－eq \f(7π,6) D．eq \f(π,12)化成角度是15° 解析　对于A，67°30′＝67.5×eq \f(π,180)＝eq \f(3π,8)，A正确；对于B，－eq \f(10π,3)＝－eq \f(10π,3)×eq \f(180°,π)＝－600°，B正确；对于C，－140°＝－140×eq \f(π,180)＝－eq \f(7π,9)，C错误；对于D，eq \f(π,12)＝eq \f(π,12)×eq \f(180°,π)＝15°，D正确． [规律方法]　①角度制与弧度制互化的关键：抓住互化公式π rad＝180°；②角度制与弧度制互化的方法：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \f(180°,π)＝度数；③角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 4．将下列各角度与弧度互化． (1)112°30′；(2)eq \f(9π,4) rad；(3)－3 rad. 解　(1)112°30′＝112.5°＝112.5×eq \f(π,180) rad＝ eq \f(5π,8) rad. (2)eq \f(9π,4) rad＝eq \f(9π,4)×eq \f(180°,π)＝405°. (3)－3 rad＝－3×eq \f(180°,π)＝－eq \f(540°,π). 知识点三　用弧度制表示角 5．[易错题]终边落在第二象限的角组成的集合为(　　) A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<α<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(90°＋2kπ<α<180°＋2kπ，k∈Z)))) C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ<α<π＋kπ，k∈Z)))) 解析　∵终边落在y轴非负半轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α=\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))),终边落在x轴非正半轴上的角的集合为{α|α＝π＋2kπ，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)))). 6．角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝－eq \f(π,6)，则β＝_____________． 解析　因为角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝－eq \f(π,6)，所以β＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z. 2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z 7．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角，以及写出与它们终边相同的角的集合． (1)－1500°；(2)eq \f(23π,6)；(3)－4. 解　(1)－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°，∴－1500°可化成－10π＋eq \f(5π,3)，是第四象限角，与它终边相同的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z)))). (2)eq \f(23π,6)＝2π＋eq \f(11π,6)，是第四象限角，与它终边相同的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝2kπ＋\f(11π,6)，k∈Z)))). (3)－4＝－2π＋(2π－4)，eq \f(π,2)<2π－4<π，是第二象限角，与它终边相同的角的集合是{β|β＝2kπ＋(2π－4)，k∈Z}． 解　(1)以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以终边落在阴影部分的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))). (2)因为30°＝eq \f(π,6)，90°＝eq \f(π,2)，所以终边落在阴影部分的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))). 知识点四　扇形的弧长与面积公式 9．已知扇形的弧长为20 cm，圆心角为eq \f(5π,9)，则该扇形的面积为________cm2. 解析　因为扇形的弧长l＝20 cm，圆心角α＝eq \f(5π,9)，所以该扇形的半径r＝eq \f(l,α)＝eq \f(20,\f(5π,9))＝eq \f(36,π)(cm)．所以该扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×20×eq \f(36,π)＝eq \f(360,π)(cm2)． eq \f(360,π) eq \f(16π,3) 10．已知扇形的圆心角为eq \f(2π,3)，且圆心角所对的弦长为4eq \r(3)，则圆心角所对的弧长为________，该扇形的面积为________． 解析　因为扇形的圆心角所对的弦长为4eq \r(3)，圆心角为eq \f(2π,3)，所以半径r＝eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))＝4，所以这个圆心角所对的弧长l＝eq \f(2π,3)×4＝eq \f(8π,3)，扇形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(8π,3)×4＝eq \f(16π,3). eq \f(8π,3) 一、选择题 1．675°用弧度制表示为(　　) A．eq \f(11π,4) B．eq \f(13π,4) C．eq \f(15π,4) D．eq \f(17π,4) 解析　675°＝675×eq \f(π,180)＝eq \f(15π,4). 2．集合eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析　当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq \f(π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq \f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(3π,2)，m∈Z.故选C. 3．[多选]下列各对角中，终边相同的是(　　) A．eq \f(3π,2)和2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z) B．－eq \f(π,5)和eq \f(22π,5) C．－eq \f(7π,9)和eq \f(11π,9) D．eq \f(20π,3)和eq \f(122π,9) 4．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　) A．eq \f(1,2)(2－sin1cos1)R2 B．eq \f(1,2)R2sin1cos1 C．eq \f(1,2)R2 D．(1－sin1cos1)R2 解析　∵扇形的弧长l＝4R－2R＝2R，∴圆心角α＝eq \f(l,R)＝2.∵S弓形＝S扇形－S三角形＝eq \f(1,2)αR2－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2Rsin\f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rcos\f(α,2)))＝eq \f(1,2)×2×R2－R2sin1cos1＝(1－sin1cos1)R2.故选D. 5．[多选]下列表示中正确的是(　　) A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) C．终边在坐标轴上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z)))) D．终边在直线y＝x上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z)))) 解析　终边在直线y＝x上的角的集合应是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))，故D错误． eq \f(3,2) 解析　由弧长公式l＝αR，得α＝eq \f(l,R)＝eq \f(18,12)＝eq \f(3,2). 8．若角α的终边与角eq \f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝___________________________． 解析　由题意，角α与角eq \f(π,3)的终边相同，故α＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.又α∈(－4π，4π)，∴－4π<eq \f(π,3)＋2kπ<4π，k∈Z，∴－eq \f(13,6)<k<eq \f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1.故α＝－eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)，eq \f(7π,3). －eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)，eq \f(7π,3) 解　(1)α＝2000°＝5×360°＋200°＝10π＋eq \f(10π,9). (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋eq \f(10π,9)，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋eq \f(10π,9)＝eq \f(46π,9). 解　(1)扇形的圆心角α＝30°＝eq \f(π,6)， 则2r＋eq \f(π,6)r＝12，解得r＝eq \f(72,12＋π). (2)设扇形的弧长为l， 则由题意得l＋2r＝12，则l＝12－2r， 所以扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(12－2r)r＝－(r－3)2＋9， 所以当r＝3时，扇形的面积最大， 此时圆心角为eq \f(l,r)＝eq \f(12－2r,r)＝2. $$