1.3.1 弧度概念 1.3.2 弧度与角度的换算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 (教师独具内容) 课程标准：了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 教学重点：1.弧度和角度的互化.2.扇形的弧长公式和面积公式． 教学难点：1.弧度的概念.2.弧度数与实数之间的一一对应关系． 知识点一　角的度量单位 (1)半径为单位长度1的圆为单位圆． (2)在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写)． (3)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． (4)一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 知识点二　弧度与角度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 1°＝ rad＝_rad≈0.01745 rad, 1 rad＝＝≈57°18′. (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π (3)弧度数的计算 知识点三　扇形的弧长及面积公式 若扇形的圆心角为α(0<α<2π)弧度，半径为r，则扇形的弧长l＝αr，面积S＝αr2(用α表示)＝lr(用l表示)． (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去． (3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)用角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． (5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．(　　) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．(　　) (3)用弧度表示的角都是正角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm (2)－135°化为弧度为________，化为角度为________． (3)已知扇形的圆心角是2 rad，扇形的半径为1 cm，则扇形的弧长为________cm，扇形的面积为________cm2. 答案：(1)B　(2)－　660°　(3)2　1 题型一　弧度概念 　下列命题中，错误的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义知，180度一定等于π弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 [答案]　D 【感悟提升】　“度”与“弧度”的区别和联系 (1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． (2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的. (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值；用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略；用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写． 【跟踪训练】 1．下列叙述中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度之和 D．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案：D 解析：由弧度的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角．故D叙述正确．故选D. 题型二　弧度与角度的换算 　(1)18°＝________rad； (2)67°30′＝________rad； (3) rad＝________度； (4)2 rad＝________度． [解析]　直接运用角度和弧度的换算公式即可． (1)18°＝18× rad＝ rad. (2)67°30′＝67.5°＝67.5× rad＝ rad. (3) rad＝·＝54°. (4)2 rad≈57°18′×2＝114.6°. [答案]　(1)　(2)　(3)54　(4)114.6 【感悟提升】　弧度与角度换算的关键 (1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得：度数×＝弧度数．弧度数×＝度数，牢记1°＝ rad，1 rad＝. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记． 【跟踪训练】 2．把下列各角用另一种度量制表示出来： (1)112°30′；(2)36°；(3)－；(4)3.5. 解：(1)112°30′＝×＝. (2)36°＝36×＝. (3)－＝－×＝－75°. (4)3.5＝3.5×≈200.54°. 题型三　用弧度制表示角的集合 　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)． [解]　(1)图①中以OB为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，∴. (2)图②中以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝135×＝，∴. (3)图③中，∵30°＝，210°＝， ∴∪，即∪，∴. 【感悟提升】　弧度制表示角的注意事项 (1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一． (2)终边在同一直线上的角可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角可以合并为. 【跟踪训练】 3．把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合． (1)－；(2)－1485°；(3)－20. 解：(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角． 终边相同的角的集合为. (2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角． 终边相同的角的集合为. (3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而<8π－20≈5.13<2π，所以－20是第四象限角． 终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}． 题型四　扇形的弧长与面积公式 　解答下列各题： (1)已知一扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求该扇形圆心角的弧度数； (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求该扇形的面积． [解]　(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r， 依题意有 将①代入②得r2－5r＋4＝0， 解得r1＝1，r2＝4. 当r＝1 cm时，l＝8 cm， 此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去． 当r＝4 cm时，l＝2 cm， 此时，θ＝ rad＝ rad. (2)设扇形的弧长为l，面积为S， 因为72°＝72× rad＝ rad， 所以l＝×20＝8π(cm)． 所以S＝×8π×20＝80π(cm2)． 【感悟提升】　运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题 (1)由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r，l，S中“知其二求其二”，它实质上是方程思想的运用，如例4. (2)运用弧度制下的扇形弧长与面积公式比用角度制下的公式要简单得多，但要注意运用它的前提条件是“弧度制”．若角是以“度”为单位，则必须先化成弧度，再计算． (3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用 ①l＝αr，α＝，r＝； ②S＝αr2，α＝. 【跟踪训练】 4．用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S. 则l＋2r＝30，即l＝30－2r，① 将①式代入S＝lr，得 S＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－＋. 所以当r＝ cm时，扇形面积最大，且最大面积为 cm2. 此时圆心角θ＝＝2. 1．若α＝－3，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为－3≈－171.9°，所以α＝－3表示的角的终边在第三象限． 2．已知弧长为π的扇形面积也为π，则该扇形的圆心角为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设该扇形的圆心角为α，半径为r，则解得故选D. 3．(多选)下列结论正确的是(　　) A．22°30′化成弧度是 rad B．－ rad化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ rad D. rad化成角度是15° 答案：ABD 解析：对于A，22°30′＝22.5×＝，A正确；对于B，－＝×＝－600°，B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，C错误；对于D，＝×＝15°，D正确．故选ABD. 4．(用弧度制表示)第一象限角的集合是________；第一或第三象限角的集合为________． 答案：　 解析：第一象限角的集合为，第三象限角的集合为＝. ∵k∈Z，∴2k为偶数，2k－1为奇数，∴第一或第三象限角的集合为∪＝ . 5．(1)把－1480°化成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解：(1)∵－1480°＝－＝－8π－＝－10π＋，0≤<2π，∴－1480°＝－5×2π. (2)∵β与α终边相同， ∴β＝α＋2kπ＝＋2kπ，k∈Z， 又β∈[－4π，0)，∴取k＝－1，－2. ∴β1＝－2π＝－，β2＝－4π＝－. 课后课时精练 一、选择题 1．把－1125°化成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式是(　　) A．－6π－ B．－6π＋ C．－8π－ D．－8π＋ 答案：D 解析：－1125°＝－＝－8π＋. 2．下列各组角中，终边相同的是(　　) A.和2kπ－(k∈Z) B．－和 C．－和 D.和 答案：C 解析：终边相同的角应差2π的整数倍，－＋2π＝，故选C. 3．已知2 rad的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弧长为(　　) A．2 B．sin21 C. D．2sin1 答案：C 解析：易求得扇形的半径r＝，∴圆心角所对的弧长是l＝αr＝. 4．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q等于(　　) A．∅ B．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} C．{α|－4≤α≤4} D．{α|0≤α≤π} 答案：B 解析：当k＝0时，P∩Q＝{α|0≤α≤π}；当k＝－1时，P∩Q＝{α|－4≤α≤－π}，则P∩Q＝{α|0≤α≤π或－4≤α≤－π}． 5．(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则(　　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍 答案：BC 解析：设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则由扇形的面积公式S＝lr，可知扇形的面积变为原来的4倍．由α＝＝，可知扇形的圆心角不变．故选BC. 二、填空题 6．若某三角形的三个内角的弧度数之比为3∶5∶7，则此三角形的三个内角的弧度数分别是________． 答案：，， 解析：×π＝；×π＝；×π＝. 7．半径为4 cm的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则这个扇形的面积是________cm2. 答案：8π－16 解析：设扇形的圆心角的弧度数为α.∵R＝4，扇形周长等于弧所在的半圆周的长，∴2×4＋4α＝4π，∴α＝π－2.∴S扇形＝αR2＝(π－2)×42＝8π－16(cm2)． 8．角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________． 答案：2kπ－，k∈Z 解析：∵直线x＋y＝0位于第四象限的部分的对应角为－，∴－关于x＋y＝0对称的角是－.∴β＝2kπ－，k∈Z. 三、解答题 9．设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． 解：(1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－570×＝－， α2＝750°＝750×＝. ∵－＝－2×2π＋，＝2×2π＋， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝＝×＝108°， 设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，∵－720°≤θ<0°， ∴－720°≤k·360°＋108°<0°， ∴k＝－2或k＝－1. ∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝×＝－360°－60°＝－420°， 且在－720°～0°间与β2有相同的终边的角是－60°. 10．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6. (1)求的长； (2)求弓形OAB的面积． 解：(1)∵α＝120°＝ rad，r＝6， ∴的长为l＝×6＝4π. (2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π， S△ABO＝·r2·sin＝9， ∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9. 11．如果一扇形的周长为60 cm，那么扇形面积的最大值为________． 答案：225 cm2 解析：设扇形半径为r cm，圆心角为θ，弧长为l cm，面积为S cm2.由l＋2r＝60，得l＝60－2r.S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝225－(r－15)2.当r＝15 cm时，Smax＝225 cm2.此时，θ＝＝＝＝2.∴当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大面积为225 cm2. 12.如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．点P沿逆时针方向每秒转，点Q沿顺时针方向每秒转.试求P，Q出发后第五次相遇时各自转过的角的弧度数及各自走过的弧长． 解：由题意，动点P，Q从第k次相遇到第k＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR， 因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR. 设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2， 则l1＝tR，l2＝·tR＝tR. 因此l1＋l2＝tR＋tR＝10πR. 所以t＝＝20， 所以l1＝πR，l2＝πR. 由此可知，P转过的角的弧度数为，Q转过的角的弧度数为－，P，Q走过的弧长分别为πR和πR. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$