第1章 2.1 等差数列的概念及其通项公式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

a1<21, 所以a10=19,a1=20,所以a1o+a11=39. 14.证明：(1)由已知条件可知an与a+1同号且a1=1>0,故an> 0子0放a+子所以a,o(neN)度立 a (2)因为an<a1(neN*),故a1>an≥1，则a1-a= +)e-4e. a。 当n≥2时，a2=(a2-a21)+(a1-a-2)++(a-a)+a∈ (4n-3,8n-7], 所以当n≥2时，√4n-3<an≤√8m-7,且当n=1时， v4x1-3=a1=√8×1-7. 所以当n∈N'时，√4n-3≤an≤v√8n-7. 压轴挑战 解：(1)因为a.=(兮广，所以a,是递减数列，m, 广 (传（ n一，而n 号a+10=（2-10>0,断以>1，即ama na。一>1，所 3(n+1) 以nan>(n+1)a+1,所以{na.}是递减数列，所以数列{an}是 “Y-数列”. 因为bn=4-n,所以{bn}是递减数列，nbn=4n-n2,其中b1=4× 1-12=3,2b2=4×2-22=4,则b1<2b2,所以{nb}不是递减数列， 所以数列{bn}不是“Y-数列”. (2)因为1ia:=n2an,所以a1·2a2·…·(n-1)an-1·nan= n2an,① 当n≥2时，a1·2a2·…·(n-1)an-1=(n-1)2an-1,② nan 由①÷②，得na.(n-1)2a 又a0.所以a10所 以当n≥1时，4=n n2 n+1 因为当≥2时，==n+1.-l)=-n2-n+1<1, an-1 n (n-1)2 所以an<an-1,数列{an}是递减数列. +”-1+,所以数列1a,也是递减数列，故数列 因为na,=n n {an}是“Y-数列”. §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 白题基础过关 1c得折：对于A分=石行号古因为名 6 2,所以A不是等差数列对于B,g6-g5=lg9,lg7-lg6= g石，因为号≠g名所以B不是等差数列，对于C,了 7 1号名日所以c是等差数列：对于D,3-2=1,5 参考答案 3=2,因为1≠2，所以D不是等差数列.故选C. 2.B解析：由数列{an}的通项公式an=n+b,得{an}是等差 数列，且an-an-1=m+b-k(n-1)-b=k,故公差为k,故选B. 3.ACD解析：设等差数列{an}的公差为d,对于A,a+1+3 (an+3)=a+1-an=d,为常数，因此{an+3}是等差数列， 故A正确；对于B,a1-a=d(a+1+an)=d[2a1+(2n-1)d], 不为常数，因此{a2}不是等差数列，故B错误；对于C, (an+2+a1）-(aa1+an)=a2-an=2d,为常数，因此{a1t an}是等差数列，故C正确；对于D,2an1+(n+1)-（2an+ n)=2(a*1-an)+1=2d+1,为常数，因此{2an+n}是等差数 列，故D正确.故选ACD 4.B解析：因为b为a,c的等差中项，所以6=a+c=5. 2 5.C解析：因为A,B,C成等差数列，所以A+C=2B.又A+B+ C=m,解得B=写，所以21+820=5B= 3 3 6.4 解析：因为a1,a7为方程2x2-3x-9=0的两根，所以a+ 4=2,而a,+0,=24=号解得4，=子 3 7.B解析：数列4,6,8，…的通项公式为an=2n+2,则2n+2= 2000,解得n=999. 8.D解析：设16个数对应公差为d的等差数列{a.}的前 16项，则由题意可知，a1=1,a16=31,故a16-a1=15d=30,解 得d=2. 9.A解析：设数列{an}的首项为a1,公差为d,因为a6=a3+ 9,所以a1+5d=a1+2d+9,即5d=2d+9,解得d=3.因为2a2= a5-1,所以2(a1+3)=a1+12-1,解得a1=5,则an=5+3(n- 1)=3n+2,故A正确. 10.B解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d,其中d≠0， 因为a1=1,且a2ag=a3a5,可得(1+d)(1+7d)=(1+2d)· (1+4d),解得d=2,所以a20=a1+19d=1+19×2=39. 11. 2171 220'66J 解析：依题意，a,=a,+(n-1)d= 2+(n-1)d, 由{a.}从第11项起比1大，得ao≤1，即 (am>1, 1 +9d≤1， 22 解得21 +10d1, 20<d≤66，所以公差d的取值范围是 22 /2171 220'66」 12.C解析：由等差数列的性质可得a2+ag=2a5=10,则a5= 5,故d=a5-a4=5-4=1. 13.B解析：由等差数列的性质得，a3ta6+a1o+as=(a3+a13)+ （a6+a1o)=2ag+2ag=4ag=32,.ag=8.又d≠0，.m=8.故 选B. 14.B解析：因为{an}是等差数列，所以a1+a4+a,a2+a5+as, a3+a6+a,也成等差数列，则a1+a4+a,+a3+a6+a,=2(2+ a+ag),所以a3+a6+ag=2(a2+a5+ag）-(a1+a4+a,）= 2×21-15=27. 15.ABD解析：因为数列{an}为等差数列，所以a1+a2+…+ a16=8(a1+a16)=0.又因为a1>0,所以a16<0,所以d<0.ag+ ag=a1+a16=0,a2ta1=a1+a16+2d=0+2d<0,故ABD正确. 16.10解析：因为a1+a2+…+a11=(a1+a)+(a2+a1o)++ (a5+a,)+a6=11a6=22,所以a6=2,所以a2+a4+a6+ag+ a10=(a2+a1o)+(a4+ag）+a6=5a6=5x2=10. 17.36解析：因为a5+ag=a2+a1,所以a11-a5=ag-a2=9,因 黑白题03 此ag-a2=(ag-a2)(ag+a2)=9x2a5=36. 18.A解析：已知等差数列{an}的公差为d,即a+1-a,=d,当 {an}单调递增时，d>0,令n=1,得到a2-a1=d,a2>a1;反 之a2>a1,d>0,{an}单调递增.故“{an}单调递增”是“a1< a2”的充要条件. 19.C解析：因为a1+a13<0,a1+a2>0,由等差数列的性质可 得2，<0，。所以<0所以该数列的公差d<0,所以绝 la6+a>0, (a6>0, 对值最小的项在0附近的项中取得.因为a。+a,>0,所以 1a6>a,l,所以绝对值最小的项为a, 20.(2,+∞)解析：由{a,}是等差数列且是递增数列可知，函 数f(x)=(k-2)x+3在R上是增函数，根据一次函数的图象 与性质，可得k-2>0,即k>2,所以实数k的取值范围是 (2,+0). 21.an=n+1(答案不唯一，只要等差数列的首项为2，公差d>0 即可)解析：由题意可知，等差数列的首项为α，=2，且公 差d>0,当d=1时，数列的通项公式为an=a1+(n-1)× 1=2+(n-1)×1=n+1.(答案不唯一) 重难聚焦 2C解析：因为号1，所以为等差数列，公素为 2 2 首项为=8，放8+n-1=n+7,所以c中7因为 a月 2 2√2 a>0,所以a,√+7a√9+74 故选C 23.m2解析：依题意，a1=1,√a+1=√a+1,所以数列{√a} 是首项为√a1=1,公差为1的等差数列，所以√a.=n,所以 an=n2.故答案为n2. 1 24.an=3n-2 解析：a,-0+1=3aam+1,2=4,1-a2= 13 3a14,即a14=40,解得a=1,由题意知，a.≠0，故由 a-a13可得女=3《日}是以=1为 antl an 首项，3为公差的等差数列，1=1+3(n-1)=3n-2,故 a. an=3n-2 25.C解析：设这十二个节气日影长为数列{an},则{an}为等 差数列，由题可知a1+a4+a,=33,a1+a2+…+a,=108,由等 差数列下标和性质得a1+a4+a,=3a4=33→a4=11,a1+ a2+.+a,=9a5=108→a5=12,所以公差d=a5-a4=1,则 a,=a5+4d=12+4=16. 26.120解析：由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴 的钱数依次成等差数列，设该数列为an},公差为d,则一 只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为a,a2,a3,a4, 由题意得+2a=20,→3a,+24=20,解得 (a4=2a2 (a1+3d=2a1+2d, {a=40,故甲花费的钱数为a+a,=2a1+d=120, d=40. 黑题应用提优 1.A解析：设公差为d,由a2+4=a4,则a4-a2=2d=4,得 d=2,a1o=a5+5d=15. 2.B解析：数列{an}是等差数列，m+n=s+t,则am+an=a,+a: (m,n,s,teN);当an=1,数列{an}是等差数列，则am+ an=a,+a,(m,n,s,t∈N),不一定满足m+n=s+t,则an+ an=a,+a,(m,n,s,t∈N)是m+n=s+t的必要不充分条件. 选择性必修第二册·BS 3.D解析：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为a1, a2,a,a4,a5,则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列，设公差为d. a1+a2+a3+a4+a5=5,a1+a2=a3+a4+a.整理上面两个算式， 4 得a+2=解得 a13’ (a1+8d=0. 1 .a5=a1+4d= 4 3 -+4× d=- 6 )号 4.D解析：{an},{bn}都是等差数列，设其公差分别为d1,d2, 故cn+1-cn=an1+9bn+1-an-9bn=d1+9d2,所以{cn}是等差数 列，其中c1=a1+9b1=2+18=20,又a2+9b2=25,故c2 c1=25-20=5,所以cg=c1+8×5=20+40=60. 5。C解析：由1=+1，得 a n+1 2a,+n a,2antn' +2,所以数列{”}是首项为1，公差为2的等差数列， an a 2=2-14,2则a2x85 88 a 6.ACD解析：由an+a1=2n(neN),a1=1,得a2=2-a1= 1,a3=4-a2=3,a4=6-a3=3,所以A选项正确；又an+ am1=2n,a1+at2=2(n+1),两式相减得a2-an=2,令 n=2n-1,可得a21-a21=2,所以{a,}不是等差数列， {a2-1}是等差数列，故B选项错误，C正确；同理，令n=2n, 则a2+2-a2n=2,所以{a2n}是以a2=1为首项，公差为2的等 差数列，所以a2n=1+(n-1)×2=2n-1,故D正确. 7.2,5,8,11或11,8,5,2解析：设这四个数组成的数列为a 3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).因为四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，所以{4如=26， (a-d)(a+d)=40,解得 13 [13 a=- 2’ a2 或{ 、所以这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 3 3 d-2 d=-2' 四方法总结 等差数列的常见设项技巧： (1)根据已知条件直接设首项和公差：当题目中给出与 首项a,和公差d相关的条件时，可以直接设首项为a1,公 差为d,然后利用已知条件建立方程求解. (2)利用数列的对称性设项：对于等差数列，如果项数为奇 数，可以设中间一项为a,然后用公差d向两边分别设立项， 例如：a-d,a,a+d;如果项数为偶数，可以设中间两项分别 为a-d和a+d. 8. 2”解析：由条件可得△P,QoQ,为正三角形，且边长为a1, n(分)，由n在面线y=上得- 1 4306-子限器复意得点人分受) 在曲线y=收上，所以c2=6+了，整理，得6 子c-3a当a≥2，eN时，a=6-b1 3 子(dd),即3(a+a)=(at+a)(a1-a） 黑白题04 a,>0,aa=子当=1时，4=6=子店 3 20,即2=3 1 号=2店-日4，解得=子或4=子（会 1 4=子，故aa,=子数列a是首项为子，公 2 差为子的等差数列a,=兮 2n 9.(1)证明：因为a1=2a,+2*1,两边同除以21，得1=+ 212 1,所以2受=1，即-6=1，而6=1，所以6.是 久2+120 首项为1，公差为1的等差数列. （2解：由（)得6，产会=1+（一）x1=%,散a,=a2 10.解：(1)由题可知：a1,a2,…,ao为公差为1的等差数列，故 a1o=a1+9=10,a10,a11,…,a2n为公差为d的等差数列，故 a20=a1o+10d=40,解得d=3. (2)由题可知：a1,a2,…,a:为公差为1的等差数列，故 ak=a1+(k-1)=k;ak,ak+1,…,a2w为公差为d的等差数列，故 a2=a+d=k(1+d);a%,a21,…,ag为公差为d的等差数列， 故aaf-1dd)-[(er）》+]=,又 为正整数故>0，即a的最小值为子 压轴挑战 （0)解：依题意，当a,-平时，则sn4=oms4,=oas ,3 11 44=2任{行，贺}，所以山号。符合题意同理 血0w=m行经又子<5，得凌 9 又4{行}，所以=？符合愿意由 /T5π 9m-5,因为1< sin a=cos a=cos42 19 94m<a4< a,%=2g{任贺}，所以，7符合题意 (2)证明：因为sna1=0sa,所以sina=sin（7-a） 或ma1=m(行+a)）(不合题设，合)，所以a1=号 a,+2km,k∈Z或a1+2-0,=m+2km,keZ,即a1+a, 受+2m,6eZ或aa=+26m,keZ因为a子)<a,< (+),所以(n)sa,<(n+)m,(a) a<(a+)，所以(2a）<ana<(2+）,-< a1a,<3m,所以a+a,=+2nm,neN或a1-a,=号或 aa2又aa{72},所以ata,=号+2m， neN,则a1+aa=受+2(a+1)m=2n,AeN,所以 2 参考答案 aa4-(a4a,)-+2m-(受2nm）=2,eN,所以 数列{a1+a.}是公差为2π的等差数列. (3)解：由(2)知，数列{a+1+an}是公差为2π的等差数列，所以 (a,+a)-(a,ta)=2m→aa1=2m又因为a+a.=牙+2n， neN,所以a,+a,-又因为数列，ta,为等差数列，所以 b1+a1+b3+a3=2(b2+a2）,所以cosω+a1+cos3w+a1+2m= 2c082w+57-a1,即4a1=3m+2co82w-(c0sw+c0s3w).又 因为cosw+cos3w=cos 、2 ω-3w =2 cos @cos2w,所以4a1=3T+2c0s2w-2 cos wce0s2w, 2 1 四重难点拨 由man1=6sa,由诗导公式可得血a1=m(行-）， T 可得a1t,=2+2km,keZ或a1a,=2+2km,keZ,由条 5 3 件(a子)m<a,<(n+手)m,即可得到a+a,=2 neN*,再利用等差数列的概念即可. 2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和及其性质 白题 基础过关 1,B解析：由等差数列的前n项和公式得Sg=交(2a,+ 8 7×2)=88,化简得4(2a,+14)=88,所以2a,+14=22,所以 a1=4,所以a5=a1+4d=4+4×2=-12. 2.B解析：等差数列{an}的前n项和为Sn,S6=6(a6+5),所 以6a,+6x5。 634=6(a,+5u+5),所以=5d+5,则公差d=-2 3.ABD解析：由题意得8，=5a,100,解得a-6,所以 （a5=a1+4d=6, (d=3, an=a1+(n-1)d=3n-9,Sn= (a+a,)n_3n2-15n,ABD E 2 2 确，S2=-9,S4=-6,C错误 4.A解析：设这个数列有n项，则a1+a2+a3=3,an-2taa-1+a,= 63,因此3(a1+an)=3+63=66,即a1+a.=22,则Sn= n(a,+a,）=11n=110,解得n=10, 5.26解析：等差数列{an}中，a4+a+a1o=3a,=6,所以a,=2, 13(a+a2=13a,=13×2=26, 则S13 6.ABD解析：在等差数列{an}中，a1>0,公差d<0,Sn为其 前n项和，及=mxd=+(a)点 (m8)在到线y=号+(a号）小上0二次隔数 的图象开口向下，故A,B不可能..对称轴为直线x= d a12 d>0,对称轴在y轴的右侧，故C可能，D不可能故 选ABD. 黑白题05§2等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 白题 基础过美 限时：50min 题组1等差数列概念的理解 题组3等差数列的通项公式 1.·下列数列中成等差数列的是 7.*人B教材变式(2025·江西南昌高二月考) 111 A.23’4 B.Ig 5,1g 6,1g 7 2000是等差数列4,6,8，…的 A.第998项 B.第999项 73 C.1,84 D.2,3,5 C.第1001项 D.第1000项 2.若一个数列的通项公式是an=kn+b(其 8.*人B教材变式(2025·陕西榆林高二月考) 中k,b为常数)，则下列说法正确的是( 在1和31之间插入14个数，使它们与1， 31组成公差大于零的等差数列，则该数列的 A.数列{an}一定不是等差数列 B.数列{an}是以k为公差的等差数列 公差为 C.数列{an}是以b为公差的等差数列 45 B.30 8 C.-2 D.2 D.数列{an}不一定是等差数列 9.*(2025·河南信阳高二月考)已知等差数 3.*(多选)若{an}是等差数列，则下列数列 列{an}中，2a2=a5-1,6=a3+9,则数列{an} 为等差数列的有 的通项公式为 A.{an+3} B.{a} A.a=3n+2 B.a,=5n+2 C.an+itan D.2a,+n 题组2等差中项 C.a=3n-2 D.a=2n+3 4.·（2025·四川绵阳高二期中)已知a= 10.(2025·四川成都高二期中)数列{an} 是首项为1且公差不为0的等差数列，若 1 ,C= 若b为a,c的等差中项，则 5+265-26 a2ag=a3a5,则a20= () b= ( A.20 B.39 C.41 D.58 A.10 B.5 C.1 D.±1 11.*(2025·河南开封高二月考)已知等差 5.*北师教材变式(2025·河北邯郸高二期末) 数列a,的首项为2若a,从第11项起 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列， 比1大，则其公差d的取值范围是 则2A+B+2C的值为 ( 题组4等差数列的性质 A买 D.2T 12.·(2025·四川资阳高二期末)在等差数 6.★(2025·江西南昌二中高二月考)在等差 列{an}中，若a2+as=10,a4=4,则公差d= 数列{an}中，已知a3,a1为方程2x2-3x-9=0 ( 的两根，则a5= A.-2 B.-1 C.1 D.2 第一章黑白题05 13.*已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且21.*函数y=f(x),x∈[1，+o),等差数列 a3ta6+aota1g=32,若an=8,则m为 {an}满足an=f(n),neN,①函数f(x)是增 A.12 B.8 C.6 D.4 函数；②数列{an}的最小值是2.则同时满足 14.*(2025·山东菏泽高二月考)已知{n} ①②的数列的通项公式为 是等差数列，且a1+a4+a7=15,a2+a5+ 重难聚焦川 ag=21,则a3+a6+a,的值是 ( 题组6构造等差数列求通项公式 A.24 B.27 C.30 D.33 12 15.(多选)(2025·四川南充高二月考)在 22.*在数列{an}中，an>0,a1= 2'dntl 等差数列{an}中，a1>0,a1+2+…+a16=0,则 2 下列说法正确的是 ( =1,则a。= A.d<0 B.ag+ag=O C.a2+a17>0 D.a2+a17<0 A. 2 3 D. 16.*(2025·天津红桥区高二月考)若数列 23.* 在数列{an}中，a1=1 {an}为等差数列，且a1+a2+…+a11=22,则 a2+a4+a6+ag+a10= √a1=√a,+1,则an= 17.*(2025·天津和平区高二月考)已知等 24.*★(2025·福建龙岩高二月考)已知数 差数列{an}满足a5=2,a11=11,则a 列a.满足a=行4-a=3a,则数 a= 列{an}的通项公式为 题组5等差数列的函数特征 题组7 等差数列在数学文化中的应用 18.*(2025·山东菏泽高二月考)已知等差 25.**(2025·江西南昌高二期 数列{an},则“{an}单调递增”是“a<a2”的 中)《周髀算经》中有这样一个 讲解 问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立 A.充要条件 春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小 B.充分不必要条件 满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成 C.必要不充分条件 等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和 D.既不充分也不必要条件 为33尺，前九个节气日影长之和为108 19.*(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)已知 尺，则谷雨日影长为 数列{an}为等差数列，若a1+a13<0,a1+a12> A.14尺B.15尺C.16尺D.17尺 0,则此数列中绝对值最小的项所在的项数为 26.**(2025·福建福州高二月考)《九章算 ( 术》中有这么一个问题：假设一只鸡与一 A.第5项 B.第6项 只狗、一只狗与一只羊、一只羊与一头驴 C.第7项 D.无法确定 的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价 20.已知数列{an}是等差数列，且(n,an)在 格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗 函数f(x)=(k-2)x+3表示的图象上， 的2倍按照这个价格，甲买了一只鸡与 若{a}是递增数列，则实数k的取值范围 只狗，则甲花费的钱数为 是 选择性必修第二册·BS黑白题06 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2025·淅江杭州高二月考)已知等差数6.整（多选）(2025·山东枣庄高二月考)对于 列{an}满足a2+4=a4,且a=5,则a0= 数列{an},若a1=1,an+an+1=2n(n∈N*),则 ( 下列说法正确的是 () A.15 B.10 C.2 D.-3 A.a4=3 2.**苏教教材变式（2025·四川成都高二期 B.数列{an}是等差数列 中)若数列{an}是等差数列，则am+an=a,+a, C.数列{a2a-1}是等差数列 (m,n,s,t∈N*)是m+n=s+t的 D.a2m=2n-1 A.充分不必要条件 7.*成等差数列的四个数之和为26，第二个 B.必要不充分条件 数与第三个数之积为40，这个等差数 列为 C.充要条件 8.#(2025·安徽合肥高 D.既不充分也不必要条件 3.*(2025·广东肇庆高二期中)《九章算术》 二期末)如图，曲线y=√x 是我国古代的数学名著，书中有如下问题： 上的点P:(i∈N)与x轴 (Q0,2 “今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问 上的点Q:(i∈N)构成一 各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊 系列正三角形：QoP1Q1,Q1P2Q2,…,Qn-1PQm 五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊 (neN).设正三角形Qn-1PnQn的边长为an, 所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得构成 点Qn(bn,0),则数列{an}的通项公式为an= 等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代 9.*苏教教材习题设数列{an}满足递推关系 一种质量单位)这个问题中戊所得为( an+1=2an+2m+1(n∈N*),且a1=2. A号钱B钱C钱 D子钱 (1)设么，求证：数列，是等差数列； 4.*|人A教材变式(2025·四川南充高二月 考)数列{an},{bn}都是等差数列，且a1=2, (2)试求数列{an}的通项公式. b1=2,a2+9b2=25,若cn=an+9bn,则c,的值为 A.0 B.25 C.45 D.60 5.★(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)数列 {a.}中，a1=1,且21=nt1 a,2a+ ,则ag=( A.10 B品 8 C.5 16 第一章黑白题07 10.锌(2025·江西上饶高二月考)已知k 压轴挑战 为正整数且k≥2，d为非零实数，数列{an} 热(2025·江苏南通高二月考)已知数列 满足a=1,且a1,a2,…,a4是公差为1的等 差数列，4,41，…，a2是公差为d的等差数 a.满足(a-)m<a.<(+),a-a.安 列，a2,ak+1,…,a%是公差为d的等差数 7,7,且sin=cosa 列，以此类推 (1)当k=10,a2o=40时，求d; (1)若a-,求a,0,4 (2)求a的最小值（用含k的代数式表示） (2)证明：数列{an+a1}为等差数列. (3)设数列{bn}的通项公式为bn=cos @n..若数 列{an+bn}为等差数列，求a1 选择性必修第二册·BS黑白题08