7_4_2 二项式系数的性质及应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

知识点 二项式系数的性质 7.4.2 二项式系数的性质及应用 必备知识 清单破 1.对称性 在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = (m∈N,n∈N*, m≤n). 2.增减性与最大值 (1)增减性:当r< 时, < ;当r> 时, < . (2)最大值:当n为偶数时,中间一项的二项式系数 最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系 数 , 相等,且最大. 3.二项式系数的和 (1)二项展开式中,各项的二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 (2) + + +…= + + +…= . 4.特殊情况 在杨辉三角中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 + = . 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.二项展开式的各二项式系数的和是 + +…+ 吗? 2.(x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和相等吗? 3.若(a+b)n的展开式的第4项的二项式系数与第6项的二项式系数相等,则二项式系数最大的 项是哪一项? 4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项吗? 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.二项展开式的各二项式系数的和是 + + +…+ =2n. 2.相等.均为25=32. 3.由题意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展开式的中间项为第5项,所以第5项为二项式系 数最大的项. 4.不是.展开式共有10项,其中奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,所以系数最大的项仅为 第5项. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 1.展开式中二项式系数最大的项的确定方法 (1)当n为偶数时,中间一项  的二项式系数最大; (2)当n为奇数时,中间两项 第 项和第 项,即 和  的二项式系数相等且最大. 2.展开式中系数最值的确定方法 方法一,二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看成关于n的函数,利用判断函数单 调性的方法判断系数的增减性,从而求出系数的最值. 关键能力 定点破 定点 1 求解二项式系数、系数最值问题 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 方法二,分析系数的符号,利用不等式组求解,具体如下:(1)在系数符号相同的前提下,求系数 的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小,根据通项列出不等式组即可.(2)当各项系 数正负相间时,求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组;求系数的最小 值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)二项式系数最大的项是第11项,T11= ×310×(-2)10x10y10=610 x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)项, 于是  化简,得  解得 ≤r≤ (r∈N),所以r=8, 即T9= ×312×28×x12y8是系数绝对值最大的项. (3)因为系数为正的项为y的偶次方项, 所以可设第(2k-1)(1≤k≤11,k∈N)项系数最大, 于是  第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 所以  解得k=5,即第9项系数最大,T9= ×312×28×x12y8. 知识拓展    二项展开式系数最大理论:在(ax+by)n(a,b∈R,且a,b≠0,n∈N*)的展开式中,第k=  +1项系数的绝对值最大,其中[x]为取整函数. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念   1.利用二项式定理解决整除或求余数问题 (1)利用二项式定理解决整除或求余数问题,关键是要巧妙构造二项式,通常把底数写成除数 (或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或前面) 一两项就可以了. (2)要注意余数的范围:a=cr+b中,r是除数,b是余数,且b∈[0,r).切记余数不能为负数,所以利用 二项式定理展开变形后,若“剩余部分”是负数,则要注意进行转换. 2.利用二项式定理进行近似计算 　　利用二项式定理进行近似计算,其关键在于构造恰当的二项式(p+q)n(n∈N*,p∈Z,|q|<1), 并根据近似要求,对其展开式的项合理取舍,通常只考虑前面(或后面)几项,从而确定(p+q)n的 近似值. 定点 2 二项式定理的应用 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用二项式定理证明有关不等式 　　利用二项式定理证明组合数不等式,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合不等 式证明的方法进行论证.证明不等式时,应注意运用放缩法,可将对结论不构成影响的若干项 去掉. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)求证:5151-1能被7整除; (2)求0.9986的近似值,使误差小于0.001; (3)求证:对一切n∈N*,都有2≤ <3. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:5151-1=(49+2)51-1= ×4951+ ×4950×2+…+ ×49×250+ ×251-1, 易知除 ×251-1=251-1以外各项都能被7整除. 又251-1=(23)17-1=(7+1)17-1= 717+ 716+…+ 7+ -1=7( 716+ 715+…+ ), 显然上式能被7整除,所以5151-1能被7整除. (2)0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6. 因为T3=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001,且第3项以后的项的绝对值都远小于0.001, 所以第3项及其以后的项可以忽略不计, 所以0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988. (3)证明:∵ = + · + · + · +…+ · =1+1+ · + · · +…+  · · ·…· , 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 ∴2≤ <2+ + +…+ <2+ + +…+ =2+ + +…+ = 3- <3,即2≤ <3. 当且仅当n=1时, =2; 当n≥2时,2< <3. 故对一切n∈N*,都有2≤ <3. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路   定点 3 杨辉三角 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系 数表,数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是 (　     )   A.1+ + + =  B.第2 022行的第1 011个数最大 ACD 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 C.第20行所有数字之和为220 D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 (2)若图中的数字满足条件:①第n行首尾两数均为n;②递推关系类似杨辉三角,则第10行的第 2个数是　　　    ,第n(n≥2,n∈N*)行的第2个数是　　　    .   46 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)1+ + + =1+6+ + =84, = =84,故A正确; 第2 022行的第1 012个数最大,故B错误; 第20行所有数字之和为  + +…+ =220,故C正确; 第34行第14个数是 = ,第15个数是 = , 所以 = = =2∶3,故D正确. (2)由题图可知,第10行的第2个数为(1+2+3+…+9)+1=46,第n(n≥2,n∈N*)行 的第2个数为[1+2+3+…+(n-1)]+1=  +1= . 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　排列、组合知识在高考中多以选择题或填空题的形式出现,要求考生能对不确定的情况 进行分析,因此在学习中,要注意由点到面,由浅至深的辩证理解,多方面、多角度的思考并解 决问题. 在解决排列与组合的相关问题时,常用的方法有相邻问题捆绑法、相间问题插空法、多排问 题单排法、定序问题缩倍法、定位问题优先法、有序分配问题分步法、多元问题分类法、 交叉问题集合法、至少(或至多)问题间接法等.通过正确分类将排列、组合问题进行模型化, 从而找到解决对策,提高解题效率,培养逻辑推理、数学建模的核心素养. 学科素养 情境破 素养 通过对排列、组合的研究,培养逻辑推理、数学建模的核心素养 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 例题 将A,B,C,D,E,F这六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　　　    种. (用数字作答) 典例呈现 480 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    解法一(特殊元素优先法):如图,   ①C在第1位时,有 =120种排法; ②C在第2位时,在字母D,E,F中任取一个放在第1位,剩下的4个字母全排列,共有 · =72种 排法; ③C在第3位时,若A,B均在C的左侧,则有  种排法,若A,B均在C的右侧,则在字母D,E,F中任 取两个放在C的左侧,有 ·  种排法,故共有  +   =48种排法. 根据对称性可知,不同的排法共有2×(120+72+48)=480(种). 解法二(定序问题缩倍法):由题设可知,A,B,C三者的顺序可以为ABC,ACB,BAC,BCA,CBA, CAB,共6种情况,其中满足条件的共有4种情况,所以将A,B,C,D,E,F这六个字母排成一排,且A, B均在C的同侧的不同的排法共有 × = ×720=480(种). 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 解决排列、组合问题后要注意进行反思,总结题目考查的是哪个知识点、与哪些知识相关 联、是以什么形式来出题的、题目中隐藏的信息有哪些、怎样将已有知识综合运用到题目 中等,多角度分析问题的来龙去脉,从而提高逻辑思考能力,掌握解决每类问题的通法,达到培 养数学建模素养的目的. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 $$