7.4.2 二项式系数的性质及应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第7章　计数原理 7.4　二项式定理 7.4.2　二项式系数的性质及应用 基础过关练 题组一　二项式系数的性质及其应用 1.(2025江苏无锡锡山高级中学期中)若的展开式中第3项与第7项的系数相等,则展开式中系数最大的项为(　　) A.第4项　　　B.第5项　　　 C.第6项　　　D.第7项 2.(2025江苏扬州曹甸高级中学期末)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中x6的系数是(　　) A.　　　D.7 3.(2025江苏无锡期末)已知的展开式中二项式系数的和是32,则展开式中x的系数为　(　　) A.40　　　B.80　　　C.-40　　　D.-80 4.(2024江苏常州高级中学期末)已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为28,则展开式中有理项的项数为(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 题组二　赋值法求系数和 5.(多选题)(2024江苏连云港厉庄高级中学期中)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为(　　) A.1　　　B.-2　　　C.-3　　　D.0 6.(2025江苏常州西夏墅高级中学开学考试)若(3+x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3++a5(1+x)5,x∈R,则a1-a2+a3-a4+a5=　　(　　) A.-31　　　B.31　　　C.-32　　　D.32 7.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为(　　) A.29　　　B.49　　　C.39　　　D.59 8.(多选题)(2025山西长治沁县中学月考)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是(　　) A.a0=1　　　B.a1+a2+a3+a4+a5=2 C.a1+a3+a5=-122　　　D.=1 9.(2024江苏常州期末)在(x2-y)6的展开式中,各项系数的绝对值之和为　　　　.  题组三　二项式定理的应用 10.(2025江苏南通如皋中学调研)已知x∈N*,若122 024=13x+y,0≤y<13,则y=(　　) A.1　　　B.6　　　C.7　　　D.12 11.(2024江苏镇江期中)32 024的个位数是(　　) A.1　　　B.3　　　C.6　　　D.9 12.(2024江苏南通月考)设a∈Z,且0≤a≤7,若32 024+a能被8整除,则a=　　　　.  13.证明:(1)5151-1能被7整除; (2)当n∈N*时,(1+)n+(1-)n为偶数. 能力提升练 题组一　二项式系数的性质及其应用 1.(2025湖北武汉常青联合体期中)在的展开式中,含x3的项的系数为15,则展开式中二项式系数最大的项是(　　) A.第4项　　　B.第5项　　　C.第6项　　　D.第3项 2.(多选题)(2025江苏常州金坛第一中学检测)在的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论中正确的是(　　) A.n=8 B.展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128 C.展开式中的常数项为 D.展开式中系数最大的项为第3项和第4项 3.(2024江苏扬州第一中学期中)在(1+ax)8的展开式中,若有且仅有x4的系数最大,则实数a的取值范围是　　　　.  4.已知(n∈N*)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 题组二　赋值法求系数和 5.若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19·x19,则a1+a2+…+a18的值是(　　) A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3 6.(2025江苏无锡锡山高级中学期中)已知(2-x)2 205=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 025(x+1)2 025,则|a0|+|a1|+…+|a2 025|=(　　) A.22 025　　　B.24 050　　　C.1　　　D.0 7.(多选题)(2025江苏徐州第二中学期中)已知(1-2x)8=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a8(1-x)8,则下列正确的是(　　) A.a0=1　　　B.a1+a3+a5+a7= C.++…+=0　　　D.a1+2a2+…+8a8=16 8.(创新题新考法)(多选题)(2025河北衡水安平中学月考)根据切比雪夫多项式可知,cos nx能表示为关于cos x的多项式,即cos nx=ai(cos x)i,若设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则由cos 3x+cos 4x+cos 5x=f(cos x)可得(　　) A.a0=0　　　 B.a1+a2+a3+a4+a5=2 C.a1-a2+a3-a4+a5=2　　　 D.a1+a2+a3+a4+a5=2 9.(2025江苏宿迁期中)设(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10. (1)求实数a2的值; (2)求-+-+…+的值; (3)求i(i-1)ai的值. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B 2.C 3.A 4.C 5.AC 6.B 7.B 8.AC 10.A 11.A 1.B　易知的展开式中的项的系数与二项式系数相等,所以,解得n=8, 所以展开式共有9项,所以系数最大的项为第5项. 2.C　由题意得n=8, 的展开式的通项为Tr+1=·()8-r·,r=0,1,2,…,8. 令4+=6,得r=4,所以展开式中x6的系数为. 3.A　由题意得2n=32,∴n=5,的展开式的通项为Tr+1=(-2)rx5-2r,r=0,1,2,3,4,5. 令5-2r=1,得r=2,所以展开式中x的系数为×(-2)2=40. 4.C　由题意得+…==2n-1=28,所以n-1=8,解得n=9, 的展开式的通项为Tr+1=(0≤r≤9,r∈N), 若Tr+1为有理项,则r能被3整除,即满足题意的r可以是0,3,6,9,共4个. 5.AC　令x=0,得a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9, 令x=-2,得a0-a1+a2-…-a9=m9, 由题意得(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=-3或m=1. 6.B　令x=-1,得(3-1)5=a0,即a0=32. 令x=-2,得(3-2)5=1=a0-a1+a2-a3+a4-a5, 所以1=32-a1+a2-a3+a4-a5,所以a1-a2+a3-a4+a5=31. 7.B　易得(1-3x)9的展开式的通项为Tr+1=(-3)rxr, ∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9, 令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49, ∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49. 8.AC　令x=0,得a0=1,故A正确. 令x=1,得(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2,故B错误. 令x=-1,得(1+2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=243,所以a1+a3+a5==-122,故C正确. 令x=,得=0,所以=-1,故D错误. 9.答案　64 解析　令x=1,y=-1,得各项系数的绝对值之和为26=64. 10.A　易知122 024=(13-1)2 024=132 024-132 023+132 022-…-132 023-·132 022+132 021-…+)+1,所以y=1. 方法总结 　　用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围,二是二项式定理的逆用. 11.A　32 024=91 012=(10-1)1 012=101 012-101 011+…+100, 又101 012-101 011+…+101是10的倍数,所以32 024的个位数是100=1. 12.答案　7 解析　易得32 024=(8+1)1 012=81 012+81 011+…+81 011+81 010+…+80)+1,故32 024-1能被8整除,又32 024+a能被8整除,且a∈Z,0≤a≤7,所以当a=7时,32 024+7能被8整除. 13.证明　(1)5151-1=(49+2)51-1=×4950×2+…+×251-1, 易知除×251-1以外各项都能被7整除. 又×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1 =×716+…+-1 =7×(×715+…+), 显然上式能被7整除,所以5151-1能被7整除. (2)(1+)2+…+)n, (1-)2+…+·(-)n. 当n为正奇数时,(1+)2+…++…+),显然+…+为正整数, 所以(1++…+)为偶数; 当n为正偶数时,(1+)2+…++…+),显然+…+为正整数, 所以(1++…+)为偶数. 综上,当n∈N*时,(1+)n为偶数. 能力提升练 1.A 2.ABD 5.A 6.B 7.ABD 8.BC 1.A　由题意可得x>0, 当0<x<1时,x<, 其展开式的通项为Tr+1=, 由题意得,当=15,解得n=6,r=4; 当x≥1时,x≥, 其展开式的通项为Tk+1=, 由题意得,当n-=15,解得n=6,k=2. 综上所述,n=6,所以展开式共有7项,故展开式中二项式系数最大的项是第4项. 2.ABD　, 则前3项的系数分别为, 由题意可得2×, 即n=1+,解得n=8或n=1(舍去), 所以n=8,故A正确; =128,故B正确; xk-4, 令k-4=0,则k=4,所以,故C错误; 设展开式中第(r+1)项的系数最大, 则解得2≤r≤3,又0≤r≤8,r∈N,所以r=2或r=3, 所以展开式中系数最大的项为第3项和第4项,故D正确. 方法总结 　　求(a+b)n的展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合0≤k≤n,k∈N,确定k的值,进而解决问题. 3.答案　 解析　显然a=0不符合题意. (1+ax)8的展开式的通项为Tr+1=arxr. 当a>0时,所有项的系数均为正数, 此时需满足. 当a<0时,奇数项的系数均为正数,偶数项的系数均为负数,此时需满足. 综上,实数a的取值范围是. 4.解析　由题意知,第5项的系数为=10, 化简,得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去), 故. (1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1. (2), 令4-. (3)·2r+1, 设第(r+1)项的系数的绝对值最大, 则解得5≤r≤6(r∈N*). 又第6项的系数为负, 所以系数最大的项为T7=1 792. 由n=8知第5项的二项式系数最大,T5=1 120x-6. 5.A　令x=0,得a0=1, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2, 所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0. 6.B　令t=x+1,则x=t-1,则(2-x)2 025=(3-t)2 025=a0+a1t+a2t2+…+a2 025t2 025, (3-t)2 025的展开式的通项为Tk+1=·(-1)k·32 025-ktk, 易知展开式中,奇数项的系数均为正数,偶数项的系数均为负数, 所以|a0|+|a1|+…+|a2 025|=a0-a1+a2-…+a2 024-a2 025. 令t=-1,得42 025=a0-a1+a2-…+a2 024-a2 025, 所以|a0|+|a1|+…+|a2 025|=42 025=24 050. 7.ABD　对于A,令x=1,则a0=(1-2×1)8=1,故A正确; 对于B,令x=0,则a0+a1+a2+…+a8=(1-0)8=1, 令x=2,则a0-a1+a2-…-a7+a8=(1-2×2)8=38, 所以a1+a3+a5+a7=,故B正确; 对于C,令x==-1,故C错误; 对于D,将等式两侧同时求导,得-16(1-2x)7=-a1-2a2(1-x)-…-8a8(1-x)7, 令x=0,得-a1-2a2-…-8a8=-16,则a1+2a2+3a3+…+8a8=16,故D正确. 8.BC　对于cos 3x+cos 4x+cos 5x=f(cos x)=a0+a1cos x+…+a5(cos x)5, 令cos x=0,得x=kπ+,k∈Z,此时f(0)=a0=cos=1,故A错误; 令cos x=1,得x=2kπ,k∈Z,此时f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=cos 6kπ+cos 8kπ+cos 10kπ=3,又a0=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=2,故B正确; 令cos x=-1,得x=2kπ+π,k∈Z,此时f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=cos 3π+cos 4π+cos 5π=-1,又a0=1, 所以a1-a2+a3-a4+a5=2,故C正确; 令cos x=,k∈Z,此时f=-1, 所以a5=-2,故D错误. 9.解析　(1)(1-2x)10的展开式的通项为Tr+1=xr, 当r=2时,T3=(-2)2·x2=180x2,所以a2=180. (2)令x=0,得a0=1, 令x=-, 所以-=210-1=1 023. (3)对(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10两边求导得-20(1-2x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9. 对-20(1-2x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9两边求导得 360(1-2x)8=2a2+3×2a3x+4×3a4x2+…+10×9a10x8. 令x=1,得360=2a2+3×2a3+4×3a4+…+10×9a10, 所以i(i-1)ai=3×2a3+4×3a4+…+10×9a10=360-2a2=0. 15 学科网（北京）股份有限公司 $