2026年中考一轮复习 专题19相似三角形 突破讲义(全国通用)

专题19相似三角形突破讲义 【模块一 相似三角形的判定与性质】..........................................8 【题型01 比例的性质】......................................................8 【题型02 成比例线段】................................................... ..8 【题型03 平行线分线段成比例定理】....................................... ..9 【题型04 相似多边形的性质】...............................................10 【题型05 利用两角对应相等判定相似】.......................................11 【题型06 利用两边成比例且夹角相等判定相似】...............................12 【题型07 补充条件使三角形相似】...........................................13 【题型08 相似三角形判定与性质综合】.......................................14 【题型09 利用相似三角形的性质求解】.......................................15 【题型10 证明三角形对应线段成比例】.......................................15 【题型11 利用相似求坐标】.................................................16 【题型12 相似三角形的实际应用】...........................................17 【题型13 位似图形及作图】.................................................19 【模块二 相似三角形中考高频模型】.........................................20 【题型14 A型相似模型】..................................................20 【题型15 X型相似模型】..................................................21 【题型16 K型相似模型】..................................................22 【题型17 子母型相似模型】.................................................23 【题型18 双垂直型相似模型】...............................................24 【题型19 手拉手型相似模型】...............................................25 【模块三 相似三角形动点综合题】...........................................26 【题型20 相似三角形动点下的线段长度求解】.................................26 【题型21 相似三角形动点背景下的线段最值探究】.............................27 【题型22 相似三角形动点问题中的线段比值计算】.............................28 【题型23 相似三角形动点存在性问题探究】...................................29 【题型24 相似三角形与函数的动点综合题】...................................30 · 分值占比：相似三角形是中考几何核心考点，总分值约 8–12 分，覆盖选择、填空、解答（几何综合题）三种题型，是区分度较大的提分关键板块。 · 常考考点：聚焦相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相等、周长 / 面积比与相似比的关系）、基本模型（A 字型、8 字型、手拉手、母子相似等）、与函数 / 圆 / 实际测量的综合应用四大方向。 · 命题趋势：基础题侧重判定与性质的直接运用，中档题侧重模型识别与比例计算，难题多以几何综合、函数结合、实际测量（如测高、测距）为主，且结合网格、折叠、动态几何的题型占比逐年提升。 ★知识梳理★. 知识点01:比例线段 1.成比例线段 在四条线段 a,b,c,d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 ​，那么这四条线段叫作成比例线段。 2.比例的基本性质 3.黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点02:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 · 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 · 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点03.相似图形与相似多边形 1.相似图形 形状完全相同，大小不一定相同的两个图形称为相似图形。 2.相似多边形 两个边数相同的多边形，如果满足： 对应角分别相等 对应边成比例则这两个多边形相似。 3.相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比。 相似比具有顺序性，△ABC∽△A′B′C′ 与 △A′B′C′∽△ABC 的相似比互为倒数。 知识点04:相似三角形（中考核心） 1. 相似三角形定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C k △ABC∽△A′B′C′ 2. 相似三角形判定 (1)预备定理（平行判定） 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 已知：在 △ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E。 结论：△ADE∼△ABC。 (2)两角分别相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，∵∠A=∠A′, ∠B=∠B′∴△ABC∽△A′B′C′(AA) (3)两边成比例且夹角相等（SAS） 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵, ∠A=∠A′ ∴△ABC∽△A′B′C′(SAS) (4)三边成比例（SSS） 三边对应成比例的两个三角形相似。 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ∴△ABC∽△A′B′C′(SSS) (5)直角三角形相似判定 一组锐角相等 斜边与一条直角边对应成比例满足其一，两个直角三角形相似。 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90∘，且 ∠A=∠A′。 结论：锐角相等：∵∠C=∠C′=90∘, ∠A=∠A′⟹Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 斜边直角边成比例：∵∠C=∠C′=90∘, ⟹Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点05:位似图形 1.位似图形定义 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫作位似图形，该交点叫作位似中心。 2.位似的性质 位似图形一定相似，相似图形不一定位似。 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 3.平面直角坐标系中的位似变换 以原点为位似中心，位似比为 k，则原图形上点 (x,y) 的对应点为：(kx, ky)或(−kx, −ky) 知识点06:中考高频相似模型 1.A 字型相似 DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 2.8 字型（X 型）相似 AB∥CD，交点为 O，则 △AOB∽△COD 3.母子型（射影定理模型） 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于 D，则△ABC∽△ACD∽△CBD 且有射影定理：AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD 4.一线三等角模型 一条直线上有三个相等的角，可利用外角或内角关系推出两组角相等，从而证明三角形相似。 知识点07:常见解题思想与方法 1.证明线段成比例、求线段长度：先证相似，再列比例式。 2.求面积：先求相似比，面积比 = 相似比平方。 3.坐标与相似：优先用位似变换或坐标比例关系。 4.复杂图形：拆成 A 字型、8 字型、母子型、一线三等角等基本模型 【模块一 相似三角形的判定与性质】 【题型1.比例的性质】 .【典例】若，则________． 【跟踪专练1】若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【跟踪专练2】已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为________； 【跟踪专练3】，，为非零实数，且，若，则等于（    ）. A．8 B．4 C．2 D．1 【题型2.成比例线段】 【典例】已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 【跟踪专练1】下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪专练2】已知是成比例线段，则______． 【跟踪专练3】如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【题型3.平行线分割线段成比例定理】 【典例】如图 ，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，．若 则 _______． 【跟踪专练1】如图，已知 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点，点分别是，上的点，，且， （1）则的值为_____； （2）若，则四边形面积的最大值为_____， 【跟踪专练3】如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4.相似多边形的性质】 【典例】如图，四边形四边形，若，，，则______. 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【题型5.利用两角对应相等判定相似】 【典例】如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【跟踪专练1】.如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【跟踪专练3】将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.利用两边成比例且夹角相等判定相似】 【典例】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【跟踪专练3】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.补充条件使三角形相似】 【典例】已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是_______（只需填一个）．    【跟踪专练1】如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【跟踪专练3】如图，AD//BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝11，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.相似三角形判定与性质综合】 【典例】如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2.】如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，把沿着折叠，点的对应点落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则______． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型9.利用相似三角形的性质求解】 【典例】如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【跟踪专练1】如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． . 【跟踪专练3】如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【题型10.证明三角形的对应线段成比例】 【典例】如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于_______．    【跟踪专练1】《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，若，，，则的长为______.    【跟踪专练3】如图，山顶一铁塔AB 在阳光下的投影CD 的长为6 米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60° ，则铁塔AB 的高为(     ) A．8米 B．米 C．米 D．16米 【题型11.利用相似求坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【跟踪专练3】如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【题型12.相似三角形的实际应用】 【典例】如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【跟踪专练3】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【题型13.位似图形及作图】 【典例】在平面直角坐标系中，点E的坐标为，点F的坐标为，以原点O为位似中心，把按相似比缩小，则点E的对应点的坐标是_________． 【跟踪专练1】如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段，则端点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 【模块二 相似三角形中考高频模型】 【题型14 A型相似模型】 【典例】如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是________． 【跟踪专练1】如图，中，，．点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，连接．则面积的最大值______．    【跟踪专练2】如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（  ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D100E100）+5（D1F1+D2F2+…+D100F100）＝（　　） A．2040 B．2020 C．2000 D．1980 【题型15.X型相似模型】 【典例】中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_________． 【跟踪专练1】如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为_______． 【跟踪专练2】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为___________． 【跟踪专练3】如图，中，若，点D为中点，过点D的直线交于点G，交直线于点F，交于点E，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【题型16.K型相似模型】 【典例】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则____________． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是斜边的中点，点在射线上运动，与边所在直线交于点，且，连接．当，时，①；②；③当时，则；④当时，则的面积为．则以上说法正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练3】在梯形中，如图，，以点A为中心，为半径逆时针旋转90°至AE，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型17.字母型相似模型】 【典例】如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 【跟踪专练3】如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型8.双垂直型相似模型】 【典例】如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件________________，使．(只需写出一个) 【跟踪专练1】如图，中，，，的平分线交于E、交于F，下列结论中错误的是 （    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，于D，如果和的面积比为，那么的长是（   ） A．8 B．12 C．16 D．4 【跟踪专练3】定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是______． 【题型19.手拉手型相似模型】 【典例】如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【跟踪专练1】如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 【跟踪专练3】如图，将绕点C逆时针旋转至， 点 D 落在边上，连接．若，平分，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【模块三 相似三角形动点综合题】 【题型20 相似三角形动点下的线段长度求解】. 【典例】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【跟踪专练1】如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为__________． 【跟踪专练2】如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当______时，与相似． 【跟踪专练3】如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为__________ 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为__________ 秒． 【题型21.相似三角形动点背景下的线段最值探究】 【典例】如图，在等边三角形中，，点D，E分别为边上一点，连接，若，则的最小值为____________． 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是边BC上的一点，2EC=BE，点P是对角线AC上的一个动点，连接PE，过点E作EQ⊥EP交线段AC于点Q，则PQ的最小值是（   ） A．1 B． C． D．3 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． . 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在右侧作矩形，使得点在边上，若，则线段的最大值是______． 【题型22.相似三角形动点问题中的线段比值计算】 【典例】如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为__________． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是______； （2）的长是______． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，E为边上一点，，点P沿着边按的路线运动．在运动过程中，若中有一个角为，则的长为____________． 【跟踪专练3】如图，在边长为6的正方形内部存在一动点P，且满足，连接，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型23 相似三角形动点存在性问题探究】 【典例】如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当_________秒时，与相似． 【跟踪专练2】如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【题型24 相似三角形与函数的动点综合题】 【典例】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在中，，，，点从出发沿方向运动，从出发，沿方向运动，同时开始运动，速度都为1，运动时间为，的面积为．在运动过程中与大致的函数图象为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19相似三角形突破讲义 【模块一 相似三角形的判定与性质】..........................................8 【题型01 比例的性质】......................................................8 【题型02 成比例线段】.....................................................10 【题型03 平行线分线段成比例定理】.........................................12 【题型04 相似多边形的性质】...............................................16 【题型05 利用两角对应相等判定相似】.......................................19 【题型06 利用两边成比例且夹角相等判定相似】...............................21 【题型07 补充条件使三角形相似】...........................................25 【题型08 相似三角形判定与性质综合】.......................................28 【题型09 利用相似三角形的性质求解】.......................................32 【题型10 证明三角形对应线段成比例】.......................................35 【题型11 利用相似求坐标】.................................................38 【题型12 相似三角形的实际应用】...........................................42 【题型13 位似图形及作图】.................................................46 【模块二 相似三角形中考高频模型】.........................................49 【题型14 A型相似模型】..................................................49 【题型15 X型相似模型】..................................................53 【题型16 K型相似模型】..................................................57 【题型17 子母型相似模型】.................................................62 【题型18 双垂直型相似模型】...............................................66 【题型19 手拉手型相似模型】...............................................69 【模块三 相似三角形动点综合题】...........................................72 【题型20 相似三角形动点下的线段长度求解】.................................76 【题型21 相似三角形动点背景下的线段最值探究】.............................80 【题型22 相似三角形动点问题中的线段比值计算】.............................84 【题型23 相似三角形动点存在性问题探究】...................................86 【题型24 相似三角形与函数的动点综合题】...................................90 · 分值占比：相似三角形是中考几何核心考点，总分值约 8–12 分，覆盖选择、填空、解答（几何综合题）三种题型，是区分度较大的提分关键板块。 · 常考考点：聚焦相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相等、周长 / 面积比与相似比的关系）、基本模型（A 字型、8 字型、手拉手、母子相似等）、与函数 / 圆 / 实际测量的综合应用四大方向。 · 命题趋势：基础题侧重判定与性质的直接运用，中档题侧重模型识别与比例计算，难题多以几何综合、函数结合、实际测量（如测高、测距）为主，且结合网格、折叠、动态几何的题型占比逐年提升。 ★知识梳理★. 知识点01:比例线段 1.成比例线段 在四条线段 a,b,c,d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 ​，那么这四条线段叫作成比例线段。 2.比例的基本性质 3.黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点02:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 · 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 · 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点03.相似图形与相似多边形 1.相似图形 形状完全相同，大小不一定相同的两个图形称为相似图形。 2.相似多边形 两个边数相同的多边形，如果满足： 对应角分别相等 对应边成比例则这两个多边形相似。 3.相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比。 相似比具有顺序性，△ABC∽△A′B′C′ 与 △A′B′C′∽△ABC 的相似比互为倒数。 知识点04:相似三角形（中考核心） 1. 相似三角形定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C k △ABC∽△A′B′C′ 2. 相似三角形判定 (1)预备定理（平行判定） 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 已知：在 △ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E。 结论：△ADE∼△ABC。 (2)两角分别相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，∵∠A=∠A′, ∠B=∠B′∴△ABC∽△A′B′C′(AA) (3)两边成比例且夹角相等（SAS） 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵, ∠A=∠A′ ∴△ABC∽△A′B′C′(SAS) (4)三边成比例（SSS） 三边对应成比例的两个三角形相似。 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ∴△ABC∽△A′B′C′(SSS) (5)直角三角形相似判定 一组锐角相等 斜边与一条直角边对应成比例满足其一，两个直角三角形相似。 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90∘，且 ∠A=∠A′。 结论：锐角相等：∵∠C=∠C′=90∘, ∠A=∠A′⟹Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 斜边直角边成比例：∵∠C=∠C′=90∘, ⟹Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点05:位似图形 1.位似图形定义 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫作位似图形，该交点叫作位似中心。 2.位似的性质 位似图形一定相似，相似图形不一定位似。 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 3.平面直角坐标系中的位似变换 以原点为位似中心，位似比为 k，则原图形上点 (x,y) 的对应点为：(kx, ky)或(−kx, −ky) 知识点06:中考高频相似模型 1.A 字型相似 DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 2.8 字型（X 型）相似 AB∥CD，交点为 O，则 △AOB∽△COD 3.母子型（射影定理模型） 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于 D，则△ABC∽△ACD∽△CBD 且有射影定理：AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD 4.一线三等角模型 一条直线上有三个相等的角，可利用外角或内角关系推出两组角相等，从而证明三角形相似。 知识点07:常见解题思想与方法 1.证明线段成比例、求线段长度：先证相似，再列比例式。 2.求面积：先求相似比，面积比 = 相似比平方。 3.坐标与相似：优先用位似变换或坐标比例关系。 4.复杂图形：拆成 A 字型、8 字型、母子型、一线三等角等基本模型 【模块一 相似三角形的判定与性质】 【题型1.比例的性质】 .【典例】若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系设出参数，把和用含参数的式子表示，再代入待求式，通过约分消去参数得到结果． 【详解】解：， 设，， 则． 【跟踪专练1】若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 【跟踪专练2】已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为________； 【答案】3 【分析】本题考查比的应用，设，将、、分别用含的代数式表示出来，设，将、、分别用含的代数式表示出来，根据、、为非负数列关于的一元一次不等式组并求其解集，将、、分别代入并化简，从而将用含的代数式表示出来，进而分别求出的最大值和最小值，再求出二者之差即可． 【详解】解：设， 则，，， 、、为非负数， ， 解得， ， 当时值最大，， 当时值最小，， ． 故答案为：3． 【跟踪专练3】，，为非零实数，且，若，则等于（    ）. A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据已知设，得出方程组，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而有，. 化为整式方程有 三式相加，可得. 题设，故知. 从而可知 于是. 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 【题型2.成比例线段】 【典例】已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 【答案】2 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段是和的比例中项时，满足，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵线段是、的比例中项， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为． 【跟踪专练1】下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】已知是成比例线段，则______． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，再根据比例的基本性质，求得的值即可，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【题型3.平行线分割线段成比例定理】 【典例】如图 ，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，．若 则 _______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，已知 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，根据以上知识，结合图形逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 故选：D ． 【跟踪专练2】如图，在中，点，点分别是，上的点，，且， （1）则的值为_____； （2）若，则四边形面积的最大值为_____， 【答案】 ４ 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，点的轨迹等知识，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）过点D作交于点，得得，由得，设，则，求出，由得； （2）根据题意得点在以点为圆心，6为半径的圆上，定长，当时，的面积最大，为；再分别求出的面积和的面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 过点D作交于点，如图， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∴， ∵, ∴； （2）根据题意得点在以点为圆心，6为半径的圆上，定长，当时，的面积最大，为； ∵， ∴的面积； ∵， ∴的面积； ∵， ∴的面积， ∴四边形面积的最大值为； 故答案为：4；． 【跟踪专练3】如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，即，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选:D． 【题型4.相似多边形的性质】 【典例】如图，四边形四边形，若，，，则______. 【答案】/度 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 【题型5.利用两角对应相等判定相似】 【典例】如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 【跟踪专练1】.如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可. 【详解】解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 【跟踪专练3】将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 【题型6.利用两边成比例且夹角相等判定相似】 【典例】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 故该选项不符合题意； B．由A选项得， 又∵， ∴， 故该选项不符合题意； C．该选项条件无法得出， 故该选项符合题意； D．∵， ∴， 由A选项得， ∴， 故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【答案】或 【分析】结合相似三角形的判定找出可能成比例的线段：或，设，则，分别由或推出，，再结合有且只有两个点进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， ， 当或时，与相似， 四边形是平行四边形， ， 设，则， 当时，， ， 当时，， ， 有且只有两个点， 有两种情况， 第一种情况：有两个相等的实数根， ， 或， 又， ； 第二种情况：有两个不等的实数根，且是它的一个根， ，， 或， 又， ； 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定、平行四边形的性质、根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 【跟踪专练3】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，需要逐一分析每个选项，判断是否满足相似三角形的条件即可． 【详解】解：A项：∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意； B项：∵，， ∴，不符合题意； C项：∵，， ∴，不符合题意； D项：无法得出和相似，符合题意． 故选：D． 【题型7.补充条件使三角形相似】 【典例】已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是_______（只需填一个）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的证明，已知和，即可证明，即可解题． 【详解】证明：∵和， ∴， 故添加条件即可证明， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：， ∴； ， ∴，即， ∵， ∴； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ， ∴； ， ∴，无法得到， 所以一共有4个． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，AD//BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝11，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数． 【详解】解：如图， ∵AD∥BC，∠D=90° ∴∠C=∠D=90° ∵DC=11，AD=2，BC=5． 设PD=x，则PC=11-x； ①若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC 解得：,即. ②若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△CBP ， 解得：x=1或x=10，即PD=1或PD=10． ∴这样的点P存在的个数有3个． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 【题型8.相似三角形判定与性质综合】 【典例】如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，根据全等三角形的判定与性质，求得，所以，再证明，求出，最后根据三角函数的定义求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了求三角函数值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键． 【跟踪专练2.】如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，把沿着折叠，点的对应点落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当时，根据折叠的性质直接可得，当时，延长至，使得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵把沿着折叠，点的对应点落在边上， ∴， 当时，． 在中，，，， ∴， 当时，如图，延长至，使得， 则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 综上所述， 或． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由菱形的性质和得，由折叠得,由勾股定理得,，证明四边形是平行四边形，得，，再证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，且， ∵， ∴, 设，则， 由折叠得, 在中，； ∴， 又四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型9.利用相似三角形的性质求解】 【典例】如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 【跟踪专练1】如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，如果，那么它们的对应边成比例，且对应角相等，即可解答． 【详解】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． . 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据得到和，根据相似三角形的性质得到，由于D为边的四等分点，可证得，根据三角形的面积公式证得，再次利用相似三角形的性质得到，据此进行计算四边形的面积即可． 【详解】解：连接， 、 ，即 、 、 ． 故选：B． 【题型10.证明三角形的对应线段成比例】 【典例】如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于_______．    【答案】2：3 【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD=2BD， ∴， ∴DE：BC=2：3， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系． 【跟踪专练1】《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，若，，，则的长为______.    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 【跟踪专练3】如图，山顶一铁塔AB 在阳光下的投影CD 的长为6 米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60° ，则铁塔AB 的高为(     ) A．8米 B．米 C．米 D．16米 【答案】B 【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解． 【详解】设直线AB与CD的交点为点O． ∴ ． ∴AB=． ∵∠ACD=60°． ∴∠BDO=60°． 在Rt△BDO中，tan60°=． ∵CD=6． ∴AB=×CD=6． 故选：B． 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形． 【题型11.利用相似求坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【跟踪专练2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 【跟踪专练3】如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 【题型12.相似三角形的实际应用】 【典例】如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 【答案】40 【分析】本题主要考查相似三角形的应用：证明，得到即可求解． 【详解】解：∵在点正南方，在点正东方， ， ， ， ， ， ，即，解得， 故答案为：40． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，比例式的计算与求解，识别相似三角形模型是解题关键． 利用平行投影性质，推出，再通过相似三角形的比例关系代入已知线段长度，算出树高． 【详解】解：由同一时刻太阳光的平行投影性质，可知太阳光线平行， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得． 故选：． 【跟踪专练2】如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练3】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 【题型13.位似图形及作图】 【典例】在平面直角坐标系中，点E的坐标为，点F的坐标为，以原点O为位似中心，把按相似比缩小，则点E的对应点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了位似图形的性质， 根据位似变换的性质，以原点为位似中心，相似比为，点E的对应点的坐标是点E的坐标乘以相似比或相似比的相反数． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为， ∴点的对应点的坐标为，即或 ，即． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律． 根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：，且相似比为， ， ，， ，， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段，则端点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，解答本题的关键是找到相似比． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点的坐标即可． 【详解】解：以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段， 点与点是对应点， 点的对应点的坐标为，位似比为， 端点的坐标为， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 【答案】 【分析】 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 连接，交于，根据位似中心的概念得到点为位似中心，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到点的坐标． 【详解】 解：如图，连接，交于，则点为位似中心， 由题意可知：，，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴位似中心点的坐标为， 故答案为：． 【模块二 相似三角形中考高频模型】 【题型14 A型相似模型】 【典例】如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例，结合重心的性质，得到，进而得到，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与面积的比值为； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，，．点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，连接．则面积的最大值______．    【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数求最值；设，根据，可得，从而得到，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴面积的最大值为6， 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，设，（定值），根据正弦的定义得，推出，证明得，推出，证明得，然后依次对各选项进行求解即可作出判断． 【详解】解：过点作于点，设，（定值），    ∴在等腰中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， A．，是定值，故此选项符合题意； B．，不是定值，故此选项不符合题意； C．，不是定值，故此选项不符合题意； D．，不是定值，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识点，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D100E100）+5（D1F1+D2F2+…+D100F100）＝（　　） A．2040 B．2020 C．2000 D．1980 【答案】C 【分析】根据可得,代入值化简得到: ，同理有如下规律：，…从而得出结论． 【详解】∵ ∴ ∵，代入化简： 同理：，… ∴ 故答案选：C 【点睛】本题考查了相似三角形，利用平行得到相似和转化线段是解题关键． 【题型15.X型相似模型】 【典例】中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定．根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为_______． 【答案】 【分析】根据，结合，证明，列式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：相交于点， ， 又， ， 故， 又， 故， 故答案为：9． 【跟踪专练2】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边的比相等的性质是解题的关键． 先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，若，点D为中点，过点D的直线交于点G，交直线于点F，交于点E，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的相似，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． 作，可得，进一步得到线段的比例关系式，逐步得到关键结论与，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ， 点D为中点，， ， ， ，即． ，，， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【题型16.K型相似模型】 【典例】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则____________． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是斜边的中点，点在射线上运动，与边所在直线交于点，且，连接．当，时，①；②；③当时，则；④当时，则的面积为．则以上说法正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形．先证明四边形为圆内接四边形，得出，根据是斜边中点，得出，即可得出，即可判断②，根据和只有一对对顶角相等，即可判断①；当时，得出，即可判断③，根据，，即可证明，设，，，则，在中，根据勾股定理得，解得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：，， ， 四边形为圆内接四边形， ， 是斜边中点， ， ，即，故②正确； 和只有一对对顶角相等，故①错误； 当时，如图，由四边形为圆内接四边形， ， ，过作， 由， ， ， 又点是斜边中点， ， ， ， ， ， ， 而，， ，，故③错误； ，，在中，根据勾股定理得， ∵，， ∴， ， ， 故设，，，则， ， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，解得， ，故④正确． 故选：C． 【跟踪专练3】在梯形中，如图，，以点A为中心，为半径逆时针旋转90°至AE，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，如图，过点作于，过点作于，交的延长线于，则，证明四边形是正方形，则，再证明和是等腰直角三角形，则，，最后根据勾股定理可得结论． 【详解】解：解法一：如图，过点作于，过点作于，交的延长线于，则， ， ，， 四边形是矩形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， 由勾股定理得：． 解法二：如图2，过点作，交于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【题型17.字母型相似模型】 【典例】如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 【详解】解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质； （1）根据折叠的性质求出，，然后利用三角函数的定义解答即可； （2）根据可得，然后证明，根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆内接四边形，圆周角定理．根据，可得四点共圆，利用圆周角定理证明点为的中点，再证明，即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， 四点共圆， ， ， ， ， ， 由，可得， 同理可得， ，即F是的中点， ， ， 由四点共圆，可得， ， ， ， ， ． 故选：A． 【题型8.双垂直型相似模型】 【典例】如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件________________，使．(只需写出一个) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，中，，，的平分线交于E、交于F，下列结论中错误的是 （    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，根据同角的余角相等，有两组对应角相等的两个三角形相似，等角对等边，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵的平分线交于E、交于F， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形；故选项B正确，不符合题意； 无法得到；故选项C错误，符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，于D，如果和的面积比为，那么的长是（   ） A．8 B．12 C．16 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，根据相似三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积比为， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练3】定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据正割的定义，在中，，．由点 D 是中点，点 E 在 上，且，然后利用相似三角形和勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图：在中，，设，则． ∵点 D 是 中点， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理得， ∴，化简得：． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 将代入可得：． 将代入得，整理得． 设，则． 代入得，即． 两边平方并整理得， 令，得，解得（舍去负根）， ∴，即 ． 故答案为：． 【题型19.手拉手型相似模型】 【典例】如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；核心技巧是利用旋转得到的等线段和旋转角，构造等腰三角形求解；易错点是误将旋转角当作三角形的内角，或忽略等腰三角形两底角相等的性质． 先根据旋转性质得到和，从而判定为等腰三角形；再利用等腰三角形 “等边对等角” 和三角形内角和定理，直接计算出的度数． 【详解】由旋转可知：，． 为等腰三角形． 在等腰中，． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 【答案】/度 【分析】由旋转性质得出，求出即可求出结论． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，将绕点C逆时针旋转至， 点 D 落在边上，连接．若，平分，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，两直线平行的性质，根据相关性质得到是解题的关键． 由旋转可得，可得，即可得，进而得到，设，利用根据内错角及同旁内角可解得，再根据，得到即可求解． 【详解】由题知， ， 即， ， 又平分， 所以， 则，设 ，，， ，， 则，解得， ， ， ， ， ． 故选：C． 【模块三 相似三角形动点综合题】 【题型20 相似三角形动点下的线段长度求解】. 【典例】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 【跟踪专练1】如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为__________． 【答案】6或 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 首先求出，，根据题意表示出，，然后分和两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒， ∴， ①当时， ∴，即 ∴； 当时， ∴，即 ∴ 综上所述，t的值为6或． 故答案为：6或． 【跟踪专练2】如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当______时，与相似． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况讨论，若，则；若，则，以此为等量关系列出方程，求出，进而求出时间即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， 若， 则， ， 或4， 或， 若， 则， ， ， ， 故答案为：或或． 【跟踪专练3】如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为__________ 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为__________ 秒． 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当时，即当时，又因为，则，代入数值到进行计算，即可作答． （2）因为与不平行，则当时，结合，证明，再代入数值到，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行，且 ，， 即 ， ， ， 解得：； 故答案为：； 【题型21.相似三角形动点背景下的线段最值探究】 【典例】如图，在等边三角形中，，点D，E分别为边上一点，连接，若，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 设，得到，推断出，得到，推导出，则当时，取最大值，最大值为，此时取得最小值为，即可解答． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，开口向下，对称轴为， ∴当时，取最大值，最大值为， 当取最大值2时，取得最小值为． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是边BC上的一点，2EC=BE，点P是对角线AC上的一个动点，连接PE，过点E作EQ⊥EP交线段AC于点Q，则PQ的最小值是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解析：在Rt△ABC中， AC=， 取PQ中点M，在Rt△PEQ中， PQ=2EM， 当EM⊥AC时，EM最小， ∵∠EMC=∠ABC=90°， ∠ECM=∠ACB， ∴△EMC∽△ABC ∴， 即， ∴EM=， ∴PQ= 故选：C 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． . 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及“将军饮马”模型(对称求最短路径)的综合应用．先利用正方形的边长与对角线关系，结合已知的线段比例，证明，从而得到的线段转化关系；再将所求表达式代换为，把问题转化为求的最小值；最后通过作点关于的对称点，利用“两点之间线段最短”，得到的最小值为的长度，代入计算即可得出最终结果． 【详解】解：如图，连接，取关于的对称点，连接． ∵四边形是正方形，且， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∴，即， ∴． ∵为对称轴， ∴，， ∴，； ∴当、、三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度； 此时； ∴的最小值为； 代入得． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在右侧作矩形，使得点在边上，若，则线段的最大值是______． 【答案】1 【分析】因得，在中，根据同角的余角相等得，可证明，由相似三角形的性质和二次函数可求线段的最大值． 【详解】解：四边形是正方形，四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 设，则， 即， 整理得：， ，且， 当时，， 线段的最大值是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等相关知识，重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值． 【题型22.相似三角形动点问题中的线段比值计算】 【典例】如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为__________． 【答案】10 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，结合旋转的性质判定，则，进一步证明，则，即可求得，那么，的周长为即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∵，， ∴， 则的周长为， 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是______； （2）的长是______． 【答案】 或14 【分析】（1）分图1和图2两种情况，可证明得到，然后导角可证明； （2）分图1和图2两种情况，可证明，设，然后表示出，由勾股定理得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴；      如图2所示，当A，D，E三点在同一条直线上时，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，； 故答案为：； （2）如图1所示，∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去； ∴； 如图2所示，∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去； ∴； 综上所述，的长为10或14； 故答案为：10或14． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，E为边上一点，，点P沿着边按的路线运动．在运动过程中，若中有一个角为，则的长为____________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．分两种情况：当点P落在边上时，当点P落在边上时，即可求解． 【详解】解：当点P落在边上，且时，记为，过点作于点F． ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴． ∴． 当点P落在边上时， ①若，记为，过点作于点G．则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若，记为，过点作于点H． ∵， ∴． 综上所述，或． 【跟踪专练3】如图，在边长为6的正方形内部存在一动点P，且满足，连接，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质和判定等知识，判断出点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长交于点E，连接，证明与相切，得到，延长交于点F，则，，证明，则，由的长为定值6，则若要取最大值，则取最大值即可，求出的最大值为，即可得到答案． 【详解】∵点P在运动过程中始终满足， 故点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分）， 延长交于点E，连接， ∵四边形为正方形， ∴，且， ∴与相切， ∴， ∴， 延长交于点F， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长为定值6， 故若要取最大值，则取最大值即可， ∴要取得最大值，则为直径时，可取得最大值为12， ∴的最大值为， 即的最大值为2． 故选：B． 【题型23 相似三角形动点存在性问题探究】 【典例】如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可． 【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动， ∴点的时间为，点的时间为， 设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当_________秒时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】由题可得：，， 设，， ， 当时，， ， ， ， 秒； 当时，， ， ， ， ； 的值是或． 【跟踪专练2】如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)当时，最大值为 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴当时，最大为， ∴当时，最大值为． 【题型24 相似三角形与函数的动点综合题】 【典例】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 【跟踪专练1】如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、根据动点运动过程求图形面积并确定函数图象．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 先根据坐标求出、等边长，分时，证明与相似，求出，进而得到关于的表达式；时，证明与相似，求出，通过得出关于的表达式，根据两个阶段的函数表达式确定函数图象． 【详解】，， ，，， ，， ∵， ∴， ∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动， ∴， 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动， ∴，， ∴ ∴ ， ∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为四边形 ∴点F运动的距离为t，， ∴，， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ， ． 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下． 综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数． 故选：A． 【跟踪专练2】如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 【跟踪专练3】在中，，，，点从出发沿方向运动，从出发，沿方向运动，同时开始运动，速度都为1，运动时间为，的面积为．在运动过程中与大致的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、的运动速度和运动路径，分三段确定自变量的取值范围，在每个取值范围内结合几何知识推导出的面积关于的函数表达式，再根据表达式判断对应函数的类型及图象特征，进而排除不符合的选项得到正确答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 的面积为． 点、的速度均为，运动时间为， ①当在上，在上时，，，． 过作于，由，得，即， ∴，为开口向上经过原点的二次函数．排除B选项． ②当在上，在上时，，，，则． 过作于，∵， ∴， ∴，为常数，图象是水平线段． ③当在上，在上时，，，， 过作于，由，得，即， ∴，为开口向上的二次函数．排除A、D选项． 综上，选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $