1.4.1 课时3 空间中直线、平面的垂直课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 课时3 空间中直线、平面的垂直 第一章 空间向量与立体几何 探究1：线线垂直 2 3 4 5 探究2：线面垂直 6 a∥u a=ku(k∈R) 7 8 9 10 11 探究3：面面垂直 12 13 14 15 16 17 知识梳理 数量积为0 直线与平面垂直 方向向量与法向量共线 平面与平面垂直 法向量垂直 空间中直线、平面的垂直 直线与直线垂直 证明直线AB,CD的方向向量的数量积为0. 情境：小明利用纸盒折了一个正六棱柱，如图，根据正棱柱的定义可知AB⊥AE. 问题1：图中AE与CD，AB与CD是什么位置关系? AE∥CD， AB与CD是异面直线，且垂直. 问题2：如何用向量法证明AB与CD垂直? 新知生成： 设直线l1的方向向量为a=(a1,a2,a3)，直线l2的方向向量为b=(b1,b2,b3)， 则l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 方法总结： 用向量方法证明直线l1与l2垂直，取l1，l2的方向向量e1，e2，则e1·e2=0或cos<e1，e2>=0. 例1：已知正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M,N分别是棱BB'，对角线CA'的中点. 求证：MN⊥BB'，MN⊥A'C. 分析：正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相互垂直，故方便建系，求出点的坐标，然后只要验证·=0，·=0即可. 解析：设正方体棱长为1，以A为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系； 则M，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A'(0，0，1)，N，B'(1，0，1)， 所以=，=(1，1，-1)，=(0，0，1)， 故·=·(1，1，-1)=0，·=·(0，0，1)=0， ∴MN⊥A'C，MN⊥BB'. 解析：如图，以点A为原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴， ，所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B1，M，N， 所以=，=，故·=-++=0. 因此⊥，即AB1⊥MN. 【训练1】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1. 求证：AB1⊥MN. 问题2：如何用向量法证明直线与平面垂直? 垂直；因为OA⊥底面,所以OA垂直底面上的任意一条直线. 情境：如图所示的是绕直角三角形的一条直角边OA旋转一周形成的图形. 根据图形回答下列问题. 问题1：圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直?为什么? 证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. 新知生成： 设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1)，平面α的法向量是u=(a2,b2,c2)， 则l⊥α⇔　 　⇔　 　⇔　 　.  (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) 例2：如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点. 求证：AB1⊥平面A1BD. 分析： （1）通过证明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD； （2）证明与平面A1BD的法向量平行. 方法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以点O为原点， 以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， 所以=(1，2，-)，=(-1，2，)，=(-2，1，0)， 故·=1×(-1)+2×2+(-)×=0，·=1×(-2)+2×1+(-)×0=0， 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B，且BA，BD⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD. 方法二：建立同方法一的空间直角坐标系. 设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，则，即 令x=1，得平面A1BD的一个法向量为n=(1，2，-). 又=(1，2，-)，所以n=，即∥n， 所以AB1⊥平面A1BD. 方法总结：坐标法证明线面垂直有两种思路 （1）建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示，找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量，分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0； （2）建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示，求出平面的法向量，判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行； 使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，那么可以选用法二，否则常常选用法一解决. 【训练2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点； 求证：AE⊥平面A1D1F. 解析：由题意知DA，DC，DD1两两垂直，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 设正方体的棱长为1， 则A(1，0，0)，E，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F， ∴=，=(-1，0，0)，=. 设平面A1D1F的法向量为n=(x，y，z)， 则n·=0，n·=0，即，解得；令z=1，则n=(0，2，1)， 又=，∴n=2，∴n∥，即AE⊥平面A1D1F. 由于铅垂线总是垂直于水平面，根据垂线的性质， 可用铅垂线来检查所砌墙面是否垂直. 问题2：用向量法如何证明两个平面垂直? 证明两个平面的法向量的数量积为0即可. 情境：铅垂线多用于建筑测量. 用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线. 铅垂线的作用是判断物体是否与地面垂直，如图所示. 问题1：为什么利用铅垂线能检查所砌墙面是否与地面垂直? 新知生成： 若平面α的法向量u=(a1，b1，c1)，平面β的法向量v=(a2，b2，c2)， 则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 例3：如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，BB1=1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 分析：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件， 可证明这两个平面的法向量垂直， 转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2=0. 解析：由题意得AB，BC，BB1两两垂直. 以B为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E， 所以=(0，0，1)，=(-2，2，0)，=(-2，2，1)，=. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，则⇒ 令x1=1，得y1=1，∴n1=(1，1，0). 设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，则⇒ 令z2=4，得x2=1，y2=-1，∴n2=(1，-1，4). ∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0，∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 方法总结： 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直. 【训练3】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=AC=2A1C1=2，D为BC中点. 求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 解析：如图，建立空间直角坐标系A-xyz. 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)， A1(0，0，)，C1(0，1，). 因为D为BC的中点，所以点D的坐标为(1，1，0)， 所以=(-2，2，0)，=(1，1，0)，=(0，0，)， 故·=-2+2+0=0，·=0+0+0=0， 所以⊥，⊥，即BC⊥AD，BC⊥AA1. 又AD∩AA1=A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1， 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. $