1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面的垂直关系，通过人民英雄纪念碑情境导入，结合方向向量与法向量关系提问，衔接空间向量概念，搭建“思考-梳理-例题-训练”的学习支架，帮助学生系统掌握向量法证明垂直的方法。 其亮点在于通过现实情境激发数学眼光，结合基向量法与坐标法培养数学思维，设置探索性问题发展创新意识。如例1用两种向量方法证明线线垂直，例4探究存在性问题引导推理。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可借助清晰结构高效教学。

第3课时 空间中直线、平面的垂直 1 坐落在天安门广场上的人民英雄纪念碑是我们中华民族的 丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱!那么，纪念碑所在直线 的方向向量与地面的法向量有什么关系？如何判定直线、平面 的垂直关系是我们今天所要学习的内容. 返回导航 新课导入 2 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 直线与直线垂直 思考 如图，直线,的方向向量分别为,,当直线，垂直时， ， 之间有什么关系？ 提示：垂直. 返回导航 6 ［知识梳理］ 设直线，的方向向量分别为,,则 ①________ ②___________. 返回导航 7 ［例1］ 如图，在四棱台中，底面 是一个正方 形， 平面，，用向量法证明 . 返回导航 8 【证明】 方法一：设，， ，由题设易知三个向量 两两垂直，且 ， 则 ， ，所以 ， 所以 . 返回导航 9 方法二：依题意，，，两两垂直，以为原点，，， 所 在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（图略），设 ， 则，， , ， , ,所以 ． 返回导航 10 证明线线垂直的方法 用向量证明空间中两条直线<m></m>,<m></m>互相垂直的主要思路是证明两条直线 的方向向量<m></m>,<m></m>相互垂直，只需证明<m></m>即可，具体方法有以下两种： （1）坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量 积为0. （2）基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计 算出两向量的数量积为0. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ 在四棱锥中，底面 是边长为2的正方形， ，，为的中点，二面角 为直二面角.求 证： . 返回导航 12 证明：因为，为的中点，所以 ，由二面角 为直二面角，知平面 平面，又平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面，因为，，，所以 ， 取的中点，连接，则 ， 返回导航 13 如图，以点为坐标原点，，， 所在直 线分别为，，轴，建立空间直角坐标系 ， 则，， ， , . 因为，所以 . 返回导航 14 二 直线与平面垂直 思考 如图，设是直线的方向向量，是平面 的法向量，当直线 平 面 时，， 之间有什么关系？ 提示：平行（共线）. 返回导航 15 ［知识梳理］ 设直线的方向向量为，平面 的法向量为,则 ①______ ，使得②________. 返回导航 16 ［例2］ （对接教材例4）如图所示，在正方体中,, 分 别是, 的中点. 求证： （1） 平面 ； 返回导航 17 【证明】方法一：设，,,连接 （图略），则 . 因为 , 所以 . 所以,即.同理, . 又,， 平面，所以 平面 . 返回导航 18 方法二：设正方体的棱长为2，以为原点，,, 所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 则，,,, .所以 ,, . 所以 , ，所以， , 所以, . 又,, 平面,所以 平面 . 返回导航 19 方法三：由方法二得,, . 设平面的法向量 , 则即 取,则,，所以，所以，所以 ， 所以 平面 . 返回导航 20 （2） 平面 . 【解】由（1）方法二得，,,, ,所以 , . 又，所以 ， 所以，即 . , 所以，所以 . 又因为,, 平面,所以 平面 . 返回导航 21 证明线面垂直的方法 （1）基向量法:选取基向量,用基向量表示直线的方向向量,证明直线的方向 向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. （2）坐标法:建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向 量的坐标，然后证明直线的方向向量与平面的法向量共线，从而证得结论. 返回导航 22 ［跟踪训练2］ 如图，已知 平面，底面 为正方形， ，，分别为，的中点.求证： 平面 . 返回导航 23 证明：如图，因为 平面，底面 为正方 形，故，，两两垂直，以为原点，， ， 的方向分别为轴,轴, 轴的正方向建立空间直角坐 标系. 又，，分别为， 的中点， 则,，，， ，于是， ，，，设平面 的法向量为 ， 返回导航 24 则有 得,令，则,所以，则，则 平面 . 返回导航 25 三 平面与平面垂直 思考 如图，设,分别是平面 ， 的法向量，当平面 垂直于平面 时，， 之间有什么关系？ 提示：垂直. 返回导航 26 ［知识梳理］ 设平面 , 的法向量分别为,,则 ①________ ②___________. 返回导航 27 ［例3］ 如图所示，在直三棱柱中， , ，，分别为棱，的中点.证明：平面 平面 . 返回导航 28 【证明】 如图，以为坐标原点，，， 所 在直线分别为，， 轴， 建立空间直角坐标系，则， ， ，，， ，所以 ，， ， . 设平面的法向量为 ， 则即令 ， 返回导航 29 可得平面的一个法向量 . 设平面的法向量为 ， 则即 令，可得平面的一个法向量 . 因为，所以 ， 所以平面 平面 . 返回导航 30 证明面面垂直的两种思路 （1）证明两个平面的法向量垂直. （2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 返回导航 31 ［跟踪训练3］ 如图所示，是一个正三角形， 平面 ， ，且.求证：平面 平面 . 返回导航 32 证明：以为原点，，所在直线分别为 轴、 轴，平面内过点且垂直于的直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，不妨设 ，则，，则 ， ,, , 所以， , ,设平面的法向量是 ， 返回导航 33 则 取，则，，即平面 的一个法向量 ，设平面的法向量是 ， 则 取，则，，即平面的一个法向量 ， 因为，所以 ， 所以平面 平面 . 返回导航 34 四 垂直关系中的探索性问题 ［例4］ 如图，在正三棱柱中，,是 的中点. 在线段上是否存在一点，使 平面？若存在，确定点 的 位置；若不存在，请说明理由. 返回导航 35 【解】 假设在线段上存在一点，使 平面 . 取的中点，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴，过 点且平行于的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设 ， , 返回导航 36 则,,,, ， 所以，， . 显然，则 ， 因为 平面， 平面，则 ， ，解得，此时, , ,, 平面,所以 平面 .所以在线段 上存在一点，使 平面，此时点为点 . 返回导航 37 有关是否存在一点，使得直线与平面之间满足垂直的探索性问题，解 答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐 标，将直线与平面的垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关 系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组）有 解，则点存在；否则，点不存在. 返回导航 38 ［跟踪训练4］ 已知正四棱台 的 体积为，其中.在线段 上是 否存在一点，使得？若存在,确定点 的 位置；若不存在，请说明理由. 返回导航 39 解：依题意，在正四棱台中， ， 所以上底面面积，下底面面积 ，设正四棱台 的高为 ， 则，解得 . 连接，，则， ，再连接 ， ，设正四棱台上、下底面的中心分别为 ，，以为原点，，， 所在直线分别为 ,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 返回导航 40 假设线段上存在一点，使得 , 设，， ， ， 所以 ， 则， ， ，， ， ，因为，则 ，即 ，解得 ，舍去， 所以在线段上不存在一点，使得 . 返回导航 41 PART 02 课堂巩固 自测 42 1.已知平面 , 的法向量分别为, ，则这两个 平面的位置关系为( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 解析：选C.因为, ，所以 ， 则，所以 . √ 返回导航 43 2.（多选）已知点是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，， .则下列结论正确的有 ( ) A. B. C.是平面的一个法向量 D. √ √ √ 返回导航 44 解析：选.由题意可知,, 都是非零向量，对于A， ，所以 ,即 ，故A正确；对于B， ， 所以,即，故B正确；对于C，因为, , ， 平面，，所以 平面 ，故C正确； 对于D，因为 平面， 平面，所以 ，故D错误. 返回导航 45 3.（教材（2）改编）已知是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，如果 ，则 ____. 24 解析：因为 ，所以,所以存在实数 ，使得 ，即 .所以 ，， . 可得 . 返回导航 46 4.（教材P T改编）如图，在直四棱柱 中，底面 为直角梯形，,,,分别为,, 的中点， ，用向量法证明：直线 平面 . 返回导航 47 证明：由题意知，，，两两垂直，以 为 原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,,,，1， ， ,,,, . 设平面的法向量为 , 返回导航 48 则即 令，则,,所以，因为,所以 ,故直 线 平面 . 返回导航 1.已学习：线线垂直、线面垂直与面面垂直的向量表示及应用. 2.须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系， 体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间垂直关系 的对应，不要混淆. 返回导航 50 $