8.1.2向量的加法和减法（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第八章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.1.2向量的加法和减法 学 习 目 标 1 2 3 理解 的平行四边形法则、三角形法则，能规范用两种法则作和向量. 掌握向量加法的交换律、结合律及“首尾规则”. 理解向量减法是加法的逆运算，掌握的转化方法，能结合图形准确表示差向量，提升学生的逻辑推理能力、抽象概括能力. 新课引入 上节课我们学习了向量的基本概念，大家回忆一下，什么是向量？相反向量的定义是什么？ 向量的定义：向量是既有大小又有方向的量 相反向量：若的相反向量为,则 如图，力是向量，我们把力、称为分力，对角线对应的力. 是两个向量的合成，这就是我们今天要研究的主题——向量的加法与减法. 新知探究 探究一：向量加法的平行四边形法则 类比力的合成，你能得出向量加法的法则吗？ 观察图中构成平行四边形的两个向量，它们有什么特点？ 已知非零向量 、，在平面内任取一点 ，作 ， 以 、 为邻边作平行四边形 则对角线向量 叫做 与 的和，记作 即 ①同起点——两个向量的起点必须重合于同一点 ②终点为平行四边形的对角顶点。 即时训练 1．已知.，用向量加法的平行四边形法则作出. 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 新知探究 新知探究 探究二：向量加法的三角形法则 在平行四边形中，有什么关系？ 因此求向量 与 的和 观察中的向量，起点和终点有什么特点？ 由于平行四边形对边平行且相等，有 以 为起点作向量,再以 为起点作向量,则连接起点与终点 C 得到向量.即首尾相接. 它就是、两向量的和 我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的三角形. 新知探究 向量 与 满足 时，无法使用平行四边形法则，但上述三角形法则的步骤仍然可以用于作出点,那么此时如何表示？ 作,只不过此时不存在，只剩下一条直线上三条首尾相接、互相重叠的线段. 如图① 与 方向相同 ② 与 方向相反且 ③ 与 方向相反且 即时训练 2.如图①，用向量加法的三角形法则作出； 【分析】应用三角形法则得出； 【详解】在平面内任取一点，作， 再作向量 则． 新知探究 探究三：向量加法的运算律 数的加法满足交换律，向量的加法是否也满足？大家结合平行四边形法则思考. 三个向量相加，是否满足结合律？ 因此 总结：平行四边形的对边平行且相等，决定了向量加法满足交换律. 例1 典例分析 已知 、 和 是平面上任意给定的向量，求证： ． 【分析】本题通过构造首尾相接的向量，利用向量加法三角形法则将左右两边化为同一向量，完成向量加法结合律的证明. 证明:如果 、、 是平面上任意给定的三个点，那么 ． 从任意的一点 出发作 ，再从 出发作 ，最后从 出发作 ，由上式得到 故 ． 知识小结 向量的加法 ③交换律：；④结合律： ①平行四边形法则 已知, , , 则 关键：同起点 ②三角形法则 已知, , 则 关键：首尾相接 例2 典例分析 一物体受水平方向6 N和铅垂向8 N的两个力的作用，求合力的大小以及合力与铅垂方向偏离的角度．（结果精确到0.01°） 解：如图，设力的作用点为O，若向量表示水平方向的作用力 向量表示铅垂方向8 N的作用力，则合力是． 由于为矩形，故 【分析】将相互垂直的力转化为向量，利用勾股定理和三角函数分别求出合力的大小与方向 新知探究 探究四：向量的减法 数的减法是加法的逆运算，即若 ，则 ，那向量的减法能否也定义为加法的逆运算？ 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 ，则向量 叫做向量 与向量 的差 记作 据定义，直接求 并不直观，能否将向量的减法转化为向量的加法？   减法转化为加法： 减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量 即时训练 3.如图，在各小题中，已知，分别求作． 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量 【详解】如图， 知识小结 向量的减法 1. 定义：加法逆运算，若, 则 2. 核心转化： 口诀：减去一个向量，等于加它的相反向量 作图口诀：同起点，连终点，指向被减向量 例3 典例分析 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 O 是 △ABC 所在平面上的任意一点。求向量 的模. 【分析】通过向量减法化简原式，再构造平行四边形，利用等边三角形性质求出目标向量的模. 解：如图 ，作以 CB、CA 为邻边的平行四边形 CADB 连接 CD、OB。根据向量减法的定义 可得， 故 由于△ABC 是等边三角形，故 CADB 是菱形 且，因此向量 的模为 题型1 向量加减法的运算化简 1.化简 （    ） A． B． C． D． 【分析】根据向量加法运算律即可求解. 【详解】. 故选：B. B 题型2 已知向量表示其他向量 2.如图，在平行四边形中，，，用表示向量、. 【分析】根据平面向量加、减法的定义计算可得. 【详解】依题意 题型3 向量加减法的实际应用 3.某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. 题型4 向量加减法的几何应用 4.求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据向量的线性运算即可求证. 【详解】证明：由题知，， 因此． 所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 向量的加法与减法 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 沪教版 · 必修二 核心知识梳理 01 向量的加法 三角形法则： 适用于首尾相接的两个向量。即 AB + BC = AC。 平行四边形法则： 适用于共起点的两个向量。以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABCD，则 AB + AD = AC。 运算律： 交换律 a + b = b + a； 结合律 (a + b) + c = a + (b + c)。 02 向量的减法 定义： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 即 a - b = a + (-b)。 几何意义： OA - OB = BA。 口诀：共起点，连终点，指被减。 常见陷阱与误区 ! 忽略零向量 在判断命题真假时，常忽略 0 的特殊性。 例如：若 a + b = 0，则 a 与 b 互为相反向量（正确）； 但若说 a // b，需注意 0 与任意向量平行。 ! 减法方向混淆 计算 AB - AC 时，容易误写成 BC。 正确结果： CB。 记忆：终点 B 减终点 C，结果由 C 指向 B。 ! 向量与数量混淆 向量有大小和方向，数量只有大小。 错误写法： a > b （向量不能比较大小，只能比较模）。 错误写法： a + 5 （向量不能与数量相加）。 ! 三角形不等式 对于非零向量 a, b： ||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| 注意取等号的条件（共线同向或反向）。 解题策略与模型 1. 首尾相接连加法 处理多个向量相加时，若前一个向量的终点是后一个向量的起点，可直接“消去”中间字母。 AB + BC + CD + DE = AE 2. 中线公式的应用 在 △ABC 中，若 M 为 BC 的中点，则： AB + AC = 2AM | AM = 1 2 (AB + AC) * 此模型常用于化简向量和，或将两个向量转化为一个向量处理。 3. 转化思想：减法变加法 遇到复杂的减法运算，可以转化为加法处理，利用交换律和结合律简化运算。 例： 化简 AB - CD - AC + BD = AB + BD - (AC + CD) = AD - AD = 0 $