8.1.2 向量的加法与减法-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.1.2 向量的加法与减法 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 向量的加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法； 考点二 向量加法的法则 三角形法则： 已知非零向量，， 在平面内取任意一点， 作，，则向量叫做与的和，记作； 即； 平行四边形法则： 已知非零向量，，在平面内取任意一点， 作，，以，为邻边作平行四边形， 作出向量，因为， 因此，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则； 考点三 向量加法的运算律 交换律：； 结合律：； 考点四 向量的减法 1、定义：向量加上的相反向量，叫做与的差， 即； 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、作法：在平面内任取一点， 作，，则； 如图所示； 3、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 【注意】 （1）向量减法的实质是向量加法的逆运算； 利用相反向量的定义，；就可以把向量的减法转化为加法； （2）向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时， 要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则；解题时要结合图形，准确判断，防止混淆； 注意： 1、对于零向量与任意向量，我们规定：； 2、三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和； 3、用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算； 如＋＋＝＋＋＝ 4、与，有什么关系？ 答案：（1）当向量与不共线时，的方向与，不同，且； （2）当与同向时，，，同向，且； （3）当与反向时，若，则的方向与相同，且； 若，则的方向与相同，且；. 5、关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用. 6、向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”； 1、化简＋＋等于 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了向量的加法的符号表示及其“特点”； 2、如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于 3、已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____ .(填序号) 4、如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为 【说明】本题综合考查向量相等与向量的加减法运算；向量加减法化简的两种形式：①首尾相连且为和；②起点相同且为差；解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用 5、化简＋＋等于(　 　) A． B． C． D． 【说明】本题考查了对平面向量的加法运算的符号表示的理解与应用，关键是“首尾”相连； 6、下列等式不正确的是(　　) ①＋(＋)＝(＋)＋； ②＋＝0； ③＝＋＋. A．②③ B．② C．① D．③ 7、若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是 【说明】本题综合考查了向量的平行四边形法则及向量的大小的几何意义； 8、已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______. 【说明】本题考查了三角形中“中线”、“重心”的几何性质与向量加减法的交汇；如：“＋＝，＋＝”这些结论以后还会常常出现； 9、如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N， 绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N.则F1和F2的合力为________ N.