5.5数学归纳法（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦数学归纳法，通过问题探究1中数列递推求项猜想通项的方式导入，引导学生从具体问题抽象出数学归纳法的概念、证明步骤及使用条件，构建从特殊到一般的知识脉络。 其亮点在于采用多米诺骨牌类比直观阐释原理，结合等式证明、几何区域划分、不等式及整除问题等实例，发展学生逻辑推理与数学抽象素养。学生能提升严谨思维，教师可依托完整教学流程与多样化例题提高教学效果。

第五章 数 列 5.5 数学归纳法 学 习 目 标 经历问题探究，理解与掌握数学归纳法的概念、证明步骤与使用条件，并能灵活运用其证明与自然数有关的命题成立（数学抽象、逻辑推理、数学运算•重难点）. （一）问题 一、问题探究1 已知数列中,,且 . 求出这个数列的第2、3、4、5项,你能由此猜出数列的运通项公式并给出证明吗? （二）探究 由已知可得 , , , , 这就是说,数列的前5项分别为, 因此可以猜测是一个等差数列,且通项公式为 . ① 一、问题探究1 （三）证明： ① 成立. 假设时,①式成立,即. 根据已知条件和假设可知 , 即时,①式也成立. 这就能够说明①式对任何正整数都成立了—— ∵①式对n=1,2,3,4,5都是成立的, 而且我们证明了"如果时成立,那么也成立", ∴也是成立的; 又∵是成立的, ∴也是成立的...... 二、数学归纳法的概念与证明步骤 一般地，一个与自然数有关的命题,如果 (i)当时,命题成立; (ii)在假设(其中)时命题成立的前提下,能够推推出时命题也成立. 那么,这个命题对大于等于的所有自然数都成立. 这种证明与自然数有关的命题成立的方法叫做数学归纳法. 【温馨提示】我们可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法——如图所示,一列排好的多米诺骨牌,如果推倒第一张,而且后续的每一张倒下时,能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下. 三、实例运用1 例1 用数学归纳法证明，对任意的正整数 n, 都有 . 证明: (i)当时, 左边=, 右边=, ∴ 此时等式成立. (ii)假设时,等式成立,即 . 则 ∴此时也成立. 故根据(i)和(ii)可知,等式对任何正整数都成立. （二）探究 显然,②式是不成立的, ∵当时,②式 左边=2, 右边=， ∴此时②式不成立. 事实上,问题探究中给出的证明,只是数学归纳法证明中的第(ii)部分. （三）数学归纳法的使用条件 四、数学归纳法的使用条件 由问题探究说明——用数学归纳法证明时,(i)与(ii)缺一不可. 事实上,(i)是(ii)的基础,即只有确定了时命题成立,后续的推导才会有意义. （一）问题 四、数学归纳法的使用条件 以下是某人给出的关于 ② 对所有正整数都成立的证明,这个证明有问题吗?由此你能得到什么启发? 证明:假设时,②式成立,即 . 则 = =, 所以此时也成立. 因此②式恒成立. 五、实例运用2 例2 求证:平面上个圆把平面最多分成个区域. 证明: (i)显然,一个圆将平面分成2个区域,当时, 所以当时结论成立. (ii)假设当时,结论成立,即 k个圆最多把平面分成个区域. 在此基础上增加一个圆,为使区域最多,应使新增的圆与前k个圆都交于两点,如图所示. 于是新增了个交点,这个交点将新圆分成段弧,这段弧将所经过的区域一分为二， 因此新增了个区域,这样个圆最多把平面分成 个区域. 即当时结论也成立. 所以结论对任何正整数都成立. 五、实例运用2 例3 求证:当是大于或等于5的正整数时,. 证明: (i)当时,,显然, 所以此时命题成立. (ii)假设(其中)时命题成立,即. 因为,所以, 因此 . 可知不等式当时也成立. 综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立. 六、提升演练 练习1 设，用数学归纳法证明：是64的倍数．   【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】 （1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数．   六、提升演练 练习2 用数学归纳法证明：能被整除（） 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】按照数学归纳法的证明方法进行证明 【详解】 （i）当时，， 故能被整除， (ii)假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）.   六、提升演练 练习3 已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论．   【详解】（1）证明：由，得． 在数列中，， 故数列中的任何一项都小于1． （2）由（1）知，，那么， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明：当，且时猜想正确． ①当时已证； ②假设当（，且）时，有成立， 那么 所以当时，猜想正确． 综上所述，对于一切，都有．   今天我们都学习了什么知识？ 经历问题探究，理解与掌握了数学归纳法的概念、证明步骤与使用条件，并能灵活运用其证明与自然数有关的命题成立（数学抽象、逻辑推理、数学运算•重难点）. 七、课堂小结 感谢聆听! $