5.5 数学归纳法（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数学归纳法，通过知识辨析题导入，梳理初始值确定、归纳假设应用等关键要点，结合等式证明、不等式证明及数列“归纳—猜想—证明”典例，构建从验证到递推的学习支架，衔接自然数命题证明的前后知识脉络。 其亮点在于知识辨析纠正“初始值必为1”等误区，典例分层呈现（如不等式证明中放缩变形），培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（规范证明步骤）。通过“归纳—猜想—证明”实例，提升学生观察与创新意识，助力学生掌握证明方法，教师可依托系统案例高效教学。

*5.5　数学归纳法 知识 清单破 知识点 数学归纳法 　　一个与自然数有关的命题,如果 (1)当n=n0时,命题成立; (2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立. 　　那么,这个命题对大于或等于n0的所有自然数都成立. 第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　    ) 2.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　    ) 3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.(　    ) 4.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式左边(或右边)不一定只增加了一项.     (        ) 4.√     如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k到n=k+1,等式左边 增加了两项. ✕ ✕ ✕ 提示 √ 第五章　数列 高中同步 疑难 1 利用数学归纳法证明等式(不等式) 疑难 情境破 讲解分析 1.应用数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式 子项数的变化,弄清等式(不等式)两边的项的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式(不等式)的 两边会增加(减少)多少项、增加(减少)怎样的项. (3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1命题成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假 设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题成立”,这是数学归纳法的核心. 2.用数学归纳法证明不等式时需注意:在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要 将表达式作适当放缩变形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论. 第五章　数列 高中同步 典例1    已知n∈N+,求证1×22-2×32+…+(2n-1)×(2n)2-2n×(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3). 证明    (1)当n=1时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边,等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,原式成立,即1×22-2×32+…+(2k-1)×(2k)2-2k×(2k+1)2=-k(k+1)(4k+ 3). 则当n=k+1时,1×22-2×32+…+(2k-1)×(2k)2-2k×(2k+1)2+(2k+1)×(2k+2)2-(2k+2)×(2k+3)2 =-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7) =-(k+1)(k+2)(4k+7) =-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3], 即当n=k+1时,原式成立. 由(1)(2)可知,原式对一切n∈N+都成立. 第五章　数列 高中同步 典例2　求证: × ×…× > (n≥2,n∈N+). 证明    (1)当n=2时,左边=1+ = ,右边= ,显然左边>右边,即原不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,原不等式成立,即 × ×…× > , 则当n=k+1时, × ×…× × > · = ·  = >  = = , 因此当n=k+1时,原不等式成立. 由(1)(2)知,对一切n≥2,n∈N+,原不等式都成立. 第五章　数列 高中同步 疑难 2 用“归纳—猜想—证明”解决与递推公式有关的数列问题 讲解分析 “归纳—猜想—证明”的解题步骤 第五章　数列 高中同步 典例    若数列{an}中, =- ,其中n≥2,且n∈N+.从条件①:a1= 与条件②:a1a2=- , 且a1>0中任意选择一个,完成下面的问题. (1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通项公式; (2)证明(1)中的猜想. 第五章　数列 高中同步 解析    (1)选条件①. 由题意可得a2=a1· =- ,同理可得a3= ,a4=- , 猜想an= (n∈N+). 选条件②. 由题意可得 =- =- , ∵a1>0,a1a2=- ,∴a1= ,a2=- , ∴a3=a2· = , 同理可得a4=- , 第五章　数列 高中同步 猜想an= (n∈N+). (2)证明:显然当n=1时,猜想成立, 假设当n=k时,猜想成立, 即ak= (k∈N+), 当n=k+1时,由 =- , 可得ak+1=- ·ak =- ·  =  第五章　数列 高中同步 = (k∈N+), 即当n=k+1时,猜想也成立. 综上所述,数列{an}的通项公式为an= (n∈N+). 第五章　数列 高中同步 $